“問題提出”引領下的數學探究活動

李沐慧

摘? 要：以“正方體的截面”教學為例，借助“問題提出”引領學生展開數學探究活動. 在動手實踐、幾何實驗的基礎上啟思明理，幫助學生發現并提出一系列關于正方體截面的探究問題，培養學生的分類討論、作圖表達、推理論證等能力，在具體的數學情境中提升學生的直觀想象、數學抽象和邏輯推理等素養.

關鍵詞：數學探究活動；問題提出；正方體截面；任務單

數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究和合作研究，并最終解決問題的過程. 具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索和合作研究論證數學結論. 為落實《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）的教學要求，探究活動的設計需要抓住探究特點，明確方向、整體設計、突出問題導向、任務驅動、合作交流、把握過程，引導學生用數學的思維分析現實世界，用數學的語言表達現實世界.

問題是探究活動的核心，相較于教師設計一套完整、優良的“問題串”，引導學生自己提出一系列探究問題更能讓其體驗數學知識的發生發展過程，進而有層次地整體理解數學的本質和邏輯. 下面以《標準》附錄中的案例11“正方體截面的探究”為例，探討“問題提出”引領下的數學探究活動教學.

一、教學前期分析

1. 內容分析

滬教版《普通高中教科書·數學》必修第三冊（以下統稱“教材”）關于正方體截面的內容出現在第11章“簡單幾何體”的課后習題部分，第11章主要包括多面體與旋轉體、柱體、錐體、球等內容，而第10章主要研究的是“空間直線與平面”. 由于本節課的研究對象為正方體，因此安排在多面體內容之后進行學習.

本活動包含的知識內容有正方體、截面形狀，以及空間中點、直線、平面的位置關系等. 蘊含的數學思想方法包括從特殊到一般、分類討論、轉化與化歸等. 可以發展的數學核心素養主要包括直觀想象、數學抽象和邏輯推理.

2. 學情分析

正方體截面的探究中包含了跨度很大的探究問題，針對不同學生可以設計不同的教學方案，通過多種方法實施探究. 本次探究活動安排在高二年級進行，學生具備一定的自主探究和合作學習能力. 在認知基礎方面，學生已經學習了空間幾何體及點、直線、平面之間的位置關系，掌握了相關的性質和定理，具備一定的空間想象能力和推理論證能力. 然而，由于數學探究活動經驗不足，學生在探究正方體截面的過程中可能難以系統地提出一系列探究問題，對于多面體截面的分類討論意識也不足.

3. 教學目標及教學重點和難點

首先，讓學生在經歷實物操作、幾何實驗后能夠作出正方體的截面. 其次，用樣例問題引導學生自主發現、提出一系列探究問題并嘗試解決，通過觀察猜想和抽象推理，了解正方體截面的圖形特征. 再次，用“問題提出”引領學生理解探究正方體截面的基本方法，并在探究過程中提升學生的提出問題、分類討論、作圖表達、推理論證等能力. 最后，幫助學生回顧反思提出數學問題的一般思路，在具體的數學情境中提升直觀想象、數學抽象和邏輯推理等素養.

本活動的教學重點是掌握正方體截面的圖形特征，并能按要求作正方體的截面；教學難點主要是引導學生提出一系列探究問題，分類找出所有正方體截面的圖形特征并推理論證部分結論.

4. 教學策略和流程設計

本活動設計了包含課前、課中、課后三個階段的開放式探究活動，主要圍繞正方體截面作圖、正方體所有截面形狀、正方體截面相關性質展開探究，內容比較豐富.

課前，采用自主研學的方式，讓學生利用教師設計好的“課前任務單”嘗試作出正方體的截面，通過分析、解決、反思相對簡單的例題提出新問題，展開進一步探究.

課中，展示學生的課前研究成果，并以學生提出的探究問題為例，圍繞正方體截面的作圖、形狀、周長、面積、截面所分幾何體的體積，以及空間中點、直線、平面之間的距離、角度計算或位置關系的證明等展開“以點帶面”式的系統探究.

課后，學生結合所學完成相應的基礎練習，并自主思考課中引申出的深層次、高難度的探究問題.

整個活動主要借助幾何畫板、GeoGebra等軟件，讓學生在直觀的動態展示和實踐操作中探究正方體截面的形狀. 完整的探究活動流程如圖1所示.

二、課前：依據各項任務，實踐自主探究

1. 動手實踐

活動1：切割正方體模型（如土豆塊、花泥模具、泡沫塑料等），盡可能切割出不同形狀的截面，并拍照記錄截面圖形的邊數，判斷截面圖形的特征并說明原因.

活動2：利用網絡資源，學習幾何畫板、GeoGebra等軟件的使用方法，繪制正方體截面的動態演示動畫，截圖記錄截面圖形的邊數，判斷截面圖形的特征并說明原因.

【設計意圖】在動手實踐中直觀感知正方體截面形狀的多種可能. 針對軟件操作和直觀想象能力較強的學生，讓其在制作動態動畫的過程中，更準確、全面地判斷正方體截面的多種可能，并準確分析圖形特征，促進思考.

2. 幾何實驗

活動3：給出截面概念. 要求學生在課前任務單中作出一個正方體，選擇正方體棱或面上的3個點，嘗試作出經過這3個點截正方體所得的截面.

【設計意圖】讓學生脫離活動1和活動2中的實物操作，在直觀體驗的基礎上進入幾何抽象和空間想象的階段.

3. 提出問題

活動4：在活動1、活動2和活動3的基礎上，嘗試回答或證明課前任務單中的例1和例2，隨后獨立提出3 ～ 5個關于正方體截面的數學問題，并盡可能給出每道題目的解答.

例1? 用一個平面截正方體.

（1）截面是否可以為一個三角形？

（2）如果截面可以是一個三角形，這個三角形可以是直角三角形嗎？為什么？

（3）如果截面可以是一個三角形，還可能是什么樣的三角形？試說明原因.

例2? 如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P，Q，R分別是棱AB，BC，D1C1的中點，試作出過P，Q，R三點的平面截正方體所得到的截面.

【設計意圖】例1探究正方體截面是三角形時的圖形特征；例2解決簡單正方體截面作圖問題. 此外，兩道例題也可以作為提出問題的樣例.

課前活動主要通過“課前任務單”鼓勵學生邁出探究的第一步. 數學探究活動是運用數學知識解決問題的一類綜合實踐活動，因此從設計到實施通常始于課前，且不止于課堂. 本節課通過設計課前探究活動及相應任務單，引導學生從動手實踐到幾何實驗，再從中提出可以探究的數學問題. 在動手實踐中，針對操作水平不同的學生分別設計了“切割模型”和“軟件繪圖”兩個活動，在此基礎上引導學生嘗試抽象并作出正方體截面. 課前自主探究活動的設計旨在讓學生在真實的情境中參與活動、體驗成功，通過“做數學”，手腦協同，經歷從特殊到一般、從具體到抽象、從簡單到復雜的逐漸深入的數學學習過程.

三、課中：分析探究思路，歸納截面作法

問題1：什么是“截面”？

問題2：要從哪些方面探究正方體的截面？

通過師生共同探究，學生明確“截面”的本質是空間中的平面多邊形，并指明要從形狀、周長、面積、截面所分幾何體的體積，以及空間中點、直線、平面之間的距離、角度和位置關系等方面展開對正方體截面的探究，并在教師的引導下，確定基于學生提出的截面作圖問題開始探究.

題目? 如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F，G分別在棱AB，BC，DD1上，求過點E，F，G的截面.

解：如圖4，連接EF并延長，交DC的延長線于點N. 延長FE，交DA的延長線于點M.

連接GM，GN，分別交AA1，CC1于點P，Q.

連接EP，QF，則五邊形EFQGP即為所求截面.

問題3：例2和上述題目中給定的三點的位置有什么共同特征？

學生得出結論：三個點都在棱上，且其中兩個點的連線在正方體的外表面上.

問題4：如何改變三個點的位置，提出比例2簡單或復雜的新問題？

學生得出結論：變簡單可以把三個點都放在棱上，且兩點的連線中有兩條在正方體的外表面上（如圖5）；變難可以把三個點都放在棱上，但兩點的連線都在正方體的內部（如圖6）；最難的則是把兩個點放在棱上，另外一個點放在正方體的外表面上，且任意兩點的連線都在正方體的內部（如圖7）.

問題5：能否總結、歸納正方體截面的作圖方法？

【設計意圖】該部分對應課前活動3. 首先，通過解決學生提出的求截面問題，幫助學生掌握作出比較簡單的正方體截面的方法. 其次，帶領學生由“條件”反思原始問題，鼓勵學生提出新的數學問題，探究更加復雜的正方體截面的作法.

四、課中：展示課前成果，討論截面形狀

成果展示：展示學生課前活動1和活動2的成果，包括動手切實物模型、GeoGebra軟件作圖、幾何畫板軟件作圖三類.

問題6：能否證明正方體截面是三角形時一定是銳角三角形，并總結三角形截面的其他可能圖形？

問題7：能否提出關于正方體截面形狀的兩大類問題？

第一類問題是：正方體截面是否可以為一個n（n ≥ 3，n ∈ N*）邊形？第二類問題是：當正方體的截面是n邊形時，是否可能為某種特殊的n邊形？為什么？

問題8：正方體截面最多是幾邊形？正方體截面為什么不會是正五邊形？當正方體截面為四邊形時，是否可能為直角梯形？為什么？

總結歸納：運用幾何畫板軟件展示正方體截面圖形的各種情況及細節，如表1所示.

【設計意圖】展示學生的活動成果及提出的數學問題，激發學生課后自主學習的動力. 類比例1提出兩類新的數學問題，經歷從三邊形到n邊形的探究過程，幫助學生逐漸理解探究正方體截面形狀的基本思路.

以上課中的探究過程注重用“問題提出”引領學生自主發現探究問題.《標準》案例11中給出了關于“正方體截面”的一系列可探究問題. 誠然，教師可以將這些問題一股腦兒全拋給學生，但那樣做得到的教學效果可能只是停留在讓學生解決了一道又一道數學問題的層面. 至于這些問題是從哪里來的，以及這些問題之間有什么關聯，學生很難有更多的思考，未來面對類似“正方體截面”這樣較為復雜、宏觀的探究主題時，仍然無從下手.

本節課采用給出樣例問題引導學生繼續提出數學問題的方式設計課前任務，進而在課堂中讓學生經歷“動手實踐—幾何實驗—提出問題—分析問題—解決問題—反思問題—提出新問題—總結歸納”的循環推進過程. 課堂教學中，把學生自己提出的問題作為分析對象，在不斷提出新問題的過程中引領學生思考、推理，將探究的主動權留給學生.

五、課中：厘清提問思路，理解探究過程

問題9：如何基于一個問題提出新的問題？有哪些策略可以幫助我們發現、提出更多的數學問題？

學生基于教師的引導進行思考，師生共同總結提出更多數學問題的策略，如圖8所示.

【設計意圖】本節課是一節以激發學生提出問題為主要目標的探究型課例，由于學生缺乏相關經驗，故教師引導學生對“提出問題”進行更高站位、更全面地思考.

問題10：如何提出更好的數學問題？好的數學問題有哪些標準？

問題11：關于正方體的截面，你還能想到哪些有待探究的問題？

【設計意圖】嘗試幫助學生解決“為什么要做這些活動？”“開展自主探究、提出問題的基本思路大概是怎樣的？”等困惑，以便學生更好地面對未來多變的自主學習和教學方式，開展更多的自主探究.

六、課后：回顧活動歷程，課后補充鞏固

在完成對正方體的截面的探究后，教師通過以下兩個問題引導學生對探究活動過程進行回顧、總結.

（1）通過此次探究活動，你學到了哪些數學知識？

（2）此次探究活動的探究思路是什么？

【設計意圖】在教學正方體截面的相關基礎知識、提升學生相應基本技能的基礎上，本節課旨在設計一條循環遞進、螺旋上升的探究思路，以期幫助學生更好地積累數學活動經驗，進而提升學生發現和提出數學問題的能力.

課后作業：略.

七、教學反思

在以上課堂教學活動中，筆者主要幫助學生分析“問題提出”的底層知識，從認知視角幫助學生實現上位學習. 在數學探究活動中提出問題，對學生掌握的經驗和學習能力要求很高. 探究活動的有效性與學生的站位高度直接相關. 在本節課中，學生提出數學問題的經驗較少，只有小部分學生能夠快速領會其中的奧妙. 因此，在本節課后半段的教學中，筆者引導學生基于“問題提出”本身討論了三個問題.

首先，“如何基于一個問題提出新的問題？”是關鍵所在. 面對不同的探究主題，學生需要盡可能多地羅列與其相關的知識要素，并在頭腦中快速生成一張關于此主題的“知識網絡”，這是提出新問題的基本條件. 就本節課而言，涉及作圖、形狀、周長、面積、截面所分幾何體的體積，以及空間中點、直線、平面之間的距離、角度的計算和位置關系的證明等基礎知識.

其次，教學需要幫助學生從認知某個主題的多個視角出發，對不同的問題進行歸類思考. 例如，在本節課的提問探究過程中，學生大致經歷了“直觀—抽象—計算—推理”的分析過程，還經歷了把“三維”的研究對象“二維化”進行初步研究后再放回“三維”中繼續研究的過程. 此外，整個探究還是先對單一“不變”截面的分析，再整體分析截面“動起來”的過程. 在回顧、反思、認知正方體截面的不同視角后，學生對自己提出的數學問題會有更加深刻、清晰的理解.

最后，就“提問策略”而言，課堂教學中總結了改變問題條件、類比、結果與條件置換及將在解題過程中得到的新的發現或結論作為新問題的出發點等建議. 關于“好問題的標準”，學生通過討論得出了問題的大小要適切、內容要豐富、答案要多樣或開放等結論.

分析數學探究活動中的基礎知識和認知視角，旨在幫助學生理解“問題提出”是開展數學探究的一種可行方式. 探究活動的設計教學需要給予學生具體的方法和整體的思考，為學生指明一條循環遞進、螺旋上升的探究思路，從而輔助其積累活動經驗，并提升發現和提出數學問題的能力及有關素養.

每個人天生就是提問者，發現和提出問題在生命個體的發展過程中具有獨特且重要的意義，是學生探究能力的發端. 然而，目前學生很少有機會經歷知識發生發展的過程，更缺乏從真實世界發現和提出相關數學問題的學習經歷. 因此，我們需要從基礎教育改革的大背景出發，關注數學探究活動的設計與教學，培養學生的各類數學與綜合素養，努力實現新時代下人才的培養目標.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.