基于深度學習的高中數學概念教學研究

田鮮麗 常春鋒 陳華威

教師在高中數學教學中應不斷踐行深度學習的教學理念，培養學生具有批判性、創新性思維的能力，使其養成自主學習、主動學習、深度學習的習慣，最終，完成新課程核心素養教學，實現立德樹人根本任務。

一、問題提出

新課標指出，普通高中的培養目標是進一步提升學生的綜合素質，著力發展學生核心素養，使學生具有理想信念和社會責任感，具有科學文化素養和終身學習能力，具有自主發展能力和溝通合作能力。高中數學在基礎學科拔尖創新人才培養方面承擔著重要的歷史使命。新課程背景下，如何更好地完成教學目標，實現教師專業發展是高中教學改革的重中之重。為此，我帶領團隊深挖教材，從概念教學出發，幫助學生把抽象概念簡單化，深度思考數學思想。下面以全概率公式教學設計為例進行逐步探究。

二、教材剖析

本節課選自普通高中教科書北師大版數學（選擇性必修一）第六冊“概率”第一節“隨機事件的條件概率”。全概率公式是概率論中的重要公式，通過互斥事件的概率加法公式和條件概率的乘法公式計算概率，抽象出全概率公式。在“條件概率”的基礎上，從已知簡單事件的概率推算出未知復雜事件的概率，蘊含了“化整為一、積零成整”，將受多個因素影響的復雜事件概率分解成若干個簡單事件概率之和，反映了部分與整體、數據優化、化復雜為簡單的辯證思想，核心是培養學生拆分整合、抽象概括、用數學知識解決實際問題的能力。教學重點是“以學生為本”，利用“問題串”等引導學生獨立思考、自主探究、合作交流，通過模型演示、案例分析，使學生探索知識的來龍去脈，理解其本質，學會應用情境和借助全概率公式來解決實際問題，達到切實學好數學知識、提升數學學科核心素養的目的，實現授人以漁的育人理念。

三、目標解析

本節課通過尋找隨機現象的規律并從數學上加以刻畫，了解全概率公式的背景來源、基本思想，掌握全概率公式的適用環境、解決方法和實際應用。

為達成教學目的，教研組采取模型演示的方法，用“三門問題”創設情境， 用“問題串”引導學生自主思考、自主學習、合作探究，步步深入。通過探究過程，學生體會和模型有關的隨機思想、部分與整體的轉化，有利于培養學生將實際問題轉化為數學問題，以及提出問題、分析問題、解決問題的能力。

通過深化概念的形成、消化及應用，培養學生運用數學知識解決問題的能力，通過深度學習逐步提升學生數學抽象、數學運算、數據分析等核心素養。借助小組合作探究和課后資料查閱、報告整理，逐步培養學生的團隊合作意識和科研興趣。

四、學情分析

概率的應用性和實踐性較強，為了讓學生掌握全概率公式的計算和使用環境，教學中可以讓學生自主探究，抽象總結出全概率公式的概念。重點是幫助學生完成概念的構建，突破對全概率公式的理解及應用難點，讓學生深度理解樣本空間的劃分。通過反思，深度學習概念及本質、靈活掌握概念的應用環境、使用方法。讓學生學會拆分樣本空間，鍛煉學生的數學轉化和計算能力，實現學以致用。

五、教學策略

首先，從模型演示引入“三門問題”，從特殊到一般，層層遞進，用“問題串”啟發和引領學生學習、探究，達到理解、掌握知識的目的。選擇實例，設計問題。問題驅動興趣，讓學生主動參與知識探究，養成習慣，提升能力。其次，通過探究式教學提出探究問題，確定探究方案，完成探究過程。獨立思考和小組合作為不同認知基礎的學生提供了交流的機會，能實現深度學習的目的。探究過程中重視學生思維的形成，通過探究，激發學生學習興趣，讓學生真正成為知識的“發現者”和“探索者”。最后，落實立德樹人根本任務，培育學生科學精神和創新意識，提升學生數學學科核心素養。通過知識與生活的深度融合，提高教學的有效性，引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。教師建立多元評價體系，增強學生自信，幫助學生認識自我，完善并改進教學。

六、教學設計

（一）創設情境，引入課題

教師拿出山羊、汽車、三扇門模型。汽車放置于三扇門其中一扇的后面，其他門后均為山羊。讓學生選定任意一扇門，不允許打開，教師將打開另外一扇門，打開的既不是學生選定的，也不是學生想要的汽車。教師問：同學們是否要改變你的選擇，改選另一扇沒有打開的門呢？讓學生親自參與教學，激發學生的學習興趣。通過“問題串”啟發學生思考：

作為參與者的你，是否要改變你的選擇，改選另一扇沒有打開的門？你決策的依據是什么？怎樣求改選另一扇沒有打開的門獲得汽車的概率？

然后讓學生展開小組討論、合作探究并展示成果。其中一個小組回答：

記：B1：選擇山羊1;B2：選擇山羊2;B3：選擇汽車; A：改選汽車

由分析知：P（B1）=P（B2）=P（B3）=，P（A|B1）=

P（A|B2）=1，P（A|B3）=0

由全概率公式得：P（A）=P（AB1）+ P（AB2）+

P（AB3）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）=×1+×1+×0=

設置意圖：讓學生體會數學來源于生活，服務于生活。讓知識融入生活，調動學生積極性，從多個維度去發現、解決問題，探究感知概念，深入思考問題的本質。

（二）更新情境，認識概念

教師讓學生觀察教材184頁問題6，展開自主學習、獨立思考，舉手回答。（一分鐘時間讓學生發言）

生：設事件Bi表示“所取到的產品是由第i家工廠提供的”（i=1，2，3），事件A表示“取到的是一件次品”，其中B1，B2，B3兩兩互斥，A發生總是伴隨著B1，B2，B3之一同時發生，即A=B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A兩兩互斥，同樣，運用互斥事件概率的加法公式和乘法公式得到

P（A）=P（B1A）+P（B2A）+P（B3A）

=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）

=0.0125

設置意圖：讓學生運用互斥事件概率的加法公式和條件概率的乘法公式進行自主學習，歸納出問題的共性，將其一般化，為抽象概括全概率公式做準備，為理解全概率公式的意義奠定基礎。讓學生時刻圍繞教材展開思考，進行深度拓展。

師：請同學們思考并總結。

生：通過上面的問題，發現其中隨機事件概率的共性。如果B是由原因Ai（i=1，2，…n）所引起，則B發生的概率是P（BAi）= P（Ai）P（B|Ai），由于每一個原因都可能導致B發生，且各原因彼此互斥并涵蓋所有可能的情形，故事件B發生的概率是各原因引起B發生概率的總和，即P（B）=[][n][i=1]P（Ai）P（B|Ai）。

（三）抽象概括，構建新知

經過剛才的總結，請各小組進行樣本空間劃分。

第三小組：設Ω是試驗E的樣本空間，A1，A2，…，An為樣本空間Ω的一組事件，若（1）AiAj=Φ，其中i≠j（i，j=1，2，…，n），

（2）A1∪A2∪…∪An=Ω，則A1，A2，…，An稱為樣本空間Ω的一個劃分。

請學生總結并寫出全概率公式的概念。

設A1，A2，…，An為樣本空間Ω的一個劃分，若

P（Ai）>0（i=1，2，…n），則對任意一個事件B ?Ω 有

P（B）=[][n][1]P（Ai）P（B|Ai），該公式為全概率公式。

教師抽查后發現，全班40個學生中有38個學生完整寫出，達到了預期目標。

教師總結：全概率公式本質上是綜合運用加法公式和乘法公式解決“多因一果”的概率問題。它告訴我們，事件B發生的概率恰好是事件B在各種可能“原因”下發生的條件概率的加權平均。

設置意圖：讓學生自己感悟知識，深度學習知識的來龍去脈，培養學生抽象思維能力，并領悟知識的本質，深度理解概念本質，學會概念的使用方法。

設置以下“問題串”引導學生深度思考：（1）你認為全概率公式的推導過程蘊含了哪些數學思想？（2）你認為利用全概率公式求隨機事件的概率關鍵是什么呢？

設置意圖：讓學生回顧知識，總結知識的建構過程，啟發學生搭建知識網絡。

（四）應用公式，鞏固新知

例：一項血液化驗用來鑒別是否患有某種疾病，在患有此種疾病的人群中，通過化驗有95%的人呈陽性反應，而健康的人通過化驗也會有1%呈陽性反應，某地區此病患者人數占0.5%，則：某人化驗結果為陽性的概率是多少？請各組派代表板書解答。

五個小組板書全部正確。（答案：由全概率公式可知：P（A）=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%）

開展課堂小組對抗賽進行概念的深度學習：教師下發課前準備的定時練，出示10個關于全概率公式的選擇題，讓五個小組展開比賽，10分鐘后進行互換批改，結果發現準確率達到95%，超出課前估計水平。

（五）課題小結，提煉過程

教師再次提出問題：同學們，本節課你有什么收獲？在這個過程中你有什么體會？

設置意圖：通過談過程、體會，讓學生重溫知識的形成過程，進行課堂反思，深度理解全概率公式概念的應用環境、使用方法，把知識連貫化、系統化。

（六）布置作業，課后探究

1.課本188頁練習1。

2.實踐探索：課余時間，小組通過查閱“波利亞罐子問題”談談：波利亞罐子問題與傳染病的關系，我們如何做好防控措施;進行小組探究，提交探究報告或成果。

設置意圖：鞏固知識，熟練利用全概率公式;培養學生查閱資料、閱讀文獻的能力;根據研究報告完成情況組織評選，通過評委、專家審核，評價學生對全概率公式的理解、掌握情況。對本節課的教學進行評估，完善教學策略;根據新課標要求，落實改革創新、完善人格、培育人才、造福人民的目標，落實立德樹人根本任務，提高數學學科核心素養，為國家培養創新型拔尖人才奠定基礎。

七、反思評價

本節課在條件概率的基礎上，通過多個簡單事件的概率，推算出未知復雜事件的概率，是本章內容的總結和綜合應用。教學中采用學生自主學習、小組合作探究的教學方法，激起學生的學習興趣，增強了學生的求知欲。利用“問題串”引導學生思考，使其進行深度學習，以問題為導向，深度挖掘知識的形成過程，圍繞新課程核心素養要求，使學生輕松學會知識、學會學習。同時也有助于教師改進教學，提高教學質量。由于時間的把控，部分學生的發言要求沒有得到滿足，一部分極好的思路沒有得到吸納。實踐證明，學生的學習積極性、參與度得以提高，實現了教學目標，達成了數學課程標準要求，落實了以生為本、立德樹人的根本任務。

八、總結

高中數學教改源于教材，高于教材，以生為本，學為中心。在教師的精心組織下，學生經歷思考、探究、驗證、應用等環節，自然地得到新知識、新方法。通過深度學習，經歷深層次思考，感悟學習方法，達成教育目的。以后，我們會積極開發校本課程，融合深度學習概念，完成培養拔尖創新型人才的教育使命。

參考文獻：

[1]何玲，黎加厚.促進學生深度學習[J].現代教育，2005（5）：29-30.

[2]田鮮麗.高中數學探究式教學的策略研究[D].北京：首都師范大學，2012.

（作者單位：河南省上蔡第一高級中學）

編輯：趙飛飛