Levinson微梁諧振器熱彈性阻尼的廣義熱彈耦合分析

張志超 曹靜 高配峰

摘要 本文基于Levinson梁理論和單向耦合的非傅里葉熱傳導理論，在不同邊界條件下研究了均勻微梁的熱彈性阻尼（thermoelastic damping，TED）。忽略溫度的軸向梯度引起的熱流，給出了Levinson微梁橫向自由振動的熱彈性耦合微分方程，與微梁不考慮熱彈性阻尼時的自由振動方程進行比較，從方程形式的相似性上得到了復頻率的解析解，進而求得了代表微梁結構熱彈性阻尼的逆品質因子。在此基礎上，采用有限元方法計算了微梁結構考慮非傅里葉熱傳導時的逆品質因子，并將有限元結果和理論分析結果進行了對比驗證。通過數值計算結果定量分析了微梁的幾何尺寸、邊界條件以及頻率階數對微梁熱彈性阻尼的影響規律。計算結果表明：在不同頻率階數時，微梁的熱彈性阻尼最大值不變，臨界厚度均隨著頻率階數的增大而減小；不同邊界條件下微梁熱彈性阻尼最大值對應的臨界厚度隨著支座約束剛度的增大而減小；忽略軸向的溫度梯度引起的熱流，在梁尺寸較小時會帶來一定誤差。

關鍵詞 自由振動; 微梁; 熱彈性阻尼; 非傅里葉熱傳導

引 言

隨著集成電路技術的發展，機電系統的微小型化受到了廣泛的關注。微（納）機電系統（Micro/Nano?Electro?Mechanical System，MEMS/NEMS）由于其微型化、智能化、多功能、耗能少、集成度高等技術優勢，在醫學儀器、航空航天、機械自動化、信息技術以及軍事科技等眾多領域，有著十分廣泛的應用前景［1?7］。微（納）機電系統中主要的工作系統是諧振器，而諧振器的力學模型一般可以簡化成微（納）尺度的梁［8?9］、板［10?12］或環［13?14］，但諧振器的尺寸在微（納）米量級時，宏觀上可以忽略的微弱效應，如結構的熱彈性阻尼，會顯現出來并對結構的力學性能產生重要影響。

熱彈性阻尼（TED）是由諧振器在振動過程中拉伸和壓縮產生的不可逆熱流而引起的內摩擦。Zener［15?16］首次提出熱彈性阻尼這個概念，并系統研究了各向同性的熱彈性矩形截面梁沿著厚度方向的彎曲振動，通過解析的方法給出了熱彈性阻尼的近似解。材料在受拉區域溫度升高，在受壓區域溫度降低，出現的溫度差使熱量從高溫一側流向低溫一側，隨著熱傳導過程的進行，機械能轉化為內能。這種能量轉換過程造成系統整體熵的增大，導致微梁振動周期內的機械能損失，使得振動幅度逐漸衰減。當諧振器的尺寸達到微納尺度時，這種熱彈性耦合的能量耗散會更加顯著，這將使得系統的效能顯著降低。因此，TED是決定諧振器熱品質的重要因素，對微結構的熱彈性阻尼進行定量研究和評估，了解熱彈性阻尼的變化規律，具有重要的現實指導作用。Lifshitz等［17］在Zener［15?16］模型的基礎上建立了更合理的Euler?Bernoulli微梁熱彈性阻尼分析模型，通過復頻率法給出了均勻材料微梁橫向振動時頻散關系解析式與精確的逆品質因子解。隨后，大量的學者采用不同解析方法和數值方法對微梁熱彈性阻尼進行了深入研究［17?22］。

需指出的是，由于微梁尺寸較小時自由振動的頻率較大，導致梁不同區域冷、熱轉變較快，采用傳統傅里葉熱傳導模型可能會帶來誤差。Guo等［23?24］推導出微梁基于廣義熱彈性單相位遲滯理論的熱彈性阻尼解析解，研究表明當梁的縱橫比增加，單相位遲滯TED模型與經典模型之間的誤差變大。Deng等［25］對石墨烯納米梁的熱彈性阻尼進行了分析，考慮了熱傳導延滯效應和尺度效應，研究了長細比、松弛時間、熱傳導系數對熱彈性阻尼的影響。文獻［26?27］研究了廣義熱彈性理論下微梁諧振器的熱彈性阻尼，分別考慮弛豫時間參數、梁厚對TED的影響。同時，經典的Euler?Bemoulli梁理論（EBT）適用于細長梁，描述長厚比較小的梁的自由振動時會帶來一定的誤差［28］。

本文針對Levinson微梁諧振器的熱彈性阻尼特性，以廣義熱力耦合熱傳導理論研究厚度、邊界條件以及特征頻率階數對微梁諧振器TED的影響規律。本文給出了基于廣義熱彈性理論的Levinson微梁諧振器的運動方程和熱傳導方程，在忽略梁沿軸線方向的熱流的條件下得到了微梁的特征頻率解析解；說明了采用有限元方法對這一熱力耦合問題的求解過程；給出了金屬鎳（Ni）組成的微梁熱彈性阻尼的解析解和有限元結果，分析比較了不同厚度、模態、邊界條件對熱彈性阻尼的影響并給出了部分結論。

1 基于非傅里葉熱傳導定理的Levinson梁熱彈性阻尼解析解

1.1 運動方程

現有研究微梁的廣義熱彈性理論模型大都基于經典梁理論模型，較少考慮高階剪切變形的影響，在梁長厚比較小時有必要考慮梁內部剪切變形對結構熱彈性阻尼的影響。本文研究長度為l（0≤x≤l），截面高度為h（?h/2≤z≤h/2），寬度為b（?b/2≤y≤b/2）的矩形截面彈性各向同性微梁的振動；由于各物理量在厚度方向上無變化，因此b可取為任意寬度，如圖1所示。

在平衡狀態下，梁沒有應力、變形，并保持在均勻的參考溫度T0。根據Levinson［29］剪切變形理論，梁內部位移可以寫為：

式中 t為時間；φ為橫截面轉角；u0和w0分別為梁幾何中面x方向和z方向的位移；β=4/（3h2）。

根據上述位移假設，可以得到應變為：

式中 εx表示梁內任一點沿著x方向的正應變；γxz為切應變。

材料為線彈性，忽略溫度和應力之間的弛豫時間，則考慮溫度時梁橫截面上正應力σx和切應力τxz分別為：

式中 E和ν分別為彈性模量和泊松比；α為熱膨脹系數；θ=T?T0表示溫度的變化值，其中T表示瞬態溫度場。

由平面應力問題的平衡方程在梁橫截面上積分，可得合力形式的自由振動方程：

將式（3）和（4）代入內力計算公式之后，可以得到位移表示的軸力、彎矩、剪力分別為：

熱軸力FNT和熱彎矩MT的定義為：

將式（5）代入式（4）中，運動方程可以簡化為位移形式的微分方程：

利用式（7c）對方程（7b）進行消元整理，得到關于中面撓度w0的微分方程：

1.2 熱傳導方程

經典的傅里葉熱傳導理論表明熱流和溫度梯度在同一時刻形成，兩者之間沒有時間差。非傅里葉熱傳導理論中的單相位遲滯熱傳導模型考慮了熱流的相位遲滯時間，而雙相位遲滯熱傳導模型不僅考慮熱流的相位遲滯時間，還考慮溫度梯度的相位遲滯時間，因此雙相位遲滯理論更具有普遍性。本文采用Tzou等［30］所提出的雙相位遲滯非傅里葉熱傳導模型如下：

式中 T（r，t+τT）為瞬時溫度場函數；q（r，t+τq）為熱流矢量；t為時間；r為位置矢量；κ為材料的熱傳導系數；τq為熱流的相位遲滯時間；τT為溫度梯度的相位遲滯時間。

根據熵變方程，熱彈性各向同性物體的熱流密度、溫度和體積應變具有以下關系：

式中 e表示體積應變，e=εx+εy+εz+2（1+ν）αθ。

由溫度改變引起的體積應變為2（1+ν）αθ，而在梁的振動過程中，體積應變造成的溫度改變θ要遠遠小于參考溫度T0，溫度變化引起的體積應變要遠遠小于梁機械振動引起的體積變形，因此可以忽略溫度改變引起的體積應變，即e=εx+εy+εz。熱彈耦合熱傳導可由式（10）和（11）導出：

同時，假設沿梁厚度方向的熱流要遠遠大于沿梁軸向的熱流，那么，Levinson梁的熱傳導方程可以改寫為［15?17］：

溫度邊界條件為上下表面的絕熱邊界：

1.3 特征頻率的解析解

引入調和振動模式：

振動方程和熱傳導方程可以化簡為：

式中

對于熱傳導微分方程（16b），其邊界條件亦為齊次的，因此可以由疊加法得到其通解為：

式中 A，B為待定常數。θ?應滿足式（14）中上下表面的絕熱邊界條件，解得：

由方程（4a）可知，在自由振動過程中忽略軸向慣性力時，可知軸力為常量。無論是簡支邊界、自由邊界還是夾支邊界，梁的軸向約束力均考慮為零。因此，可令FN=0，由式（5a）得：

同時由式（7c）及方程（15）可得：

可得方程通解為：

式中

將式（22）代入運動方程（17a），可以得到：

式中

上述方程可以改寫為：

可以解得：

同時，相同材料的均勻Euler?Bernoulli梁的自由振動方程為：

對于簡支邊界的Levinson梁，在方程形式類似的條件下，其邊界條件的數學形式和Euler?Bernoulli梁在簡支邊界條件下相同。很顯然對于兩種梁模型能夠得到相同的復特征值。實際上，對于簡支邊界的Euler?Bernoulli梁和Levinson梁，至少能找到一個相同的特征值。因此，在簡支邊界條件下方程（27）和（25）的復特征值有如下關系［32?33］：

根據方程（28），可以解得唯一結果：

對于其他邊界條件的Euler?Bernoulli梁和Levinson梁，由于Levinson梁考慮了高階剪切變形，軸向位移、撓度、轉角之間相互耦合，除兩邊簡支邊界條件，其他邊界條件的數學形式無法完全解耦，因此式（28）在其他邊界條件下并不完全成立。對式（21）積分可知，均勻Levinson梁的轉角φ?與w?'相差一個慣性項，此慣性項與梁的振動頻率和撓度相關［33］：當梁振動頻率和變形較大時，慣性項的影響更為顯著；振動頻率較低或變形較小時慣性項的影響可以忽略不計。當梁邊界約束較強或振動模態階數較高，梁自由振動的頻率較大，此時如采用式（28）會帶來一定的誤差。但是對于梁的低階振動模態，在平衡位置附近振動時，各位移分量和振動頻率均相對較小，此時可忽略截面上慣性力引起的轉角增量，在邊界上近似認為梁的轉角φ?≈w?'。因此，對于梁的低階模態，可以近似認為Levinson梁邊界條件與Euler?Bernoulli梁邊界條件形式相同，式（28）近似成立。

方程（29）為關于特征頻率ω的隱式方程，在計算過程中可將等號右邊隱含的ω以ω0近似代替以簡化計算過程，求解過程中需注意ω實部為正。根據復頻率方法，均勻Levinson微梁的逆品質因子解析解可以表示為：

2 自由振動微梁熱彈性阻尼的有限元求解

本文建立的三維有限元模型，根據G?L廣義熱彈性理論的本構關系，各向同性材料的應變分量εij與應力分量σij和溫度的增量有關：

式中 τ為溫度和熱應變之間的弛豫時間；σkk表示主應力之和；δij為Kronecker函數。

考慮到弛豫時間和諧振器的振動周期相比較小，可以將式（31a）簡化為：

式（31b）為本文求解的熱力耦合本構關系。現有有限元軟件中，均內置有類似的模塊解決此類熱彈性問題。考慮簡諧振動時，溫度改變量θ滿足：

此時三維熱傳導方程可以寫為如下特征方程：

式中 θ，ii為三個空間坐標方向的三階導數之和。

由于現有商業軟件中沒有廣義熱傳導模塊，故無法進行有關廣義熱傳導問題的計算。本文擬在商業軟件的基礎上進行二次開發以實現廣義熱傳導問題的計算。利用Comsol軟件建立梁長為l，梁厚為h，梁寬為b的三維微梁模型并定義微梁材料性質參數，采用軟件內部內置的固體力學和偏微分方程模塊共同實現這一特征值問題的求解。微梁不同的邊界條件可通過設置微梁兩端的約束和位移條件實現。如簡支約束時（simply supported constraint，S），可通過約束微梁一端截面中性軸的位移為零實現；夾支約束時（clamped supported constraint，C），通過設置微梁兩端截面的位移為零實現，自由端（free supported constraint，F）邊界受力為零。

微梁非傅里葉熱傳導熱彈性耦合問題通過選取Comsol軟件中固體力學模塊與系數形式偏微分方程模塊，將求解多場問題轉化為求解方程組問題。在采用Comsol求解這一方程組的特征頻率ω之后，我們可以根據復頻率法得到表征結構熱彈性阻尼大小的物理量逆品質因子Q?1。圖2給出了梁長l=300 μm，梁厚h=20 μm，梁寬b=5 μm的均勻材料Ni微梁在兩端簡支時有限元軟件中的網格劃分示意圖，其中完整網格包含950個域單元，求解的自由度數為39952個。

3 數值結果分析與討論

考慮微梁材料為金屬鎳（Ni），表1給出了鎳（Ni）的材料參數。本節將采用解析方法和有限元方法討論不同約束條件下微梁熱彈性阻尼隨厚度改變而變化的規律。

圖3給出了均勻材料鎳（Ni）微梁在兩端夾支（C?C）邊界條件下一階振動模態有限元軟件Comsol的計算結果示例。示例中梁長l=300 μm，梁厚h=20 μm，梁寬b=5 μm。通過有限元軟件計算得到結構振動時的一階模態，從圖中色彩深淺可以看出微梁振動時的一階模態溫度變化情況。圖中箭頭表示熱流矢量，可以看出熱流矢量不僅有沿梁厚度方向的分量，同時還有沿梁軸向的分量。同時可以看出，在梁拉應變的區域溫度下降，梁受到壓應變的區域溫度升高。由于溫度梯度的存在，導致熱量從高溫區域向低溫區域的轉移，從而導致梁機械能的耗散。

對于均質鎳（Ni）微梁的TED，將基于Levinson微梁的廣義熱彈性理論下TED的解析解與三維非傅里葉熱傳導模型有限元計算結果進行比較。圖4～7分別給出了兩端簡支（S?S）、兩端夾定（C?C）、一端夾定一端簡支（C?S）、一端夾定一端自由（C?F）這四種邊界條件下微梁在前三階模態下振動時的逆品質因子Q?1隨梁厚h的變化曲線，在計算時固定梁的長度為300 μm。從圖4～7可以看出，解析解模型的計算結果與有限元模型的計算結果吻合較好，這也互相驗證了兩種求解方法的可靠性。兩種理論的計算結果均可以看出，微梁在不同邊界和不同振動模態下的TED具有類似的變化規律，即熱彈性阻尼隨厚度的增大先增加達到最大值后再減小。將TED最大值對應的微梁厚度稱為臨界厚度，可以看出臨界厚度隨振動模態階數的增加而減小，在低階模態時同樣厚度的梁復頻率相對較小，此時梁在較大厚度時達到熱彈性阻尼最大值；而高階模態的復頻率較大，可以在較小的厚度達到熱彈性阻尼的極值。同一邊界條件下前三階模態階數的熱彈性阻尼最大值對應的臨界厚度，從大到小依次排序為：一階、二階、三階。

圖8～10分別給出了一階模態、二階模態和三階模態下，基于Levinson微梁的廣義熱彈性模型的解析近似解與有限元計算結果在四種不同邊界下微梁熱彈性阻尼隨厚度的變化曲線。可以看出，計算結果中熱彈性阻尼的最大值不受邊界條件和模態階數的影響。在同階模態下，不同邊界條件所得到的熱彈性阻尼最大值所對應的臨界厚度均不同，當約束為S?S時熱彈性阻尼最大值對應厚度最大，約束為C?C時熱彈性阻尼對應臨界厚度最小，而C?F和C?S兩種邊界下臨界厚度在兩者之間。這四種邊界條件下，當研究微梁的幾何尺寸相同時，兩端夾支（C?C）時微梁受到的邊界約束最強，微梁的臨界厚度最小；而一端夾支一端自由時（C?F）微梁受到的邊界約束僅次于兩端夾支的情況，微梁的臨界厚度大于兩端夾支的情況；當減小邊界約束剛度，邊界條件依次改為兩邊簡支（S?S）、一端夾支一端簡支（C?S）時，熱彈性阻尼對應的臨界厚度也隨之增大。可以看出，微梁臨界厚度隨邊界約束剛度增大而逐漸減小，臨界厚度從小到大依次為：C?C，C?S，S?S，C?F。不同邊界條件下熱彈性阻尼峰值所對應的臨界厚度均隨著頻率階數的增加而減小，且對應的臨界厚度逐漸靠近。

圖11給出了兩端夾支的金屬鎳（Ni）微梁在給定長厚比l/h=10時，逆品質因子Q-1隨梁厚h的變化曲線。從圖中可以看出，當梁厚度大于16 μm時，兩種模型得到的熱彈性阻尼結果雖有一定的誤差，但仍可接受；當梁厚度小于16 μm時，有限元模型的計算結果逐漸偏離解析結果，隨著梁厚度的進一步降低，誤差也隨之增大。主要原因是在解析解的推導過程中假設梁軸向的溫度梯度很小，忽略了梁沿軸向的熱流。本論文給出的是基于準一維熱傳導方程的廣義熱傳導理論的解析解，而有限元方法求解的方程是三維的熱彈耦合控制方程，并沒有引入額外假設。這也說明，忽略軸向的溫度梯度引起的熱流在梁尺寸較小時候會帶來一定的誤差。

為了進一步明確不同邊界條件和模態對逆品質因子Q-1最大值的影響規律，表2給出了不同情況下Q-1最大值的解析解和有限元方法的結果對比，并給出了兩種結果的相對誤差。從表2中可以看出，均質Ni微梁熱彈性阻尼最大值的解析方法預測結果在1.35×10-3附近，其最大值預測結果并不受邊界條件以及梁模態階數的影響，這與現有文獻中的結論類似［28，34］。解析結果與有限元結果相比，有限元分析得到的Q-1最大值偏小，最小相對誤差為0.71%，最大相對誤差為7.74%，進一步說明本文所述方法的可行性。在四種不同類型的邊界條件中，兩邊簡支梁相對誤差最小，兩邊夾支梁相對誤差較大。可以看出，隨著邊界約束剛度的增加，采用式（28）得到的結果與有限元結果誤差逐漸增大。這主要是由于在利用式（28）的關系計算特征頻率時，式（28）在兩邊簡支的情況外均為近似成立，Euler?Bernoulli梁和Levinson梁在兩邊夾支邊界條件下的數學表達式差異最大，給計算結果帶來了誤差。

4 結 論

本文基于廣義熱傳導理論，推導了采用非傅里葉熱傳導模型時均質Levinson微梁的熱彈耦合運動方程和熱傳導方程，給出了Levinson微梁振動時復頻率的解析近似計算方法，通過得到的復頻率求出熱彈性阻尼的逆品質因子。針對金屬鎳（Ni）構成的均質微梁，在得到運動方程和熱傳導方程的基礎上進行有限元建模分析，通過對比解析解與有限元結果之間的差異，驗證了模型的準確性，研究了不同幾何尺寸、邊界條件和振動模態等因素對微梁熱彈性阻尼的影響。研究發現，熱彈性阻尼最大值所對應的厚度（臨界厚度）隨著模態階數的增大而逐漸減小；相同頻率階數下，微梁臨界厚度隨邊界約束剛度增大而逐漸減小，在S?S，C?C，C?F和C?S這四種邊界條件下，當微梁為C?F邊界時臨界厚度最大，微梁為C?C邊界時微梁臨界厚度最小，C?F和C?S邊界得到的微梁臨界厚度位于兩者之間。本文將解析解與有限元模擬結果對比發現兩者相差不大，說明這兩種求解方法在一定使用范圍內均能夠準確預測微梁熱彈性阻尼，基于廣義熱傳導模型的解析近似方法中對熱傳導方程的準一維簡化是可行的，但是在梁尺寸較小時可能帶來誤差。

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Generalized thermoelastic coupling analysis of thermoelastic damping of Levinson micro beam resonator

ZHANG Zhi-chao 1 CAO Jing 1GAO Pei-feng 2

1. School of Civil Science and Engineering， Yangzhou University， Yangzhou 225127， China；

2. College of Civil Engineering and Mechanics， Lanzhou University， Lanzhou 730000， China

Keywords free vibration; micro beam; thermoelastic damping; non-Fourier heat conduction