波浪增阻預報的研究現狀與未來展望

劉樹魁

（南洋理工大學 機械與宇航工程學院 新加坡 639798）

0 引 言

船舶在海洋中航行時，波浪的擾動及其誘發的船體運動會使船體遭受的阻力較在靜水中有所增加，該部分增加的阻力稱為波浪增阻。從工程實踐角度看，波浪增阻會對船舶在實海況下的航速/功率、能耗及溫室氣體排放等性能產生重大影響。航速和油耗是考量船舶競爭力的傳統指標，而溫室氣體排放性能則在近年才被國際海事組織納入考核指標，涵蓋新船能效設計指數（energy efficiency design index, EEDI）、現有船舶能效指數（energy efficiency existing ship index, EEXI）和營運碳強度指標（carbon intensity indicator, CII）等[1-3]，直接影響到船舶的設計審批和市場評級，同船舶的市場競爭力息息相關。鑒于此，船東對運輸船舶的航速性能要求越來越高，對船舶設計優劣的考核也從僅考核靜水性能過渡為綜合考慮靜水與實海況性能[4-7]。其中，如何評估波浪對船舶實海況性能的影響是重要課題，如在船舶實船航速性能測試中，經常要對波浪的影響進行修正，以驗證新造船所達到的指標是否滿足合同與規范要求[8-10]。

近年來，隨著EEDI 的正式執行，這個問題已引起船舶耐波性專家、設計工程師乃至整個航運界的普遍關注，該技術訴求也強力推動了波浪增阻預報理論和方法的進步。此外，在天氣導航、航線優化等船舶營運問題中，也需要能對船舶在實海況所受增阻的準確預報方法。除此之外，在較高海況下，尤其需要特別考核船舶所能達到的航速，這涉及到船舶能否有效操舵，進而影響到船舶的航行安全。國際海事組織在這方面已經出臺了相關指南,即最小安全推進功率要求[11]。在該問題中，需要對船舶在低航速和惡劣海況下所遭受的增阻進行估算[12-13]。這些新問題的出現也促使學者們加大了對波浪增阻的研究力度，而且由于這些工程問題涵蓋了設計的審核、批準和驗證，涉及到很多利益相關方，因此所應用的方法必須具備簡單、透明等特征，而目前基于軟件模擬結果的傳統方法則并不適用。

作為船舶耐波性范疇內的經典課題，從HAVELOCK[14]計算波浪中固定的垂直圓柱體所受到的定常力算起，人們對波浪增阻的研究至今已有八十幾年的歷史。在此期間，科研工作者建立了多種方法來預報船舶波浪增阻。一般而言，波浪增阻的預報基于耐波性預報結果，需要用到船體表面流場壓力的解及船舶運動的預報結果。在線性理論的范圍內，假定波幅為一階小量，則船舶運動和速度勢的幅值均為一階小量，其乘積為二階小量，故波浪增阻屬于二階力。相對于一階力的預報，精確、穩定且可靠地預報二階力的難度非常大。此外，耐波性問題中所關注的是運動幅值，而在預報波浪增阻時，關注的是其平均值。

圖1 顯示了水池實驗中所測得的船舶在波浪中的升沉和縱搖運動及增阻的時歷信號和增阻平均值。

圖1 實驗測得船舶在波浪中升沉和縱搖運動及增阻的時歷信號和增阻平均值

波浪增阻雖然只是個阻力分量，但本質上是基于耐波性預報結果得出的物理量，故其預報方法的進展基本同船舶耐波性預報方法的進展一致[15-16]。在早期階段，主要是現象上的觀測，之后經歷了從零航速到有航速、從二維切片法到三維面元法（格林函數法和簡單源Rankine 方法）、從基于勢流理論的方法到基于求解黏性方程法（Reynolds-averaged Navier-Stokes equation, RANS）的過程。在這個過程中，水池實驗提供了寶貴的驗證數據，一些經驗方法和解析方法也得到了發展，近年來還出現了一些數據驅動的方法。從另一個角度而言，早期的研究側重于船舶運動對增阻的影響，關注波長和船長相當時的波浪增阻準確預報，主要是輻射問題。近年來，隨著溫室氣體排放法規的引入和船舶的日益大型化，船舶在相對短波中的性能越發重要，研究工作的側重點也逐漸涵蓋到低海況（波長小于一半船長）下的波浪增阻預報[17]，這就涉及到（相對）短波中的繞射問題[18]、波浪譜及波浪增阻頻率響應函數的重疊頻帶[19]。

然而這項工作難度極大，因為造波機很難制造穩定的短波，而且也使目前使用的測量系統受到極大挑戰，至今尚無充分的水池實驗數據支持相關數值方法的開發和驗證。傳統上，一般認為波浪增阻僅占船舶總阻力中較小的部分，但這種觀點并不全面。船舶靜水阻力主要與船型、船速相關，而波浪增阻既與船型、船速相關，又與波浪特征相關，它們遵從不同的物理原理。在特定情況下，波浪增阻可能會比靜水阻力高很多。比如：在惡劣海況下，船速較低，故靜水阻力極小；而波幅很大，故波浪增阻極大。在船舶操縱性模擬中也有類似現象。

本文首先簡要回顧相關的實驗和理論研究成果，并討論各種方法近年來的進展及當前面臨的挑戰和機遇。在各種預報方法的開發和驗證過程中，科研工作者一般關注船舶在規則波中增阻的準確預報，而對船舶在實海況下各種性能的研究，則需要用到船舶在一定海況下的平均波浪增阻。本文基于前期開發的半經驗公式預報船舶在規則波中的增阻[20]，使用標準波譜描述海況，通過雙重積分得到船舶在各航速、各海況下的平均波浪增阻并生成等值線圖，以便在工程實踐中應用。

1 實驗研究：方法、挑戰和進展

長期以來，人們一直關注波浪對阻力和推進性能的影響。在早期研究中，由于沒有合適的數值研究手段，很多工作都是基于實尺度和模型尺度實驗觀察。NAKAMURA[21]曾收集這些早期研究結果，并整理出274 篇文獻。其中早期的1 項重要實驗工作涉及到UENO 等[22-24]開展的一系列單自由度強迫振蕩運動實驗，并通過分析實驗結果引入經驗公式來定量計算各自由度運動對波浪增阻的影響，實驗結果顯示縱搖運動對于波浪增阻的貢獻最為顯著。

波浪增阻通常可通過測量靜水中航行的阻力和波浪中航行的平均阻力之間的差異來獲得，對實驗精度要求很高，具體測量方法有多種。常用的拖航法中，船模和拖車一起前進，適航儀允許船模多自由度運動，同時使用測力元件測量船模受力。另一種是以自航實驗法測量螺旋槳推力，這種方法又可分為常速法（強迫自航法）和常負荷法（純粹自航法）。國際拖曳水池會議（international towing tank conference, ITTC）曾對該科目開展了深入討論，基于多個成員單位對60 系列船型的實驗結果,對比了拖航法和自航法的優劣[25]。對于自航法，STR?MTEJSEN 等[26]曾討論了常速法和常負荷法這2 種方法。由于當時的實驗研究多聚焦于迎浪狀態，故更傾向于拖航法。對于斜浪中的實驗，多年實踐表明2 種方法各有千秋[27]。

FUJII 等[28]測量了幾艘實際船型在各浪向和航速下的波浪增阻，應用MARUO 的方法計算船舶運動誘發的增阻，實驗和數值結果的對比顯示短波中的數值預報遠低于實驗值。他們據此推論，在（相對）短波中，艏部反射波誘發的增阻沒有計入，需要引入短波經驗修正。ADACHI[29]從理論上證明細長體理論難以準確預報涵蓋反射（reflection）和透射（transmission）的繞射效應。為了改進短波中的增阻預報，后續開展的一些實驗研究聚焦于反射效應的研究。FALTINSEN 等[30]發表了1 個漸近公式,并在肥胖船上得到良好驗證。為了進一步驗證該公式，STEEN 等[31]開展了不同類型排水式船的實驗。實驗結果表明：該公式低估了有明顯外飄的高速船的波浪增阻，而且由于水池所造短波的穩定性問題,相關實驗結果會有較大誤差和較高不確定性。GUO等[32]使用大型油輪KVLCC2 標準船模（下文簡稱為“KVLCC2 標模”）針對短波中的增阻開展實驗研究,在實驗分析中進行波浪校核并采取消除噪聲等措施,討論了實驗結果對入射規則波質量的敏感性。該實驗的新穎之處在于使用分段船模以探索各船體分段對增阻的貢獻，迎浪中的實驗結果表明增阻主要來源于船首部分的貢獻。KURODA等[33]和TSUJIMOTO等[34]進行了多項實驗，嘗試調整短波修正公式中的各個系數，在研究反射系數時，均應用了波浪被薄板反射的概念。不過，該概念仍值得商榷，因為置于波浪中的船體應簡化為具有一定厚度的長方體，而非薄板。

除了直接測量船模受力或螺旋槳推力外，還可以測量船后非定常波系，對波形進行分析并得到科欽函數（Kochin function），進而得到波浪增阻。OHKUSU[35]通過實驗和數值分析得出，從理論波場總通量計算所得的增阻與從測量非定常波系得出的增阻吻合度高，作為一種波形阻力，波浪增阻是可以準確預報的。然而，在入射波非常短及航速較快的情況下，利用細長體理論則無法準確預報繞射波。波形分析法既可在橫向進行，也可在縱向進行，該方法在實驗測量中也被其他學者所采用[36-37]。

BLUME 等[38]深入研究了球鼻艏在波浪中的性能，特別是對推進性能的影響。他們準備了方型系數為0.57 ~ 0.76 的一系列船模，系統地改變了船長船寬比（L/B）和船寬吃水比（B/T），并為這些模型設計各種球艏，然后在迎浪規則波中進行實驗并獲得船舶運動、加速度、推力和扭矩等數據。通過實驗，他們觀測到球鼻艏在波浪中無法建立穩定的波系來抵消船體興波，故而會造成阻力增加，而且通常假定的“推力增加與波幅的平方成正比”這一關系并不適用于所有情況。

KADOMATSU[39]研究了大風浪狀況下的船舶操縱性,從航行安全的角度對大型肥胖船型所需的主機最小輸出功率進行評估。在這項研究中，他們探究了迎浪低速前進的大型散貨船在規則波中受到的波浪增阻。二十幾年后，當EEDI 成為國際海事組織脫碳計劃的重要規則后，該課題受到前所未有的重視，中國、日本、韓國及歐盟等都對此進行了深入研究。

BLOK[40]提出“艏部垂向相對運動是波浪增阻最大成因”的假定，并開展了大量模型實驗來進行驗證。在這些實驗中，他探討了波浪頻率、波高、浪向以及船舶速度、尺度、線型和艏部設計等對增阻的影響，特別提出了“艏部動水位升高（dynamic swell-up）”這一新定義，這是由于船舶搖蕩而引起舷側水位高度的變化。該現象也吸引了后續一些研究者，NMRI 研究所開發的新型STEP 設計就利用了此概念[41]。

波浪增阻的測量和預報也在2010 年的“哥德堡數值船舶流體動力學研討會”中受到關注[42]，結果顯示不同測試設施之間的差異大于測量數據的不確定性。因此，該研討會進而建議組織新的合作活動，以便深入研究并應對該挑戰。2015 年，“東京數值船舶流體動力學研討會”再次關注了該課題[43]。針對KCS 標模，該研討會分析了在FORCE 公司使用2.7 m模型與6.1 m 模型所得的實驗數據及其不確定性，以及在IIHR 研究所使用2.7 m 模型所得實驗結果及其不確定性，還分析了在大阪大學使用3.2 m 模型所得的實驗結果。綜合這些結果顯示，波浪增阻的實驗結果中存在相當大的不確定性，如圖2 所示。

圖2 在不同拖曳水池使用不同尺度KCS 船模測得的迎浪中波浪增阻（Fn=0.26）

多數情況下，不同測試設施之間的差異大于測量數據的不確定性，且該問題尚未得到妥善解決。

不確定性是增阻測量中的難點之一。PARK等[44]研究表明增阻測量的不確定性在短波中尤為明顯。VAN ESSEN 等[45]在波浪水池（非長條型拖曳水池）實驗中觀察到，水池在重復造波和消波過程中，可能會形成大尺度、不均勻且衰減非常緩慢的小殘余流。其流動的速度非常低，通常不會影響模型的運動。但這對低航速工況及小波幅波浪增阻的精確測量會產生明顯影響，導致波浪增阻測量結果的不確定性增大，故而有必要充分理解波浪水池中的殘余流，并基于所測得的流速進行校正，進而提高測試的質量。這項研究也從側面印證了水池造波可重復性的問題以及在不同水池進行實驗的可重復性問題。VAN ESSEN 等[46]指出，在遠離造波機推板的區域，水池造波的可重復性不強，這會影響（無因次）實驗結果的可重復性。此外，在不同波陡情況下，碎波現象顯著不同，這也會影響（無因次）實驗結果的可重復性。

SOGIHARA 等[47]使用同一船模分別在2 個長條形拖曳水池和1 個方形實海況水槽中，對靜水阻力和短波中的阻力進行了重復實驗。對實驗結果不確定性的分析表明，靜水阻力系數誤差源分量和短波中增阻系數的誤差源在不同設施間存在顯著差異。在拖曳水池中，水速的測量是不確定性的主要來源；而在水槽中，水速和阻力的測量均對不確定性有較大影響。短波中增阻系數測量的不確定性在拖曳水池和實海況水槽之間也存在差異：在拖曳水池中，主要的不確定性來源于波高；而在水槽中，主要的不確定性來源于靜水阻力。使用同步測量系統雖有助于減小短波中增阻測量的不確定性，但由于無法控制水池中殘余流的存在，故對靜水中的阻力測量沒有幫助。

VALANTO 等[48-49]比較了2 種不同的艏部設計對客滾船所受波浪增阻以及功率的影響，該實驗研究涵蓋了各個浪向的增阻。YASUKAWA 等[50]開展了3 艘方型系數為0.81 ~ 0.87 的Scb 系列船模在規則波中迎浪航行下的實驗，通過改變入射波高研究波陡對增阻的影響。實驗結果顯示：“規則波中，波浪增阻與入射波幅度的平方成比例”這一論述僅在波長船長比（λ/L）大于0.7 的范圍內成立。在λ/L小于0.7 的范圍內，波高效應的指數顯著小于2。LIU 等[51]也曾基于實驗結果討論波高對增阻的影響。

2013 年后，由于EEDI 的引入，油船和散貨船的裝機功率呈逐漸下降趨勢，從而加深了人們對這些船舶在惡劣海況下航行安全性的擔憂。在此背景下，SHOPERA 項目[52]針對波浪中的操縱性開展了大規模實驗，使用KVLCC2 標模、現代大型集裝箱船DTC 標模（Duisburg test case）及客滾船模型等，研究船舶在中低航速、不同裝載狀態、任意浪向、有限水深和淺水中的增阻。實驗中使用柔性牽引系統約束船模并測量平均波浪力，該系統由在水平面上呈菱形分布的4 根細鋼絲線組成，如圖3 所示[53]。

圖3 在CHEHIPA 拖曳水池測試KVLCC2 標模增阻時所用的柔性牽引系統

該系統中的2 條鋼絲線連接在船首，另外2 條鋼絲線連接在船尾，左右兩舷的鋼絲線均連接固定到平面運動支架的垂直桿上。該柔性牽引系統既能夠測量漂移力，還可以在保證模型方向的同時盡可能降低對其運動的影響。通過緩慢旋轉平面運動支架，該布置還可以方便地改變模型相對于波浪的方向。應當注意的是，由于該項目的研究目的是分析惡劣海況下的航行安全性，因此所定義的實驗工況波浪較陡。

下頁圖4 顯示了DTC 標模在大浪中的情形。由于設計水線附近的船體線型（球艏和方艉）存在顯著變化，故其耐波性的準確預報異常復雜。隨著最小推進功率評估進入實施階段，世界各地的實驗單位也積累了越來越多的工程實驗結果。GERHARDT等[54]指出, 由于池壁效應影響，在長條形拖曳水池中開展低速實驗得到的結果并不正確，需要在方形水槽中進行實驗。LIU 等[51]和FENG 等[55]也曾指出該問題。

圖4 DTC 標模在大浪中的運動：現代船型遭遇陡峭波浪時會誘發強非線性水動力現象

LEE 等[27]發表了4 艘主要類型商船（散貨船、油船、集裝箱船和液化天然氣運輸船）的增阻實驗研究結果，該項研究的主要目的是提高波浪增阻的分析技術及構建fw系數數據庫。在這些實驗中，他們分別采用約束模和自航模實驗這2 種方法來構建不同波長和幅度的各種規則波條件基準數據。

水池實驗一般測量一階運動和相應的二階平均力。近年來，KASHIWAGI 等[56]和IWASHITA[57]開發了新型測量系統，用于測量1 艘散貨船濕表面的非定常壓力分布并得到波浪增阻，如圖5 所示。這種新型的壓力測量系統使用333 個傳感器來測量半船的壓力分布。該項工作可以有效支持對局部物理量數值結果的精確驗證，從而支持耐波性軟件的進一步開發，以提高預報精度。

圖5 在船模上安裝大量傳感器來測量非定常壓力分布

多年來，隨著世界各地的研究者逐步發布各自的實驗結果，目前已積累了大量實驗數據和相應的船型數據。LIU 等[20]回顧了這些研究，表1 在此基礎上有所增減。

表1 有公開型線圖的船舶波浪增阻實驗結果

2 基于勢流理論的預報方法

前文提到，OHKUSU[35]通過實驗和數值分析得出波浪增阻是1 種波形阻力，這說明波浪增阻輻射成分的主要成因是非黏性部分，故可用勢流理論來研究。20 世紀中葉，隨著多種基于勢流理論的方法應用于耐波性預報，學者也開始討論基于這些結果預報波浪增阻。MARUO[58-59]根據動量守恒原理建立了浮體在規則波中受到的平均二階波浪力的計算方法，并指出波浪增阻主要是由縱搖和升沉運動引起的。在這個方法中涉及到速度勢及其偏導數在遠場控制面上的積分，故被稱為遠場法。OHKUSU測量分析船后非定常波系得出：波浪增阻其實就是遠場法的實驗實現。

GERRITSMA 等[60]基于能量守恒原理提出以輻射能法計算船舶在波浪中所受的運動增阻。輻射能法，即在1 個遭遇周期內，船舶搖蕩運動產生的輻射能等于船舶運動增阻所做的功。他們基于二維切片法求出船舶垂蕩和縱搖運動相位后，用輻射能法計算船舶的運動增阻，通過計算輻射阻尼波能量的大小來確定船舶在波浪中的阻力增加。后來,SALVESEN 使用STF 方法求解基本耐波性特征，并使用這種方法預報增阻，得到令人滿意的結果[61-62]。由于STF 方法是當時最先進的耐波性預報理論，因此該成功并不意外。

然而，上述方法均無法準確預報短波中的增阻。BOESE[63]曾嘗試通過積分流體動壓力來改進這個缺點，但其模型中的流體動壓力分布被高度簡化了。PINKSTER 等[64]提出濕表面積分壓力的方法,但其工作仍集中在零航速問題上。PAPANIKOLAOU[65]將這種方法擴展到二階問題；FALTINSEN 等[30]將這種方法擴展到有航速問題。這些在船體濕表面進行積分壓力而得到受力的方法一般稱為近場法。

遠場法考慮了船體興波在無窮遠處的能量和動量通量，通過對總動量變化率的分析得到穩定的阻力增加值。該方法（基于動量守恒原理）收斂速率快, 但不能區分各物理量及船體各區域對增阻的貢獻。近場法則是通過對船體濕表面上二階壓力的直接積分來計算增阻，需要通過對一階速度勢及其偏導數的精確計算來實現，這對三維船體表面速度勢的計算精度要求很高。近場法需要計算水線積分、速度平方項的積分及其他項的積分，這些積分可以被分為不同部分貢獻（如船首或船尾）, 可以體現船體不同區域的重要性以指導船舶設計。HIGO 等[66]用質量守恒原理和能量守恒原理導出了波浪增阻的遠場公式，解決了以往用近場法和遠場法所得數值結果不一致的矛盾，并且指出以往的不一致是由于船體濕表面與靜水面交線處的線積分處理不當所造成的。戴遺山等[67]簡化了推導過程,從近場公式直接推得遠場公式，從理論上說明了近場法和遠場法的數值結果應當一致。

以上是對基于勢流理論的各種計算增阻方法的簡略回顧。一些學者試圖比較這些方法的優劣，但是由于耐波性基本問題的求解細節處理中有很多不同之處，所用的基準數據也不一致，故而這些研究得出的結論也不一致。早在1973 年，STR?M-TEJSEN 等[26]采用了MARUO、JOOSEN 和GERRITSMA 等人的3 種方法預報60 系列船模的增阻結果，并分別同實驗值進行比較，結果表明GERRITSMA 的方法與實驗結果最符合且精度最好。HEARN 等[68]比較了使用切片法和面元法求解耐波性問題，然后用近場法和遠場法計算波浪增阻，各種方法得出的結果都比較接近，但是均無法準確預報短波增阻。JONCQUEZ 等[69]使用面元法求解耐波性問題并通過壓力積分和動量守恒方法計算波浪增阻，結果表明這2 種方法都可以很好地預測大多數幾何形狀的附加阻力，但是動量守恒方法低報了1 艘散貨船的增阻。SHIGUNOV 等[70]發表了有多種方法參與的增阻預報盲測結果，并與KVLCC2和DTC 在多航速多浪向下的實驗結果比較，結果證實三維面元法預報的結果最可靠。KIM 等[71]采用高階B 樣條Rankine 源方法在時域求解，然后用近場法計算增阻。他們測試了Neumann-Kelvin和疊模流的線性自由面條件，結果表明：使用Neumann-Kelvin 線性自由面條件計算細長體在高弗勞德數下的增阻表現更好，而使用疊模流條件在肥胖船型低弗勞德數時的結果更好。KASHIWAGI等[72]、LIU 等[73]、SONG 等[74]研究了各自由度速度勢之間的干涉和耦合。

多年實踐表明，不論是近場法、遠場法還是輻射能方法，在理論上都較為完備，均可成功進行增阻預報。然而在實際計算中，需要通過基本的耐波性預報方法得到船體濕表面上的壓力分布和船舶運動，然后應用這些方法得到波浪增阻，故而波浪增阻的預報質量在很大程度上由基本耐波性預報結果的優劣所決定。由于在基本耐波性求解過程中使用的方法有不同的假定（2D 或3D 方法、細長體假設以及定常流處理等），所得的運動預報結果存在明顯差異，故而并非總能得到令人滿意的波浪增阻預報結果。

從計算的基本實現上看，由于歷史原因，基于細長體假定（流場沿縱向變化緩慢）的切片法有相當多的應用，但由于基本理論的限制，即便這些方法能夠滿意地預報船舶運動（全局變量），其在計算增阻（艏艉兩端壓力差）時的表現也令人質疑。三維面元法在過去幾十年得到了充分發展，涌現了常值面元法、泰勒展開邊界元法[75-76]和高階面元法[77-78]等方法。這些方法之間的核心差異在于如何處理單個面元上的速度勢和切向速度分布，主要的討論集中在計算效率和結果可靠性上。

然而，相當多的勢流方法都是基于線性化的前提，波浪和均勻流（前進速度）之間的相互作用卻被不同程度地簡化或忽略，很多方法都應用零航速格林函數求解基本問題，對速度勢/壓力進行修正,以近似前進速度的影響。此外，還有個比較特殊的問題，即潛橢球近自由面運動[79]。這種情況下，自由面興波效應特別強，只有應用有航速格林函數方法精確考量航速影響，才能得到有意義的增阻結果。圖6 顯示了基于2 種不同方法計算近水面潛橢球表面速度勢幅值的數值結果[80]。在潛橢球的首部,2 種方法的結果相似，隨著位置向中后部移動，2 種方法的計算結果之間的差異變得非常大。該算例也可清晰說明速度勢求解質量對增阻計算的影響。

圖6 基于零航速修正和有航速格林函數方法求解所得的潛橢球近波面運動時誘發的繞射勢

航速的影響是個復雜問題，它影響到基本耐波性問題求解。無航速漂浮在波浪中的船舶僅會誘發繞射波和輻射波，但有航速情況下，則會誘發4 個波系[81]。這會在求解基本耐波性問題時帶來一些困難，包括：如何處理定常興波、如何描述自由面條件、定常興波如何影響非定常波系等。對這些問題的不同處理方法都會影響到速度勢求解和運動預報，進而影響增阻計算數值結果，繆國平等[82]對此曾有深入討論。BUNNIK[83]也指出，對于在波浪中以中高航速航行的船舶，定常勢和非定常勢之間的干擾非常強，無法使用均勻流或者疊模流來有效地近似定常興波。因此，他采用全非線性定常流來模擬航速效應，波浪與定常流之間的相互作用體現在邊界條件中定常項和非定常項之間的耦合項中。此外，BUNNIK 等[84]通過比對結果顯示，這種方法得到的船舶運動和增阻預報結果都比較理想。

另一個基本問題涉及到在頻域還是時域求解。頻域求解穩態解一般都基于平均濕表面。對于現代船型，艏部形狀復雜且常伴有大外飄，艉部也會有懸垂。如先前的圖4 所示，在耐波性實驗過程中，物面非線性效應比較大，線性方法無法理想地處理這些設計帶來的問題，而特定的方法在以前的比對研究中可能表現不錯，但應用到新船型時也可能會遇到一些問題。時域求解的優勢之一就是可以方便地考慮非線性物面條件，有效改進船舶運動的預報精度，特別是在諧振區的峰值預報精度。當然，時域求解的計算效率不如頻域高，在一定程度上會喪失使用基于勢流理論方法的優勢。

以上均為基本耐波性求解中的常見問題。得到基本解后，還面臨著對不同波系積分處理的問題[85]，其中就涉及到浪向影響這個微妙的問題。工程實踐需要預報任意浪向的波浪增阻，然而，大多數方法在進行初步驗證時都只針對迎浪狀況。由于實驗數據的限制，對斜浪中的驗證相對較少。雖然理論上斜浪中的波浪增阻并無特殊之處，但在數值計算中卻并非如此。比如：一些方法中的奇點分布可能會針對迎浪狀態進行優化，但對其他浪向的預報是否也是最優分布則不得而知；此外，在一些方法中，出于簡化計算的目的，有一些項會被簡化或者舍棄[86]。這些處理方式雖對迎浪結果無太大影響，但是否適用于其他浪向則有待進一步驗證。

3 基于求解黏性方程的方法

基于勢流理論的頻域方法一般是在平均濕表面求解，無法考慮波浪非線性、船體非線性及運動非線性的影響，非主流的時域方法則開發復雜且計算耗時。直接求解黏性方程（RANS）的計算流體力學（CFD）方法可直接模擬船舶水動力學相關的非線性流動特征，實現高精確度的耐波性預報。相較于勢流理論方法，CFD 方法的最大優勢是可以研究強物面非線性和強波浪非線性的問題，并可考慮到黏性的影響，故可用來處理依靠勢流方法較難解決的問題，目前已有多種自研軟件、開源軟件和商業軟件可供使用。與實驗相比，RANS 模擬的顯著優勢在于能夠借助軟件強大的后處理功能，較容易地得到全面的流場信息，用于細致研究船體表面上的壓力分布、局部流動特性及指導船舶優化設計。

在20 世紀80 年代的早期階段，由于軟件發展尚未成熟且受到硬件發展水平的限制，CFD 模擬大部分側重于較簡單的靜水阻力預報和流場的模擬[87]；2000 年前后，CFD 模擬逐漸應用于預報船舶在波浪中的運動。WILSON 等[88]采用CFDShip-Iowa 軟件模擬了在迎浪中前進的固定Wigley 船體DTMB-5415 模型周圍的非定常流動，這是有航速的繞射問題。SATO 等[89]模擬了改進Wigley 模型和60 系列船型在迎浪狀態下的升沉和縱搖運動，在貼體網格系統的框架下采用有限體積法對非定常RANS 方程進行離散化。HOCHBAUM 等[90]研究了迎浪航行船舶在固定狀態及自由縱搖和垂蕩狀態下的波形和船舶阻力，采用有限體積法離散NS 方程和連續性方程。2005 年，在“東京數值船舶流體動力學研討會”上，使用DTMB-5415 模型作為基準模型，研究有航速的繞射問題，這是非定常RANS 的相關代碼和軟件在船舶流體動力學研究方向的首次基準研究[91]。

使用CFD 預報波浪增阻大概開始于ORIHARA等[92]使用基于有限體積法的WISDAM-X 軟件計算SR108（S175）集裝箱船在波浪中航行的運動響應和增阻，結果顯示該船型突出的船首能夠有效減小波浪增阻。在這項工作中，他們使用了密度函數方法捕獲自由面，結合造波、來波與船舶之間的相互作用，以及由此產生的船舶運動與重疊網格（overset grid）系統一起使用。SIMONSEN 等[93]使用數種軟件對KCS 標模的耐波性進行了模擬，數值結果顯示：各種軟件對船舶靜水阻力和運動的預報均表現良好，但對波浪增阻的預報并不理想，數值預報結果和實驗測量結果之間存在很大差異且難以解釋。DENG等[94]研究了集裝箱船在短波中的幾種情況，結果顯示短波中的增阻預報值和實驗結果差異高達50%。ORIHARA[95]使用RANS 代碼的WISDAM-X 軟件對商船模型在波浪中前進的流動和運動情況進行了非定常CFD 模擬，并將仿真結果與實驗數據進行比較：首先，為檢驗在波浪中運動船舶的周圍非定常流場預報的準確性，對各種波浪條件下的船首表面壓力進行預報，通過直接與模型實驗中獲得的表面壓力時間歷程進行比較后發現，模擬結果與實驗數據的相關性相當好，計算結果得到了驗證；之后，又對壓載條件下的模型進行模擬，并對預報所得的流動結構進行檢查，以研究壓載條件下增阻產生的機制。通過與實驗數據的比較發現，得益于CFD模擬中對非線性物面和自由面條件的精確處理，計算結果很好地再現了實驗數據，即便是處于反射分量在增阻中占主導地位的短波范圍內。

2010 年的“哥德堡數值船舶流體動力學研討會”上，比較了集裝箱船KCS 標模、KVLCC2 標模和水面船標模DTMB-5415 在波浪中的運動和阻力。研討會總結了各種方法預報結果之間的相關性，但未就湍流模型達成共識。DENG 等[96]使用ISISCFD 流動求解器研究了KVLCC2 的波浪增阻，他們采用有限體積法，并使用類SIMPLE 的方法處理速度-壓力耦合，在非定常計算中采用針對時間變量的二階方案，但沒有提供用于驗證數值模型的實驗數據。

GUO 等[97]研究發現，使用CFD 方法預報短波中的增阻所得結果與實驗結果相吻合，遠優于傳統勢流方法。然而，為了很好地捕捉波浪，所需網格尺寸小且時間步長密，因此在短波中進行CFD 模擬的成本非常高。不過，由于船舶在短波中的運動很小，因此在預報增阻時可以將船體固定（無振蕩運動）。數值結果表明：這幾乎不會影響增阻的預報，但能夠節省CPU 計算時間，又易于得到準確的數值結果。他們還將波浪增阻分為兩部分，一部分是由于壓力阻力的變化引起，另一部分是由于摩擦阻力的變化引起。結果表明：由于摩擦阻力的變化而引起的增阻非常小，增阻主要來自壓力阻力的變化，占主導地位。摩擦阻力無因次值的變化很小，在短波中幾乎是恒定的。

SADAT-HOSSEINI 等[98]研究了KVLCC2 在迎浪規則波中的運動和增阻，發現數值結果對網格大小和時間步長相當不敏感，而且是否限制縱蕩對CFD 模擬的結果也沒有顯著影響，但在實驗研究中卻觀測到了對縱搖運動和增阻的影響。此外，他們還發現對力和力矩的分解適用于一次諧波，卻不適用于長波輻射和極短波繞射問題中的高次諧波。對局部流動的分析表明，增阻主要是因與相對運動相關的船首上部高壓力所導致。SIMONSEN 等[99]研究了KCS 集裝箱船在不同航速下，在迎浪規則波中航行時的運動、增阻和流場，研究重點是大幅運動，因此實驗設計在共振區附近和受力最大條件下進行。該研究基于CFD 計算結果對流場進行分析，顯示了由入射波、船舶運動和船體形狀的組合引起的復雜且隨時間變化的流動。船舶在水中上下運動時產生的波浪擾亂了入射波。隨著船首進出水，船體濕表面顯著變化，也導致了壓力場和速度場的變化。此外，船首的相對運動比船尾更大。由于船的運動、波浪入射造成的壓力變化及波浪中水質點的軌跡運動速度等，在整個遭遇期間，船后尾流的軸向速度和渦度等值線也發生了劇烈變化。然而，在預報增阻上，CFD 的預報結果和實驗結果之間存在較大且無法解釋的差異，最后，作者將原因歸結為模型實驗中拖曳及測量方式不理想。

SHEN 等[100]使用基于OpenFOAM 軟件的求解器計算分析了DTMB-5512 模型在波陡不同的波浪中的增阻，并觀察到強非線性特征。與勢流方法相比，CFD 方法可以處理陡波中的問題，并能獲得流場細節，有助于理解非線性特征的成因。

SIGMUND 等[101]采用基于RANS 的方法，系統地研究了4 種船型在短波和長波中的增阻，而黏性效應對短波中波浪增阻的影響是其中的新穎之處。其通過從波浪中的摩擦阻力減去靜水中的摩擦阻力,確定了因摩擦阻力變化而引起的增阻。計算表明,在短波中，摩擦增阻占總增阻的很大一部分，甚至大于20%（模型尺度下）。為了更好地理解這些結果，他們還比較了集裝箱船和油船在靜水和波浪中以恒定速度前進時，濕表面的剪切應力分布，同時指出，波浪中的軌道速度導致分子和湍流剪切應力增加并加大了作用于船體濕表面上的摩擦力。在波峰下方可明顯觀測到高剪切應力，然而進一步的數值計算表明，全尺度下的黏性效應貢獻變弱。

CHEN 等[102]使用基于有限體積法的RANS 求解器研究了S175 船模在相同波長不同波陡的迎浪規則波中的運動和增阻，升沉、縱搖運動以及增阻數值結果受波陡增大影響而變化的趨勢與實驗結果一致。隨著波陡增大，縱向力的高次諧波分量急劇增加，這表明二階勢流理論在陡波中的應用存在局限性。此外，其還觀察到非常復雜的瞬態波型和船體壓力分布。阻力的非線性與入射波、船舶運動的幅度和相位，以及它們之間的相互作用密切相關。通過在船體上繪制壓力的零次、一次和二次諧波幅值，發現陡波中的增阻主要在船首處引發。

KOBAYASHI 等[103]使用基于結構化網格系統的重疊網格方法的自有RANS 求解器，對迎浪下的波浪增阻進行了綜合性的參數化研究。其以日本散貨船（Japanese bulk carrier, JBC）為例，介紹了系統性設定最優求解域大小、網格分辨率、時間步長和邊界條件的方法，并將獲得的配置應用于不同船型的波浪增阻預報，所得計算結果與實驗數據吻合良好，從而驗證了所得到配置的通用性。

截至目前，大部分RANS 耐波性模擬都在模型尺度上進行，有關實尺度方面的研究尚少。然而,如HOCHKIRCH 等[104]所言，因為尺度效應的存在,模型尺度的流動和實尺度的流動顯示出明顯差異,這個差異主要源于相對不同的邊界層、流動分離、波浪破碎及船尾幾何形狀。TEZDOGAN 等[105]探索了實尺度下模擬KCS 在迎浪狀態下的耐波性,并計算了波浪增阻。然而，他們比較的對象仍是模型尺度的實驗結果，而非相應模型尺度的數值結果。

綜上所述，經過多年的積累和沉淀，求解黏性方程的CFD 方法在模擬船舶在波浪中的運動、預報增阻及其他相關非線性現象方面取得了巨大的發展和進步。整體來看，迎浪狀態的模擬技術已比較成熟，雖然精度仍受網格密度的限制，但結果相對穩定。短波中的模擬也得到了學者們的重視，對其他浪向的模擬尚處于探索階段。斜浪中的模擬結果在最近幾年陸續有發布，隨浪中的模擬仍比較困難，重疊網格技術的發展也許能夠推動更大的進步。從開發角度看，一些基本模型（如湍流模型、壁面條件設定等）尚需進一步驗證。從使用角度看，則仍存在建模困難、不確定因素多及分析困難等瓶頸，且對使用者要求極高。從計算本身來講，有計算量大、運行時間長、對硬件要求高等難點，并且短波中的模擬仍難以處理。最后，從結果的驗證方面看，大部分商業軟件都有強大的后期功能，支持精細分析和驗證，但這也需要詳細的實驗結果為支撐。

4 半經驗預報方法

上述方法都是基于船體型線設計建立幾何模型，然后設定求解域，求解拉普拉斯方程或黏 性方程，得到速度勢和船舶運動，再計算波浪增阻。但和這些泛型通用方法不同的是，經驗預報方法著眼于將基本船舶特征、航速、波浪特征和波浪增阻聯系起來，為解決船舶設計和運營中的問題提供快速、透明的解決方案。這是非常有實用價值的研究方向。

上世紀七八十年代曾陸續提出了一些經驗方法[106-108]，遺憾的是這些方法后續大多沒有得到充分改進。時至今日，只有JINKINE 和FERDINANDE 方法[107]被融合到STAWAVE2 和SNNM 公式中[8]，其他的方法已很少被提及。

對于實海況下的波浪增阻，有幾個非常簡單的公式（如KREITNER 公式[109]和STAWAVE1 公式[110]）適用于海況較低、沒有誘發船體運動的情況。不過，前者并無公開驗證結果，而ITTC 發表的對后者的驗證結果表明其性能堪憂[110]。更普適的經驗預報方法則需利用更多的船型和波浪參數，從結構上看，一般包括首次近似加上1 個修正項，表達如下：

式中：RAW(0)是對規則波中波浪增阻的首次近似,主要考慮來自運動效應的貢獻；RAW(1)是對首次近似的1 個修正，在短波中主要是反射效應的貢獻。這個思路和FUJII 等[28]的工作一致，適用于首浪的STAWAVE2 方法和適用于全浪向的SNNM 方法都是這種架構。下面簡要闡述這2 項相關工作。

對首次近似項——船舶運動的貢獻，JINKINE等[107]通過分析幾艘快速貨船的實驗結果，得出如下結論：

（2）增阻峰值位置取決于= 1；

（3）增阻峰值取決于船型、船速、浪向和裝載狀態等因素。

數值結果顯示該公式能夠較好地預報船舶運動對波浪增阻的貢獻，只有短波區域的預報不理想。LIU 等[20,111-113]進一步改進了該方法。基于大量的實驗數據和數值模擬結果，他們識別出更多影響波浪增阻的船型參數（B/T和CB等），將其引入公式,拓寬了公式適用的航速范圍、船型和裝載狀態等,并將公式擴展到任意浪向。

如圖7 所示，他們基于參數化分析的理念，生成系列船型的過程，見圖7（a）；使用三維面元法求解耐波性問題，并根據Maruo 遠場方法計算波浪增阻，見圖7（b）；最后分析得到增阻和船型之間的關系，并用簡單透明的數學公式表達，見圖7（c）和（d）。

圖7 生成系列船型，計算波浪增阻，并得出增阻和船型參數之間的關系

此方法本質上是基于經典流體力學中的相似理論，設計了適當的數值實驗來確定具體的經驗模型。若利用得當，將來可進一步推動經驗預報方法的進步。

對于修正項的計算可以追溯到HAVELOCK[14]。他基于全反射假定計算了固定在波浪中的垂直圓柱體所受到的定常力，推導出如下公式：

式中：ρ是水密度，kg/m3；g為重力加速度，m/s2；ζA為入射波幅，m；B為柱體寬度, m；BF為柱體的水線面的豐滿度系數：

式中：θ為水線分段和船體中線的夾角，rad。

基于HAVELOCK 的工作，FUJII 等[28]提出了考慮反射效應的半經驗修正公式， 見式（4）：

需要注意的是，式（5）采用的反射系數R是薄板的反射系數。固定的垂直薄板遭遇入射波后,一部分波浪被反射回去，另一部分則透射傳播出去，這個基本繞射問題的解早就具備[114]。后來,TAKAHASHI[115]、KURODA 等[33]和TSUJIMOTO等[34]進一步調整了這個修正公式，但是他們使用的反射系數都沒有考慮入射波和薄板/水線分段的夾角，如圖8 所示。

圖8 向吃水為T 的固定垂直薄板傳播的規則波（左圖）及相應的反射系數R

應當注意的是，TAKAHASHI 改稱反射系數R2為“吃水修正系數”。這個說法不是很清晰，這會讓一些讀者誤以為應用了R2后，吃水影響就得到了完全修正。注意到二維船體具有相當的厚度而并非薄板，MOURKOGIANNIS 等[116]應用S?YLEMEZ等[117]的方法計算反射系數，以考慮吃水船長比、入射波方向和有限吃水效應等，見圖9。

圖9 浮體橫剖面的簡化形狀及相應的反射系數R（χ= 0o，深水）

在極短的波浪中，入射波遇到直壁物體會發生全反射現象，沒有能量能夠從物體的下方傳播出去。FALTINSEN 等[30]基于直壁假定并忽略黏性和尖銳棱角的影響提出了漸進公式，用于計算因全反射誘發的波浪增阻，見式（6）：

式中：為單位長度水線所受的平均力，見式（7）：

顯然，入射波不能到達整個區域，會產生遮蔽區（shadowed area），如下頁圖10 所示。上述積分式僅需在非遮蔽區計算即可，LIU 等[20]從理論上證明了遮蔽區誘發的反射增阻貢獻為0。

圖10 計算反射效應對增阻貢獻時所用坐標系及非遮蔽區示意圖

在迎浪狀態下，式（7）可簡化為：

將式（8）和HAVELOCK 公式對比后可以看出，該方法中引入了速度修正系數故可視為HAVELOCK 方法對有航速問題的一種推廣，并且也證明了FUJII 和TAKAHASHI 所提出的速度修正項的正確性。DUAN 等[118]嘗試在速度修正系數中引入二階貢獻項。

FALTINSEN 公式僅適用于入射波非常短的情形（全反射）。當入射波波長較長時，有2 種物理現象需要考慮：

（1）僅部分波浪被反射，而非全反射;

（2）反射波和物體僅在自由面到船體吃水深度之間相互作用。

FUJII 和TAKAHASHI 的公式引入反射系數R2來考慮第1 點的影響，但是未考慮到第2 點，故而嚴格意義上，他們提出的修正也包含了從船體下方傳播出去的能量。

KWON[119]的工作聚焦于低海況下的波浪增阻，充分考慮了各種因素后，提出如下公式：

除了速度影響系數CV，此處的反射系數CS是應用了光學領域的研究成果：

式中：σa是簡諧波中一般障礙物的衍射系數。

此外，他還基于史密斯效應，引入了吃水修正系數αT：

OGIWARA 等[120]也推導出了類似的數學表達式來考慮有限吃水對反射效應導致的增阻的影響：

該結果證明了KWON 所引入的吃水修正系數（1-e-2kT）的合理性。

對于零航速問題，KWON 和OGIWARA 之間的差異僅為表達部分反射系數CS。至此，我們可以得出結論：KWON 的公式可以考慮部分反射和有限吃水，理論上更為完備。

SAKAMOTO 等[121]對FALTINSEN 公式進行了修正：

應用FALTINSEN 公式預報瘦削形快速船的增阻時預報值較低。針對此問題，LIU 等[73]提出了引入基于船型系數的修正項，以便考慮外飄以及尖銳棱角和黏性等影響。綜合上述各種因素，更為完備的反射效應修正方法如下：

該表達式非常簡潔，每一項的物理意義都非常清晰明了。在SNNM 經驗公式中[20]，為了簡化計算過程以提升透明度，對上述公式進行了細微的調整和取舍。

此外，NAITO 等[122]研究了將射線理論應用于計算反射效應誘發的增阻，KALSKE[123]進一步探索了該方法，還有一些學者提出以其他方法來合并反射現象的貢獻[32,124]，但所提方案均缺乏合理的物理解釋。

應當注意到，這里討論的方案只能解決線性問題，公開發布的方法中尚未見任何方法能夠考慮波浪非線性或者波陡變化對增阻的影響。

5 數據驅動的方法

近年來，數據挖掘和人工智能技術在波浪增阻計算領域得到初步探索。CEPOWISKI[125]使用實驗數據訓練人工神經網絡預測了迎浪規則波中的增阻，以數學函數的形式呈現所開發的神經網絡。MARTI? 等[126]使用基于勢流理論的迎浪中的水動力計算數值結果，應用具有誤差反向傳播（error backpropagation）的前饋人工神經網絡（feedforward neural network）開發了1 個模型，用于估算船舶在迎浪規則波中的波浪增阻。為了繞開半經驗公式開發的復雜性，并克服單層人工神經網絡學習能力差的缺點，DUAN 等[127]提出了基于深度前饋神經網絡（deep feedforward neural network, DFN）的方法，在輸入參數、輸入層的設計、隱藏層數量、輸出層激活函數等方面進行優化，預報船舶在迎浪中的增阻。KIM 等[128]建立了1 個相當規模的實驗數據庫，測試了多種算法用于構建機器學習模型預測任意浪向中的增阻，結果表明支持向量回歸算法（support vector regression, SVR）具有較高的準確性和可靠性。這些方法本質上是純經驗方法，對數據庫質量有很強的依賴性（特別是對于短波問題而言，數據量有限且不確定度極大）。而且，多數情況下訓練所得模型是1 個“黑盒子”，失去了半經驗方法的透明度。更重要的是，由于缺乏理論背景，所得模型不具備外插擴展性，因此在未來的研究中需要探討如何克服這些缺點。

MITTENDORF 等[129]使用數據驅動的方法對SNNM 半經驗方法的參數進行統計校準，以降低SNNM 方法的固有不確定性。他們將最小化問題定義為單目標優化問題，并使用隨機和元啟發式粒子群優化器（meta-heuristic particle swarm optimizer）來解決優化問題。此過程在保持原經驗方法透明度的同時，充分利用了監督回歸模型的優勢。該發展方向有望在將來得到進一步發展，應用于提高半經驗方法的精度。

6 實海況下平均波浪增阻的計算

前文所討論的均為預報船舶在規則波中波浪增阻的方法。對于實海況下航行的船舶，則需要計算船舶在實際海浪中的平均增阻。一般而言，實際海浪是短峰不規則波，可以用方向譜來近似描述，那么船舶在一定海況下的平均波浪增阻可用式（16）所示二重積分來計算：

式中：為船舶在一定海況下的平均波浪增阻,N；RAW為船舶在規則波中的波浪增阻傳遞函數,N；ζA為波幅，m；ω為（規則）單元波的圓頻率；α為船舶航向和入射單元波之間的夾角，180°為迎浪；VS為船舶對水速度，m/s；Sf為不規則波的譜密度函數；G為方向分布函數。

開放海域的充分發展海浪通常用ITTC 雙參數譜來描述，其譜密度函數表達式為：

式中：HS為有義波高，m；T1為譜形心周期，s。

此外，也會經常用到其他的波浪特征周期（如譜峰周期Tp和過零周期Tz），它們之間的換算關系為：

在實踐中，有時會遇到一些被地理環境限制的海域，這些海域的風程有限，故波浪特征和開放海域有所不同。對被北歐各國所環繞的北海的長期觀測研究表明，該區域的波浪特征可用常規的譜密度函數乘以基于頻率的因子來描述，其近似表達式如下：

該函數需要3 個輸入參數，包括有義波高HS、譜峰周期Tp和譜峰提升因子γ。

令γ =3.3，則

式（20）可簡化為：

這就是所謂的JONSWAP 譜。該譜形較之于ITTC 的雙參數譜，能量更集中于譜峰附近一段較窄頻率范圍內，故而也稱為窄帶譜。應當注意，該海域的波浪特征周期和開放海域不同，故上述式（18）和式（19）不再適用。

令γ=1，則

這就是前述的ITTC 雙參數譜。

方向分布函數常用余弦函數的指數形式來表達，常見的表達式見式（26）[130]：

式中：s為方向分布參數；Γ 代表伽馬函數；θ為主浪向，|θ-α|＜π/2；α為單元波的方向。工程實踐中，一般對風浪設定s=1，對涌浪設定s=75。為簡化計算，涌浪中的平均波浪增阻也可用長峰波結果近似。

對式（16）中二重積分的計算在數值處理上并無特殊之處。值得注意的是，該式中的積分變量是波浪頻率而非波長。從這點看，確定增阻的頻率響應函數時，用波浪頻率設定更為合理，而非ITTC規程中推薦的按波長設定[8]。此外，在計算平均增阻時并不需要全波段的頻率響應函數，而是取決于目標波浪譜的特征周期。

圖11 顯示了1 艘LPP=395 m 的大型集裝箱船的頻率響應函數以及其在譜峰周期為4 ~ 8 s、波高為1 m 時的P-M 波浪譜密度函數。顯然，如果遭遇周期為4 s 的長峰波，則計算平均增阻時基本不需要考慮船舶運動的貢獻。文獻[19]定量分析了幾種船型在頗具代表性的海況下，頻率響應函數各部分對平均增阻的貢獻。

圖11 某艘集裝箱船在迎浪下的增阻頻率響應函數和不同譜峰周期的波浪譜密度函數

基于上述方法，選擇S175 船為研究對象，采用ITTC 波譜對應開放海域的海浪，設定s=1 時的對應風浪狀態，對Tp為3 ~ 15 s 時的平均波浪增阻進行計算，生成平均波浪增阻等值線圖，如圖12 所示。

圖12 S175 船在短峰波中的平均增阻（Fn= 0.25）

在工程實踐中可以參照此類圖，快速根據海況讀出當前浪向和周期下的無因次值，然后乘以無因次化所使用的參數，即可得到平均波浪增阻數值。

在實際問題中，海況的描述及波譜參數的測定常會有較多不確定性因素。在一般工程問題中，不經常實測這些參數，而是利用天氣預報/后報數據。在精度要求較高的工程問題中，雖然會實測這些參數，但是不同的測量方式得到的結果往往存在一定差異[131]，本文對此不作進一步討論。

7 結 語

如前文所述，科研工作者已開發了多種方法用來準確預報波浪增阻，其中的一些方法也被成功應用于船型開發、船舶營運及其他相關工程問題中。典型的應用方向是針對特定的運營環境對不同船型的艏部進行優化，如：MATSUMOTO 等[132]基于實驗結果針對散貨船開發了不同的艏柱；KURODA 等[41]基于實驗結果針對車輛運輸船開發了STEP 附體；YANG 等[4]用實驗和數值手段研究了艏部形狀對增阻的影響。不過截至目前，尚未有針對高海情優化船型或主尺度的報道。此外，ORIHARA 等[133]、LIU 等[134]將一些半經驗公式應用于船舶營運數據分析，以求得船舶在實海況下的航速和油耗性能。挪威船級社也在探索更新相關的標準方法[135]。

從數學模型的角度看，開發并應用這些方法無疑提升了我們對波浪增阻這一物理現象的認識。然而，近年來的幾次國際性比對研究結果顯示各種方法的預報結果之間離散度非常大[70,84]。圖13 顯示了KVLCC2 標模在低航速下的增阻的比對研究的結果。

圖13 KVLCC2 標模在迎浪6 kn 和12 kn 航速下的增阻預報比對研究結果

該結果還只是針對最為經典的迎浪問題，針對斜浪中的結果同樣不容樂觀。這尚且是在有充分準備的情況下，針對一個研究多年的標模的計算結果，如果在工程實踐中遇到一些新型設計，且時間比較緊迫，我們又能期待得到什么樣的結果呢？這一方面反映了這個課題難度極高，另一方面也從側面說明對這個課題的研究還不夠深入透徹，還需通過更多項研究工作來充分理解這個物理問題。

然而，得到這樣的結果其實也并不意外。眾所周知，耐波性預報中存在較大不確定性。下頁圖14 和圖15 分別顯示ITTC 在1978 年和2010 年發布的對S175 標模在設計航速、迎浪狀態下的縱搖和升沉運動的預報結果[136-137]。過去業界對該模型已研究多年，但是比較相差三十幾年的2 次大規模比對研究的結果不難發現，各種方法之間的離散度并沒有減小，反而增大了。一方面，2010 年的比對研究中參與的方法更多；另一方面，過去幾十年中，耐波性研究在理論上并沒有突破性進展，大多數方法并沒有明顯進步。一階運動的預報尚且存在這么大的差異，波浪增阻作為二階力，其差異可想而知。

圖14 S175 船模在迎浪設計航速下的升沉和縱搖運動幅值比對研究結果

圖15 S175 船模在迎浪設計航速下的升沉和縱搖運動幅值比對研究結果

從實驗角度看，要減小如此大的差異，需要提供更豐富、更精細的實驗數據，實驗用的模型要盡量大，水池尺度和航速要匹配，測量系統也需要精細設計并校核。此外，既要有波陡比較小、非線性比較弱的實驗結果，也要有波陡比較大、非線性比較強的實驗結果；既要有較簡單船型的實驗結果，也要有較復雜特殊船型的實驗結果；既要有長波中的實驗結果，也要有短波中的實驗結果；既要進行迎浪實驗，也要進行其他浪向實驗，而且要涵蓋不同裝載狀態；實驗結果也不能只有全局物理量 （運動和受力），還應包含局部物理量（全船壓力分布等），用于驗證速度勢及壓力分布的數值解的質量。這是一項非常有意義的工作，對于改進數值預報結果很有價值。另外，實驗單位應不斷開發改進測試設備，努力提高實驗的可重復性，從而降低實驗結果的不確定性。

ITTC 耐波性委員會已在組織相關工作，有興趣的讀者可以關注ITTC 的工作報告及相關進展。在開展物理實驗比較困難的區域，可以探索使用求解黏性方程的方法來補充物理實驗的不足，比如短波工況和陡波工況。在這些工作的基礎上，可以進一步開發、改進已有的數學模型與相應的軟件。

從數學模型驗證和數值實現角度，在針對單個船體進行精細驗證的基礎上，考慮到增阻實驗中極大的不確定性，有必要大幅度拓寬驗證數據范圍，進而使用統計分析工具評估數學模型及相關軟件的性能。ITTC 的SOS 專家委員會最近組織的針對新型SNNM 增阻預報方法的驗證工作[138]就是很好的例子。從耐波性課題發展的歷程來看，短期內實驗結果和各種數值預報結果之間的差異很難降低到較小的區間，半經驗方法的進一步開發和完善也許是滿足一般工程實踐需求的最有效途徑，更高級的預報方法可以在新船型、特殊船型開發中得到應用。

作為基本的水動力學問題，波浪增阻的預報方法繁多，工程中的需求千變萬化。本文權作拋磚引玉，敬請各界專家與同仁批評指正。