三角代數上σ－三重可導映射的可加性*

羅湘億，霍東華

（1.東北林業大學；2.牡丹江師范學院）

0 引言與預備知識

算子代數的相關理論在20世紀的30年代所產生，它的研究領域在泛函分析中占有極大地位.算子代數與數學的其他分支緊密聯系并相互滲透，并且算子代數理論在交換幾何，數論，量子力學，控制理論，線性系統之類的學科中應用非常廣泛.算子代數主要的研究方向是討論代數的結構并且用同態映射來研究代數分類.由于算子代數的一些固有性質和算子代數上的某些映射有緊密聯系，所以眾多學者先研究算子代數上的映射，從而進一步研究算子代數的結構.

三角代數是很重要的一類非自伴非素的算子代數，同樣非自伴非素的算子代數還有套代數和上三角矩陣代數.近幾年來，三角代數上的可導映射以及導子的研究已取得許多成果.Cheung主要研究了三角代數上的Lie 導子、同構映射以及交換映射，其中包含了很多如非平凡套代數里的標準子代數，上三角矩陣代數這類的非自伴算子代數［1］.Wang主要研究三角代數上的k－交換

映射［2］.Dominik 主要對三角代數上的廣義Lie導子與三角代數上的雙導子進行研究［3］.紀培勝主要研究非線性Lie 導子和三角代數上的廣義Lie導子的結構［4］.Lu 證明得出在自反代數上Lie導子也能夠分解成中心值跡與導子的和［5］.觀察上述這些豐富的成果，可以發現這類可導映射都研究了可加性這個性質.最開始是由Daif M詳細敘述了在素環上滿足δ (ab ) ＝δ (a ) b ＋aδ (b )的映射δ 具有自動可加性［6］，這個結論讓許多學者驚奇，在此之后，與這類結論相類似的很少，但是這類有意義的研究問題還有很多.

該文是在三角代數σ－可導映射的基礎上更深層次地進行研究，將范圍擴展到3個變元的情形，討論在三角代數上σ－三重可導映射的可加性，并證明了Δ是一個σ－三重可導映射.

定義1［7］設A是一個代數，M是A－雙模.δ：A →M為可加映射.如果對任意的x，y ∈A，有δ (xy ) ＝δ (x ) y ＋xδ (y )成立，稱δ為從A到M的導子.

定義2［7］設?是代數或環，δ 為?上的可加映射，σ是?上的一個自同構，id?是?上的恒等映射.若對任意的x，y ∈?，有δ (xy ) ＝δ (x ) y＋σ (x ) δ (y )，則稱δ是σ－導子.當σ ＝id?時，Jordan σ－導子就為Jordan 導子，σ－導子就為導子.

定義3［8］設A與B為交換環R上含有單位元的代數，如果M 不僅是A 的左模還是B 的右模，則稱M為(A，B)－雙邊模，若a ∈A，b ∈B且對任意的m ∈M，有am ＝mb ＝0蘊含a ＝b ＝0，則稱M是(A，B)－忠實雙邊模.在M是(A，B)－忠實雙邊模的前提下

在通常矩陣的乘法和加法運算下為一個三角代數.

定義4［8］設IA是代數A的單位元，設IB是B的單位元，I是三角代數U中的單位元.記e1與e2分別為

用Z (U )表示U中心.

定義6［10］下方將三角代數U再做一次分解，對任意的x ∈U，由于

則三角代數U可以分解成

1 主要結論與證明

1.1 σa 和Δ的可導性

設U是一個三角代數，δ 是U上的一個映射（無可加性假設），σ 是U上的一個自同構.如果任意的x，y，z ∈ U，有δ (xyz ) ＝ δ (x ) yz ＋σ (x ) δ (y ) z ＋σ (x ) σ (y ) δ (z )，則δ 是一個可加的σ－三重導子.

定理中包含了一些主要符號，如C表示復數域，R 表示實數域，H 表示Hilbert 空間，U ＝Tri (A，M，B)表示三角代數，AlgN 表示與套N 相關的套代數，B (H )表示H 上的全體有界線性算子，Mn×n(R )表示R 上的n × n 矩陣代數，Tn(R )表示R上的n × n上三角矩陣代數，等等.

設U是一個三角代數，δ 是U上的一個映射（無可加性假設），σ 是U上的一個自同構.設a ＝f1δ (e1) e2－f2δ (e1) e1，對任意的x ∈U，定義映射σa(x ) ＝σ (x ) a－ax，則下面證明σa是一個σ－三重可導映射.

定理1令σa(x ) ＝σ (x ) a－ax，則?x，y，z ∈U，有

證明?x，y，z ∈U，由于

而

所以

證畢.

對任意的x ∈U，再定義映射Δ (x ) ＝δ (x )－σa(x )，則下證Δ是一個σ－三重可導映射.

定理2令Δ (x ) ＝δ (x )－σa(x )，如果任意的x，y，z ∈U有

則有

證明由于

因此Δ (xyz ) ＝Δ (x ) yz ＋ σ (x ) Δy·z ＋σ (x ) σ (y ) Δz.則Δ是一個σ－三重可導映射.

1.2 三角代數上σ－三重可導映射的可加性

引理1Δ (0 ) ＝0，Δ (e1) ＝Δ (e2) ＝0

證明由于σ是同構，從而σ (0 ) ＝0，進而

下證Δ (e1) ＝0由于e1e1e1＝e1，從而

在式（1）兩端右乘e1，可得

因此

在式（1）兩端左乘f2、右乘e2可得

因此

由式（2）、（3），可得

由σa的定義有

即

另一方面有

即

又由于

所以

由式（8）得

從而

②對任意的x，y，z ∈U，一方面有

另一方面由引理3中③，有

比較式（20）和（21）得

由于σ 是三角代數U 上的一個同構，從而由式（22），得

定理3設U是一個三角代數，δ 是U上的一個映射（無可加性假設），σ是U上的一個自同構.如果任意的x，y，z ∈U，有δ (xyz ) ＝δ (x ) yz ＋σ (x ) δ (y ) z ＋σ (x ) σ (y ) δ (z )，則δ 是一個可加的σ－三重導子.

證明對任意的x，y ∈U，由引理2，引理4有

即Δ是三角代數U上一個可加的σ－三重導子.又由于σa在U上也是可加的σ－三重導子，從而δ ( x) ＝Δ ( x) ＋σa( x) ( ?x ∈U)是一個可加的σ－三重導子.

由于上三角分塊矩陣代數和套代數是兩類特殊的三角代數，從而可將定理1的結論用到這兩類代數上，可得以下兩個推論.

推論2設N是數域F上無限維Hilbert空間H上的一個非平凡套，δ是套代數AlgN上的一個映射（無可加性假設），σ 是AlgN 上的一個自同構.如果對任意的算子A，B，C ∈AlgN，都有δ (ABC) ＝ δ (A ) BC ＋ σ (A ) δ (B ) C ＋σ (A ) σ (B ) δ (C )，則δ是一個可加的σ－三重導子.

2 總結

三角代數上關于可導映射的研究是三角代數中的一個重要的方向，對于眾多學者更深層次的理解與認識三角代數的結構來說至關重要.所以該文使用了代數分解方法以及代數的結構的性質主要研究了三角代數上σ－三重可導映射是否具有自動可加性.

該文是在三角代數σ－可導映射［7］的基礎上更深層次地進行研究，將范圍擴展到3個變元的情形，討論在三角代數上σ－三重可導映射的可加性，首先對即將用到的定義進行敘述，其次定義了映射σa，證明了σa是一個σ－三重可導映射.再次定義了一個映射Δ (x ) ＝δ (x )－σa(x )，證明了Δ是一個σ－三重可導映射.隨后給出了主要定理，如果等式δ (xyz ) ＝δ (x ) yz ＋σ (x ) δ (y ) z ＋σ (x ) σ (y ) z ＋σ (x ) σ (y ) δ (z )成立，則δ 是一個可加的σ－三重導子.