BDS 快速鐘差預(yù)報方法對比分析*

安景浩 王懷智 梁益豐 許江寧

（海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院導(dǎo)航工程教研室 武漢 430033）

1 引言

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)通過時間測量進(jìn)行定位，精密時間頻率是其正常運行、提供精確服務(wù)的基礎(chǔ)保障，衛(wèi)星原子鐘鐘差預(yù)報是實現(xiàn)高精度定位導(dǎo)航的重要前提［1～2］。目前，IGS 發(fā)起的MGEX 項目和iGMAS 中心為用戶提供BDS 精密鐘差產(chǎn)品，精度達(dá)到納秒級，但存在滯后性，不能滿足實時需求；其超快速產(chǎn)品預(yù)報部分實時性較好，但精度在3ns 以上，且不同類型衛(wèi)星鐘的預(yù)報精度差距較大［3］。因此，研究適用于BDS 衛(wèi)星原子鐘的鐘差報方法，具有重要的意義和實用價值。

用于衛(wèi)星鐘差預(yù)報的多項式模型（Polynomial model，PM）及其拓展模型為代表的物理特性模型，以灰色系統(tǒng)模型GM（1，1）、求和自回歸滑動平均模型（ARIMA）為代表的數(shù)據(jù)驅(qū)動模型，以支持向量機、極限學(xué)習(xí)機和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為代表的機器學(xué)習(xí)模型［4］。由于衛(wèi)星原子鐘特性受到環(huán)境變化、周期運動、隨機因素等多方面影響，以上模型均有其各自的適用范圍和局限性：PM建模簡單、短期預(yù)報效率較高，中長期預(yù)報效果較差；GM（1，1）適用于小數(shù)據(jù)量建模，適合中長期預(yù)報，對歷史數(shù)據(jù)利用率不高；人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法通常需要大量訓(xùn)練樣本、容易陷入局部極小值［5～10］。

本文在分析原子鐘鐘差模型的基礎(chǔ)上，首先介紹鐘差預(yù)報中常用的多項式模型和灰色模型的原理及方法；然后根據(jù)指數(shù)平滑法的特點，嘗試將指數(shù)平滑法應(yīng)用于BDS 的鐘差預(yù)報；最后，通過不同類型BDS衛(wèi)星原子鐘的快速鐘差預(yù)報試驗，對三類模型進(jìn)行全面對比，以驗證多項式模型和灰色模型的預(yù)報精度與特點，并分析總結(jié)指數(shù)平滑法在鐘差預(yù)報中的性能和優(yōu)缺點。

2 原子鐘鐘差模型與特征分析

一般衛(wèi)星原子鐘鐘差模型可表示為式（1）［11］。其中，x0表示初始相位差、y0表示初始頻率差、d為頻漂值（對漂移率不明顯的銫原子鐘，d常取0），是鐘差中趨勢分量；由于導(dǎo)航衛(wèi)星鐘在太空受到轉(zhuǎn)動、光照、溫度等影響，其相位變化存在一定周期性，假設(shè)頻差波動為標(biāo)準(zhǔn)正/余弦形式，易證在相位上表示為(A/2πf0)sin(2πf0+φ)|t0是鐘差的周期分量；W1(t)、W2(s)是兩個獨立的維納過程，代表兩種起主導(dǎo)作用的原子鐘噪聲，是鐘差的隨機項部分。

以相位、頻率、頻漂三種參數(shù)組成的多項式模型是鐘差的主要成分，周期項與噪聲項通常為納秒級，此外還有部分殘余項。多項式模型常被應(yīng)用于表示鐘差近似物理模型，在短期預(yù)報中效果較好，但由于頻率和頻漂隨時間不斷變化，其中長期預(yù)報精度將明顯發(fā)散；鐘差的復(fù)雜特性也常被作為“部分信息已知、部分信息位置”的灰色系統(tǒng)，試驗表明，在數(shù)據(jù)量有限或中長期預(yù)報情況下，灰色模型鐘差預(yù)報性能優(yōu)于多項式模型，但預(yù)報效果受原子鐘性能的影響較大；指數(shù)平滑法是一種特殊的加權(quán)移動平均法，可充分利用先驗信息，具有模型簡單、計算方便的優(yōu)點，因此曾被應(yīng)用于GPS衛(wèi)星原子鐘的鐘差預(yù)報，體現(xiàn)出較好性能［12］。

3 鐘差預(yù)報模型

3.1 多項式模型

多項式模型常被應(yīng)用于鐘差預(yù)報中［13～15］，基本表達(dá)式為

式中，x(ti)為ti時刻的鐘差數(shù)據(jù)，a0，a1，a2，…，an是多項式參數(shù)，t0是參考?xì)v元時刻，ti是采樣歷元時刻，n為模型冪數(shù)，ε(i)為模型誤差。

通常情況下，用于鐘差預(yù)報的多項式模型參數(shù)有相位、頻率、頻漂三種，因此其冪次一般不超過兩次（一次或者兩次取決于原子鐘是否存在比較明顯的頻漂）。

一次多項式模型（Linear Model，LM）表達(dá)式為

若已知m 個歷元的鐘差數(shù)據(jù)x(1) ，x(2) ，…，x(m)，記t0=0，記：

根據(jù)最小二乘法，有：

解算出0、1兩個參數(shù)后，即可對后續(xù)鐘差進(jìn)行預(yù)報：

二次多項式模型（Quadratic Polynomial Model，QPM）多一個參數(shù)a2（頻率漂移率），其表達(dá)式為

類似的，記：

可以看出，一次多項式模型與二次多項式模型進(jìn)行擬合和預(yù)報的原理基本一致，選取原則在于是否考慮衛(wèi)星鐘頻率漂移率的影響。考慮到BDS 衛(wèi)星原子鐘包含銣/氫原子鐘兩種類型，因此在試驗部分分別采用一次和二次多項式模型進(jìn)行分析。

3.2 灰色模型

灰色模型（Grey Model，GM）最早由中國學(xué)者鄧聚龍?zhí)岢觯话阌糜趯颖緮?shù)少、規(guī)律特征不明顯、信息不確定的灰色系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)報［16］。表示一階單變量的灰色GM（1，1）模型的求解過程為

設(shè)原始鐘差序列：

對y0(k)作一次累加生成新序列y1(k)：

計算y1(k)的緊鄰均值生成序列z1(k)：

式中，a為發(fā)展系數(shù)，u為灰作用量。

分別記：

即可解得未知參量a和u。

對式（15）求導(dǎo)，得到微分方程：

求解微分方程，離散化，可得：

對上式作累減運算，得到GM（1，1）模型的預(yù)報公式：

式中，當(dāng)k＜n時為擬合，k≥n時為預(yù)報。

3.3 二次指數(shù)平滑法

指數(shù)平滑法是20世紀(jì)50年代末期由美國數(shù)學(xué)家布朗和霍爾特發(fā)展起來的一種時間序列分析方法，目前已在多個領(lǐng)域中得到應(yīng)用［17］。這種方法在移動平均法的基礎(chǔ)上，按數(shù)據(jù)的重要程度（主要考慮時間遠(yuǎn)近）呈非線性單調(diào)變化，其預(yù)測充分依靠自身歷史數(shù)據(jù)，可以降低時序偶然性變動影響，進(jìn)而尋找預(yù)測對象的變化特征和趨勢，計算過程簡單、方便。

基本指數(shù)平滑法以α（1-α）i為權(quán)重對時間序列{yt} 加權(quán)平均，0＜α＜1，i=0，1，2...，{yt} 的權(quán)重為α，{yt-1} 權(quán)重為α（1-α），{yt-2} 權(quán)重為α（1-α）2。預(yù)測過程中，指數(shù)平滑法不斷用預(yù)測誤差來糾正新的預(yù)測值，運用“誤差反饋”原理提高預(yù)測的準(zhǔn)確度，預(yù)測模型為

式中，{yt} 表示第t期實際值，是t+1 期預(yù)測值，分別表示第t-1 期和第t期的一次指數(shù)平滑值。α為平滑指數(shù)，代表對時序變化的反應(yīng)速度，決定著預(yù)測中修正隨機誤差的能力。α值越小，平滑作用越強，但對實際數(shù)據(jù)的變動反應(yīng)越遲緩。當(dāng)α接近于零時，表示充分信任初始值，對當(dāng)前觀測值響應(yīng)慢；當(dāng)α接近于1 時，表示對當(dāng)前觀測值賦予更大權(quán)重，較少考慮歷史信息。相應(yīng)的，如時序變化平穩(wěn)，則α取較小值，如時序變化劇烈，則α取較大值。二次指數(shù)平滑法在一次平滑法基礎(chǔ)上再做一次指數(shù)平滑，預(yù)測模型為［17］

對比兩種預(yù)測模型，當(dāng)時間序列主要特征近似線性趨勢時，如使用一次指數(shù)平滑法，時序中的滯后偏差將明顯影響預(yù)測值，此時二次指數(shù)平滑法更能發(fā)掘滯后偏差規(guī)律。文獻(xiàn)［12］正是利用二次指數(shù)平滑法對GPS鐘差序列進(jìn)行預(yù)測，得到了一些有益結(jié)論。但關(guān)于指數(shù)平滑法在BDS 衛(wèi)星鐘差預(yù)報方面的應(yīng)用還缺少分析。

確定最優(yōu)的平滑系數(shù)α是使用二次指數(shù)平滑進(jìn)行鐘差預(yù)報的關(guān)鍵，α值的選擇是否合適，將直接影響預(yù)報的精度。一般來講，對于接近平穩(wěn)變化小的序列，應(yīng)選擇較小的平滑系數(shù)，而對于趨勢明顯變化大的序列，需選擇較大的平滑系數(shù)［18］。本文將α在（0，1）區(qū)間內(nèi)離散化，然后用窮舉法遍歷，尋找使誤差均方根最小的α值，即為最優(yōu)系數(shù)。

4 算例分析

4.1 數(shù)據(jù)來源與試驗方案設(shè)計

數(shù)據(jù)來源于iGMAS 官網(wǎng)（www.igmas.org）發(fā)布的2022 年5 月1 日到8 日超快速鐘差產(chǎn)品（6h 更新一次，采樣間隔15min），隨機選取C02、C06、C19、C27 四顆星載原子鐘作為研究對象，包含MEO/IGSO/GEO 三種軌道類型、BDS-2/BDS-3 兩種系統(tǒng)類型、銣/氫鐘兩種不同鐘型，能夠充分反映不同方法的預(yù)報特點。圖1為四顆鐘的原始鐘差序列。

圖1 四顆鐘原始相位曲線

表1 四顆原子鐘基本信息

為了能獲得可靠的預(yù)報效果，客觀反映鐘差預(yù)報性能，一般需對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。主要是利用基于中位數(shù)的粗差探測法對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行粗差的探測與剔除，其基本思路是：將每一個待測量與該數(shù)列的中值加上MAD 的若干倍之和作比較，若待測量大，則被認(rèn)定為粗差：

式中，m=Median（yi），是待測序列的中值，n的值需根據(jù)實際情況和反復(fù)試驗去調(diào)整和確定，以求達(dá)到最好的效果，當(dāng)觀測量yi滿足式（27）時，就認(rèn)定其為異常值。需要注意的是，原始相位數(shù)據(jù)的異常值容易被絕對值較大的正常值淹沒，因此這種方法通常應(yīng)用在相對應(yīng)的頻率數(shù)據(jù)上。

具體試驗方案設(shè)計如下：

1）根據(jù)預(yù)報模型不同，試驗共分為三組：一次多項式模型與二次多項式模型、GM（1，1）模型、二次指數(shù)平滑法模型；

2）每組試驗擬合時長均為24h，對四顆原子鐘進(jìn)行預(yù)報，預(yù)報時長設(shè)6h、12h、24h三種；

3）每組預(yù)報均選取不同的擬合區(qū)間進(jìn)行7 次試驗，最后結(jié)果取平均值。

4.2 鐘差預(yù)報結(jié)果

計算四種模型對四顆鐘進(jìn)行不同預(yù)報時長的殘差，并求殘差的均方根平均值作為衡量預(yù)報精度的指標(biāo)。以第一天試驗為例，給出各類模型預(yù)報誤差曲線如圖2。

圖2 預(yù)報誤差曲線

從圖2 可以看出，不論是哪種模型，對C19、C27 的預(yù)報誤差都要明顯小于對C02、C06 的預(yù)報誤差，而相同系統(tǒng)的原子鐘相比，C02 明顯優(yōu)于C06，C27要優(yōu)于C19；通過誤差曲線的趨勢看出，這四種模型對各種鐘的預(yù)報誤差均有隨預(yù)報時長發(fā)散的現(xiàn)象，而發(fā)散程度不盡相同。為了更具體地分析各模型的預(yù)報特點，將各類模型七次試驗的預(yù)報誤差均方根均值統(tǒng)計如表2所示。

表2 預(yù)報精度指標(biāo)

觀察發(fā)現(xiàn)，在相同條件下，四種模型對C06 鐘的預(yù)報誤差大于其他鐘。通過對C06 原子鐘2022年5 月上旬的原始相位數(shù)據(jù)和頻率數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，C06 存在明顯的數(shù)據(jù)缺失和頻率突變等情況，致使鐘差數(shù)據(jù)質(zhì)量不高，給精準(zhǔn)預(yù)報帶來困難。

從表中可看出，四種模型的預(yù)報精度與特點均有所不同：

1）LM 與QPM 的鐘差預(yù)報效果較好，對C19、C27 的短期預(yù)報精度在1ns 內(nèi)，對性能較差的BDS-2 星載原子鐘（C02、C06），精度也在納秒級；但隨著預(yù)報時長增加，兩者的預(yù)報誤差均有增大的趨勢。

2）GM（1，1）模型對C02、C06 的預(yù)報精度大于100ns，而對C19、C27 的預(yù)報精度在1ns 內(nèi)，這體現(xiàn)了灰色模型受原子鐘本身性能的影響較大的特點，GM（1，1）模型更適用于BDS-3星載原子鐘。

3）使用ESM 進(jìn)行鐘差預(yù)報的精度也在納秒級，同時誤差也有隨時間增長不斷積累的趨勢。

4.3 方法對比分析

上一小節(jié)中，通過設(shè)計算例和計算指標(biāo)對各種模型短期/超短期鐘差預(yù)報的精度和特點進(jìn)行了分析與總結(jié)，本節(jié)將各種模型之間橫向?qū)Ρ龋治龈髂Ｐ偷膬?yōu)缺點與適用范圍。

表3中給出各種模型對四顆原子鐘七次24h預(yù)報的RMS均值，可以總結(jié)得到如下結(jié)論：

表3 四種模型24h預(yù)報精度對比

1）從指標(biāo)看出，無論是哪種模型，對BDS-3 星載鐘（C19、C27）的預(yù)報精度都要優(yōu)于于BDS-2 原子鐘（C02、C06），說明原子鐘本身的性能是影響預(yù)報效果的重要因素之一；

2）LM、QPM 作為基于原子鐘物理特性的預(yù)報模型，不論是對BDS-2 還是BDS-3，在短期內(nèi)都能取得較好的預(yù)報精度，一般來講，QPM 的預(yù)報效果要略優(yōu)于LM（相差在1ns 內(nèi)）。但當(dāng)原子鐘沒有明顯的頻漂特性（如C27 搭載的H 原子鐘）時，LM 會優(yōu)于QPM；

3）GM（1，1）模型對C02、C06 的預(yù)報殘差遠(yuǎn)大于其他三種模型，而對C19、C27的預(yù)報精度基本與LM 相當(dāng)，還要優(yōu)于QPM 和ESM，這充分體現(xiàn)了GM（1，1）模型受原子鐘本身性能影響較大的特點，該模型更適用于對本身性能較好的鐘進(jìn)行預(yù)報；

4）當(dāng)使用ESM 對C02、C06 進(jìn)行預(yù)報時，精度與多項式模型基本相當(dāng)，而當(dāng)對性能較好的C19、C27 預(yù)報時，其預(yù)報效果稍微落后。作為一種簡潔的預(yù)報方法，其對BDS衛(wèi)星原子鐘的中長期預(yù)報能力還有待進(jìn)一步試驗分析。

5 結(jié)語

通過以上算例計算與對比分析，可以得到以下結(jié)論：

1）綜合看，超短期（6h）預(yù)報的精度好于短期（12h、24h）預(yù)報精度，對BDS-3 原子鐘的預(yù)報優(yōu)于對BDS-2 原子鐘的預(yù)報；對不同軌道、類型的原子鐘，最優(yōu)的預(yù)報模型往往不同。

2）多項式模型中，一次多項式模型和二次多項式模型的預(yù)報精度相差不大，一般LM 適用于頻漂不明顯的H 鐘，QPM 適用于頻漂較明顯的Rb 鐘；GM（1，1）模型的預(yù)報精度受原子鐘本身性能的影響較明顯，對本身性能較好的原子鐘，GM（1，1）模型能取得較好的效果；ESM作為一種特殊的加權(quán)移動平均法，能夠利用到所有的先驗信息，因此對鐘差數(shù)據(jù)較不穩(wěn)定的BDS-2 星載鐘能取得相對不錯的精度。

3）綜合來看，對于不同系統(tǒng)和類型的原子鐘，適用的預(yù)報模型也不相同，因此在實際應(yīng)用中，需結(jié)合衛(wèi)星鐘選擇適用的一種/多種模型。