積分微分方程組非局部邊值問題的再生核數值方法

劉 暢，周永芳

（河北工業大學）

0 引言

在許多學科中經常涉及到積分微分方程組問題，并且在許多領域也有廣泛的應用，如控制理論、天文學、生物物理學、電動力學、電磁理論、空氣動力學、經濟學、生態學、醫學和生物學.積分微分方程組通常難以獲得解析解，所以必須借助數值方法來獲得有效的近似解.多年來，人們對積分微分方程問題的數值解進行了大量的研究工作，采用了許多不同的方法.用于求解這些問題的數值方法包括同倫分析法［1］、同倫攝動方法［2］、He 同倫攝動法［3］、修正的新迭代方法［4］、泰勒配置方法［5］、伯恩斯坦配置方法［6］、勒讓德多小波方法［7］、變分迭代方法［8］、偽譜方法［9］、譜方法［10］、移位雅可比－高斯配置法［11］和Adomian分解法［12］.

該文考慮以下積分微分方程組問題：

該文主要介紹一種在再生核空間中求解具有非局部邊界條件的積分微分方程組的數值方法.再生核理論在數值分析、微分方程、概率統計等方面有著重要的應用.再生核數值方法在求解常微分方程問題［13］，積分方程問題［14］，偏微分方程問題［15］都有廣泛的應用.Zhang 提出了一種求解帶Kalman核的弱奇異Fredholm積分微分方程的廣義配置方法［16］.周永芳利用再生核數值方法解決了非局部邊值的偏微分方程問題［17］.Ghasemi在處理非局部的積分微分方程組問題時得到了具有易于計算分量的收斂級數形式的解［18］.

再生核數值方法在方程求解的問題上已經相對成熟，但對于方程組問題的研究還不夠深入，尤其是帶有非局部邊值條件的方程組.通常滿足非局部邊值條件的再生核空間難以構造，使得求解過程中的計算量增大，精度降低.針對這一難點，該文直接構造一般形式的再生核空間，在這樣的再生核空間中去求得滿足邊值條件的近似解，與傳統再生核數值方法相比，計算更為方便快捷.數值結果表明該方法具有較高的精度.

1 預備知識

1.1 勒讓德多尺度小波基的構造

首先，介紹在L2［0，1］上的三次勒讓德函數：

將三次勒讓德函數作為尺度函數構建L2［0，1］上的三次勒讓德小波：

由此可以得到多小波

其中p ＝0，1，2，3，r ＝0，1，…，2h－1－1，h ＝1，2，3，…｝.

為了方便，將多小波記作：

1.2 再生核空間的構造

W2m＋1［0，1］的內積為：

范數：

2 配置法

當s ＝l時，有

當s ≠l時，有

其中l，s ＝1，2，…，n.

定理2.1是有界線性算子，其中l，s ＝1，2，…，n.

證明首先考慮當l ≠s時，有

下面考慮它的范數

接下來考慮求解算子方程組，只要求得算子方程組的解就能得到問題（1）的解.下面給出ε－近似解的定義.

定義2.1對于任意的ε ＞0，如果有

成立，那么us（x），s ＝1，2，n是式（2）的ε－近似解.

定理2.2對于任意的ε ＞0，存在N ＞0，當ω ＞N時，

證明設F是一個關于cs，k，s ＝1，2，…，n，k ＝1，2，…，ω 的二次型，

下面采用配置法去獲得式（2）的ε 近似解.

然后給出式（4）的矩陣形式

其中

其中s ＝1，2，…，n，k ＝1，2，…，ω.

根據定理2.5，很容易就可以得到方程組（2）的近似解us，ω(x )，s ＝1，2，…，n，k ＝1，2，…，ω.

定理2.6假設us(x )是方程組（2）的精確解，us，ω(x )，s ＝1，2，…，n，k ＝1，2，…，ω 是方程組（2）的近似解，則us，ω(x )一致收斂于us(x ).

定理2.7假設us(x )是方程組（2）的精確解，us，ω(x )，s ＝1，2，…，n，k ＝1，2，…，ω 是方程組（2）的近似解.如果每個( x)在區間［0，1］上是有界的，那么

3 數值算例

例1 考慮以下線性積分微分方程組問題［1 8］

方程組的精確解為u1(x ) ＝x，u2(x ) ＝x2.文獻［18］給出了一個計算方程組問題最大絕對誤差的公式

文獻［18］得到E30＝4.199 ×10－6，在ω ＝6，τ ＝10時，該文計算的結果為E6＝1.110 ×10－15.其他數值結果見表1和如圖1所示.

表1 例1近似解的絕對誤差與相對誤差

表2 例2中近似解在ω 不同取值下的最大絕對誤差

表3 例2中近似解的最大離散范數

圖1 例1中近似解u1，6 的絕對誤差（左）及近似解u2，6 的絕對誤差（右）

例2考慮以下線性積分微分方程組問題［18］