對接圓柱殼結構的頻響函數子結構混合建模方法研究

李旭龍 張忠 董俊輝 牛牧青 魏莎 陳立群

摘要 以建立精確的對接圓柱殼結構動力學模型為目標，為解決對接圓柱殼結構實驗模型存在的界面轉角自由度信息缺失的問題，提出了頻響函數子結構混合建模方法，采用界面剛性等效方法進行界面轉角自由度信息的近似估計，并將其與有限元頻響結果進行對比分析，驗證了該方法在圓柱殼結構中的計算精度。同時，根據子結構頻響函數獲取方式、界面自由度的不同，采用子結構頻響函數綜合方法進行多種工況下的混合建模。結合對接圓柱殼結構的振動特性，對比分析不同工況下的混合建模結果。結果表明：考慮界面轉角自由度信息后，可有效提高對接圓柱殼結構的混合建模精度。

關鍵詞 圓柱殼結構; 子結構綜合; 混合建模; 頻響函數; 轉角自由度

引 言

近年來，隨著航空航天、船舶和機械等工程領域的迅速發展，復雜結構被廣泛地運用于工程實際，這對結構動力學分析結果的準確性提出了更高的要求。傳統方法需對復雜結構展開大量的仿真運算，需耗費大量的計算成本，也不利于現代創新設計中的快速修改和結構優化。子結構綜合方法為該問題提供了新的解決思路［1］。

子結構綜合方法可分為模態綜合方法［2?4］和基于頻響函數的子結構綜合方法［5?6］兩種，前者采用模態模型進行綜合，后者則直接使用頻響函數進行綜合。模態綜合法存在主模態個數限制［7］、高階次模態截斷誤差、剩余模態難以通過實驗方法獲得［8］等問題?；陬l響函數的子結構綜合方法直接利用子結構頻響函數進行綜合建模，有效避免了上述問題，因此許多學者將該方法運用于工程實際。張勇［9］基于上述方法對整車進行了混合建模，結果表明所建立的模型是準確、可靠的；王威等［10］考慮子結構連接特性后對桁架模型進行綜合，計算結果在一定隨機誤差下仍具有較好的精度；吳仕超等［11］考慮了界面轉角自由度對空間剛架進行綜合，所得結果較好地提高了結構動力學性能預報的質量。

本文采用界面剛性等效方法（EMPC）耦合多個拾振點的平動自由度信息，獲取了對接圓柱殼結構界面連接點的轉角自由度信息。同時，將其與有限元頻響進行對比，驗證所用方法對圓柱殼結構具有普遍適用性和較高計算精度。根據子結構頻響函數獲取方式的不同，采用Jetmundsen頻域子結構法進行不同工況下的混合建模，以分析界面轉角自由度缺失對混合建模精度的影響。

1 子結構混合建模方法

1.1 Jetmundsen頻域子結構法

Jetmundsen等［12］通過子結構分離與組合狀態間關系推導出組合結構的頻響矩陣，該方法僅需對連接處頻響矩陣進行求逆運算，縮減了矩陣求解階次。以對接圓柱殼結構為例，為方便表述，稱其為組合結構C。假設其可拆分為子結構A和B，則子結構A，B頻響矩陣可表示為［13?14］：

式中 下標c代表界面自由度；i和j分別代表A和B的內部自由度。

基于耦合界面剛性假設，在耦合界面處須滿足位移協調條件和界面力平衡條件：

利用式（1），（2）和（3），可推導出子結構A，B與組合結構C間的頻響函數關系式：

式（4）右端僅包含子結構A，B的頻響函數矩陣元素，這表明通過對子結構頻響函數進行矩陣運算，便可得到組合結構C的頻響函數矩陣。

1.2 界面剛性等效方法

由公式（4）可得，子結構A，B中包含了大量的耦合界面自由度信息，這其中既需要平動自由度信息，也需要轉角自由度信息。但由于實驗過程中采用三軸加速度傳感器進行響應的測量，所得界面響應數據均為平動自由度響應。故當子結構頻響函數矩陣由實驗實測獲得時，存在界面轉角自由度信息丟失問題。本文采用界面剛性等效方法［15］，通過耦合界面連接點附近的多個平動自由度響應，對連接點的轉角自由度信息進行近似估計。以對接圓柱殼結構為例，其可根據連接特性分為子結構A，B且由輸入、輸出關系可得子結構的頻率響應方程為：

式中 ui，uc分別為子結構內部自由度響應與界面自由度響應，fc和fi分別為界面節點力向量和內部節點力向量；上標“a”表示子結構A的頻率響應方程。

式（5）可寫為如下形式：

為敘述方便，式（6）省略上標a。其中：R為描述界面主模態信息的變換矩陣；E為單位矩陣；ueq為界面主自由度響應；μ為剩余自由度響應。

此時，利用剩余自由度響應與界面主模態信息的正交關系（GTγu=0），可將剩余自由度響應從上述表達式中脫離。子結構A，B的原自由度響應便可由變換矩陣R進行表達，經過簡化運算可得：

式中 Y=（GTG）?1GT。

經過上述運算便可對界面連接點轉角自由度信息進行近似估計，界面剛性等效變換得到的頻響函數矩陣H?包含了界面連接點的轉角自由度信息。

2 有限元頻響與實驗頻響的獲取

2.1 仿真模型及有限元頻響函數獲取

在有限元分析過程中，有限元模型及其網格劃分的合理性對于分析結果的準確性和經濟性有較大的影響。已知圓柱殼結構整體采用6061鋁合金進行加工制作，密度為2750 kg/m3，彈性模量為71 GPa，泊松比為0.33，圖1為圓柱殼結構示意圖，基本參數如表1所示。

本節根據實驗件實際尺寸進行有限元建模以及網格劃分，法蘭部分采用八結點六面體單元（CHEXA），薄壁圓柱殼采用四結點四邊形殼單元（CQUAD4），共21760個單元。圖2為圓柱殼結構的有限元模型。

為獲取有限元頻響函數，本節采用Nastran中序號為SOL 108的求解器進行目標點頻響函數的求解。為表征法蘭盤處的螺栓連接，在螺栓孔中心處建立節點并用MPC約束將其與孔周的節點連接起來，隨后采用RBE2單元進行螺栓的模擬，相應的命令卡片如表2所示。

2.2 實驗模型及實驗頻響函數的獲取

實驗過程中采用單點激勵多點響應形式，利用沖擊力錘施加脈沖激勵，數據采集系統結合力傳感器信號和拾振點處的三軸加速度傳感器信號進行曲線擬合，進而識別系統的模態振動參數，所采用的實驗測試系統如圖3所示。

對于對接圓柱殼結構C，可按照螺栓連接特性分為子結構A，B。其中子結構A頻響矩陣由實驗實測頻響函數組成，子結構B的頻響矩陣視具體工況而定。圖4為子結構與對接圓柱殼結構示意圖，選取a，b分別為子結構A，B內部點，選取1～4號連接點作為子結構A，B界面點。

由于實驗條件下界面連接點的轉角自由度信息不可測，故對實驗子結構A采用界面剛性等效方法進行界面連接點轉角自由度信息的近似估計。分別在1～4號連接點附近布置如圖5（a）所示的三軸加速度傳感器（藍色），并通過附加質量塊對每個拾振點進行三向激勵（如圖5（b）所示），以獲取各拾振點的自身頻響函數和各拾振點之間的跨點頻響函數。

通過EMPC方法耦合上述拾振點平動自由度響應，便可完成對1～4號連接點轉角自由度信息的近似估計，表3為1號點EMPC頻響與有限元頻響峰值誤差匯總。

通過表3可以發現，EMPC頻響在各階固有頻率處均有共振峰的出現，且與有限元頻響相比具有較小的相對誤差，其中最大的相對頻率誤差為1.68%。結果表明：1）界面剛性等效方法同樣適用于圓柱殼結構，以進行界面轉角自由度信息的近似估計；2）通過界面剛性等效方法計算得到的轉角自由度信息具有較高的計算精度，可用于對接圓柱殼結構的混合建模。

2.3 對接圓柱殼結構振動特性分析

為正確評估子結構綜合結果的正確性，需結合對接圓柱殼結構模態振動特性［16］進行分析。采用M10螺栓進行圓柱殼結構的對接，并通過數顯式力矩扳手控制螺栓扭矩為30 N?m。同樣采用圖3所示的實驗測試系統，可得到對接圓柱殼結構前3階模態振型結果，如圖6所示。表4為對接圓柱殼結構實驗模態分析結果與有限元模態分析結果匯總。

表3和4對比分析結果表明：對接圓柱殼結構保留子結構模態振動特性的同時，出現了289.02 Hz的頻率成分。該頻率對應的結構模態振型表現為以法蘭面為分界的對稱振動，如圖6所示。

3 頻響綜合結果及誤差分析

3.1 頻響綜合結果

本節采用Jetmundsen頻域子結構法對對接圓柱殼結構進行混合建模，計算b點X向至a點X向的目標點頻響函數Hax，bx。計算過程中采用與試驗工況相同的激勵，所用到的數據均為單位激勵下的頻響函數，已通過實驗模態測試、有限元頻響分析、EMPC等方法獲取。

為正確評估界面轉角自由度信息對子結構混合建模精度的具體影響，可將綜合過程分為以下兩種不同的工況，如表5所示。

通過Jetmundsen頻域子結構法，可計算得到對接圓柱殼結構在不同工況下的目標點頻響函數Hax，bx。為驗證Jetmundsen頻域子結構法混合建模的正確性，將計算結果與采用NASTRAN命令卡片綜合結果進行對比，如圖7所示。

通過圖7的比較可知，NASTRAN計算結果與Jetmundsen頻域子結構法計算結果在前400 Hz頻段內具有很好的一致性，前者驗證了Jetmundsen頻域子結構法計算結果的正確性。隨后，將不同工況下目標點頻響函數Hax，bx的計算結果與實驗實測頻響函數進行對比，如圖8所示。表6和7分別為不同工況下二者峰值頻率及幅值的誤差匯總。

分析上述不同工況的綜合結果，有下述現象：

（1）綜合1和綜合2的對比可以發現，考慮轉角自由度信息后，第一階共振峰處的峰值誤差從8.28 dB降為了0.77 dB，第三階共振峰處的峰值誤差從17.06 dB降為了13.47 dB。結果表明，考慮經EMPC計算得到的界面轉角自由度后，可有效提高對接圓柱殼結構的混合建模精度；

（2）綜合1，2均存在第二階模態丟失問題，故需結合對接圓柱殼結構的模態分析結果進行進一步的討論與分析；

（3）考慮轉角自由度信息后，第三階共振峰處的峰值誤差有所下降，但仍存在較大誤差，分析其主要原因是由于子結構實驗頻響在該頻段質量較差導致。

3.2 誤差分析

由于綜合1，2均存在第二階模態丟失問題，下面展開該問題的分析。由于混合建模對象采用兩個幾何尺寸完全相同的圓柱殼結構進行對接，對接后的組合結構表現出幾何對稱性。這種對稱性使得對接后的結構模態產生了新的頻率成分（289.02 Hz）。該頻率成分下，連接界面存在一定的面內振動，如圖9中虛線所示。這使得該階模態受螺栓連接預緊力的影響較大。綜上所述，混合建模對象的結構特殊性是導致該階模態丟失的主要原因。

4 結 論

本文針對實驗過程中存在的界面轉角自由度缺失問題，采用界面剛性等效方法進行了近似估計。同時，采用Jetmundsen頻域子結構法對對接圓柱殼結構進行了混合建模。對于不同工況下的混合建模結果，結合對接圓柱殼結構的模態振動特性展開分析，可得以下結論：

（1）對接圓柱殼結構保留子結構模態振動特性的同時，出現了289.02 Hz的頻率成分。該頻率處的結構模態振動為對接圓柱殼結構所特有的振動特性，其受連接方式的影響較大；

（2）針對對接圓柱殼結構，通過界面剛性等效方法計算得到的轉角自由度信息具有較高的計算精度，可用于對接圓柱殼結構的混合建模；

（3）考慮轉角自由度信息后，可有效提高對接圓柱殼結構的混合建模精度；

（4）基于Jetmundsen頻域子結構法進行混合建模對子結構頻響函數具有較高的精度要求，若子結構頻響質量較差，可能會產生較大的誤差。

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Research on sub-structure hybrid modeling method based on frequency response function for butted cylindrical shell structures

LI Xu-long 1 ZHANG Zhong 3DONG Jun-hui 4NIU Mu-qing 4WEI Sha 1，2 CHEN Li-qun 1，2

1. School of Mechanics and Engineering Science， Shanghai University， Shanghai 200444， China；

2. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics， Shanghai 200072， China；

3. Science and Technology on Reliability and Environment Engineer Laboratory， Beijing Institute of Structure and Environment Engineering， Beijing 100076， China；

4. School of Science， Harbin Institute of Technology， Shenzhen， Shenzhen 518055， China

Abstract In order to establish an accurate dynamic model of butted cylindrical shell structures and to solve the problem of lack of information of rotational degrees of freedom in the experimental model of butted cylindrical shell structures， the frequency response function based sub-structuring synthesis method is proposed. The equivalent multi-point connection method is used to approximately estimate the information of rotational degrees of freedom. Then the results are compared with the frequency response function results of the finite element method， verifying the accuracy of the method for cylindrical shell structure. At the same time， according to the different ways of obtaining the frequency response function of the substructure and the degree of freedom of the interface， the frequency response function based sub-structuring synthesis method is used for the hybrid modeling under various working conditions. Combined with the vibration characteristics of the butted cylindrical shell structure， the hybrid modeling results under different working conditions are compared and studied. Results show that the hybrid modeling accuracy of the butted cylindrical shell structure can be effectively improved by considering the information of rotational degrees of freedom of interface.

Keywords cylindrical shell structure; sub-structuring synthesis; hybrid modeling; frequency response function; rotational degree of freedom