培養(yǎng)建模能力提升核心素養(yǎng)

陳平

摘? 要：以“學(xué)生身高、體重的數(shù)據(jù)分析”為總課題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷選題、開題、做題和結(jié)題的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)全過程. 在信息技術(shù)的支持下，學(xué)生自主收集數(shù)據(jù)，自選子課題，完成對(duì)身高和體重?cái)?shù)據(jù)的分析. 積累數(shù)據(jù)分析活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，同時(shí)形成統(tǒng)計(jì)教學(xué)的單元整體設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)分析；數(shù)學(xué)建模；單元整體設(shè)計(jì)；信息技術(shù)

大數(shù)據(jù)和深度學(xué)習(xí)的發(fā)展，推動(dòng)了數(shù)字中國強(qiáng)國戰(zhàn)略的實(shí)施. 數(shù)學(xué)建模活動(dòng)既是高中數(shù)學(xué)課程的四大主線之一，也是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）要求的六大核心素養(yǎng)之一. 而基于概率統(tǒng)計(jì)實(shí)踐品質(zhì)和應(yīng)用取向的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，對(duì)學(xué)生實(shí)踐能力和用數(shù)據(jù)說話的理性精神的培養(yǎng)發(fā)揮著重要作用.

一、教學(xué)內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本課題是對(duì)學(xué)生身高、體重?cái)?shù)據(jù)的分析，研究內(nèi)容和方法主要基于人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第二冊(cè)第九章“統(tǒng)計(jì)”和《標(biāo)準(zhǔn)》附錄2“教學(xué)與評(píng)價(jià)案例”中的案例13“分層抽樣”確定，并涉及教材選擇性必修第三冊(cè)第八章“成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析”的部分內(nèi)容，形成了體系完整的高中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì).

2. 內(nèi)容解析

作為高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一，統(tǒng)計(jì)分為必修課程和選擇性必修課程兩部分. 必修課程中主要學(xué)習(xí)收集數(shù)據(jù)的方法和單變量的統(tǒng)計(jì)問題；選擇性必修課程中主要學(xué)習(xí)雙變量的統(tǒng)計(jì)問題. 本次數(shù)據(jù)分析活動(dòng)是在學(xué)生學(xué)完教材必修第二冊(cè)第九章“統(tǒng)計(jì)”之后進(jìn)行的，以對(duì)具體的身高、體重?cái)?shù)據(jù)的分析為依托，借助信息技術(shù)，讓學(xué)生自主體驗(yàn)數(shù)據(jù)收集、分析、計(jì)算、建模的全過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析的應(yīng)用價(jià)值.

本次數(shù)據(jù)分析活動(dòng)以課題研究的形式展開，包括選題、開題、做題和結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié). 教師在開題研討會(huì)上介紹了選題的背景，以及做題的步驟、方法和使用的工具，學(xué)生經(jīng)過小組討論初步確定了子課題. 做題的過程中召開了兩次小組交流會(huì)，進(jìn)一步明確和完善各小組的研究方向和研究方法，最后各小組形成了子課題的研究報(bào)告. 本節(jié)課是學(xué)生做題后的展示和探究環(huán)節(jié).

課堂教學(xué)分為如下三個(gè)部分展開.

第一部分，首先回顧開題研討會(huì)和做題交流會(huì)的部分內(nèi)容，然后分組展示如何收集數(shù)據(jù)，多角度分析身高、體重?cái)?shù)據(jù)，完成直觀圖表的制作和分析. 鑒于教材必修第二冊(cè)和選擇性必修第三冊(cè)多次介紹了R軟件的統(tǒng)計(jì)功能，因此本次數(shù)據(jù)分析活動(dòng)主要借助R軟件進(jìn)行作圖和計(jì)算.

第二部分，主要探究分組數(shù)據(jù)均值和方差公式的計(jì)算與拓展，這是教材新增的內(nèi)容.《標(biāo)準(zhǔn)》第32頁明確指出：“結(jié)合具體實(shí)例，掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和方差.”課前，學(xué)生可以通過R軟件計(jì)算出當(dāng)身高、體重?cái)?shù)據(jù)分兩層時(shí)，各層樣本的均值、方差，以及總樣本的均值和方差，而通過教材必修第二冊(cè)“9.2.4 總體離散程度估計(jì)”的例6，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了計(jì)算分層抽樣數(shù)據(jù)均值和方差的方法，可以利用軟件計(jì)算的結(jié)果驗(yàn)證當(dāng)總體分兩層時(shí)利用各層均值和方差求總樣本均值和方差的合理性. 課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生通過推理論證和小組討論，把分組數(shù)據(jù)的均值和方差公式從兩層推廣到三層和多層，進(jìn)一步得到一般性的結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)公式對(duì)簡化運(yùn)算的作用，對(duì)前面所學(xué)公式進(jìn)行鞏固和拓展.

第三部分，主要探究雙變量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析方法，為即將學(xué)習(xí)的“成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析”作好鋪墊. 學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)，分組展示用函數(shù)擬合的方法研究身高和體重之間的關(guān)系，同時(shí)展示在高三學(xué)長的指導(dǎo)下，用一元線性回歸模型刻畫身高和體重的相關(guān)關(guān)系. 教師通過對(duì)研究方法的提問和點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)模型和統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維和確定性思維之間的差異.

根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：針對(duì)所研究的問題，運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ê湍Ｐ头治鰯?shù)據(jù).

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)是《標(biāo)準(zhǔn)》要求的六大核心素養(yǎng)之一. 這就要求我們?cè)诮虒W(xué)過程中不能只教會(huì)學(xué)生計(jì)算，更要提升學(xué)生獲取有價(jià)值的信息并進(jìn)行定量分析的意識(shí)和能力. 本次數(shù)據(jù)分析的目的在于增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)分析過程的認(rèn)識(shí)，通過課堂展示、小組合作、演算推理等活動(dòng)，積累基于數(shù)據(jù)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，突出數(shù)據(jù)分析的基本過程，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展. 基于此設(shè)置以下教學(xué)目標(biāo).

（1）通過收集數(shù)據(jù)的實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生掌握獲取數(shù)據(jù)的基本途徑和相關(guān)概念，提升學(xué)生主動(dòng)獲取信息、定量分析的意識(shí)和能力.

（2）通過選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述的展示，掌握合理使用統(tǒng)計(jì)圖表描述數(shù)據(jù)的方法，在實(shí)際統(tǒng)計(jì)問題的解決過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

（3）通過對(duì)分組數(shù)據(jù)均值和方差公式從特殊到一般的推導(dǎo)，熟練掌握利用公式對(duì)分層抽樣數(shù)據(jù)的均值和方差進(jìn)行計(jì)算，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

（4）通過對(duì)一元線性回歸等統(tǒng)計(jì)模型的簡單介紹，了解一元線性回歸模型的含義，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維和確定性思維之間的差異.

三、學(xué)生學(xué)情分析

本次數(shù)據(jù)分析活動(dòng)的對(duì)象為高一學(xué)生，基于在小學(xué)和初中階段掌握的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，以及對(duì)教材必修第二冊(cè)第九章“統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠在課前完成數(shù)據(jù)的收集，并利用R軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)圖表的制作及對(duì)樣本數(shù)據(jù)取值規(guī)律進(jìn)行初步的分析和計(jì)算. 雖然R軟件的程序語言編寫有一定難度，但是在班內(nèi)部分精通程序語言的學(xué)生的指導(dǎo)下，各小組可以完成統(tǒng)計(jì)圖表的制作.

雖然學(xué)生具有一定的自主探究和合作學(xué)習(xí)能力，但是提出新問題的意識(shí)和解決新問題的能力仍然有所欠缺. 課前，學(xué)生只能仿照前面學(xué)過的方法推導(dǎo)出總體分兩層時(shí)的均值和方差公式，為了讓學(xué)生更好地掌握重點(diǎn)內(nèi)容，把分層抽樣公式的拓展（即《標(biāo)準(zhǔn)》案例13“分層抽樣”）放到課堂上重點(diǎn)突破. 教材在必修第二冊(cè)第九章首次引入求和等符號(hào)，多數(shù)學(xué)生對(duì)抽象符號(hào)的表示和理解有一定困難. 為了降低學(xué)生的理解難度，在拓展探究環(huán)節(jié)對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》案例13中的符號(hào)也進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母淖兒驼{(diào)整.

由于學(xué)生只在必修課程中學(xué)習(xí)了單變量統(tǒng)計(jì)問題，對(duì)分析兩個(gè)變量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)問題的知識(shí)儲(chǔ)備不足，在研究身高與體重之間的關(guān)系時(shí)遇到了困難. 教師引導(dǎo)學(xué)生通過查閱資料、向?qū)W長請(qǐng)教等多種學(xué)習(xí)方式，了解兩個(gè)或多個(gè)變量關(guān)系問題的研究方法.

根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：對(duì)于不同的問題，構(gòu)造相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)模型分析隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)；分層抽樣均值和方差公式的拓展.

四、教學(xué)策略分析

基于統(tǒng)計(jì)單元的整體教學(xué)，本課題設(shè)計(jì)了開放情境下的課題研究問題，包括對(duì)數(shù)據(jù)收集方式的選取、分析方向的確立、簡化計(jì)算的探求、模型建構(gòu)的嘗試等.

（1）采用“小組討論確定課題—組內(nèi)合作完成課題—課堂展示課題成果—師生互動(dòng)深化成果”的流程突出數(shù)據(jù)分析的基本過程，幫助學(xué)生建立對(duì)統(tǒng)計(jì)的整體認(rèn)識(shí).

（2）通過課堂展示、獨(dú)立思考、合作探究和請(qǐng)教研討等多種學(xué)習(xí)方式，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界和用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的能力，樹立善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

（3）通過對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》案例13“分層抽樣”中難點(diǎn)問題的適當(dāng)分解和情境式問題串的設(shè)置，讓學(xué)生有效突破難點(diǎn)，提升學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

（4）通過信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的時(shí)效性. 讓學(xué)生快速、準(zhǔn)確地完成列表、畫圖、計(jì)算等數(shù)據(jù)處理，將更多精力集中于對(duì)統(tǒng)計(jì)概念和方法的理解上.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

本節(jié)課按照“前情回顧—展示交流—拓展探究—模型建構(gòu)—總結(jié)升華”五個(gè)環(huán)節(jié)展開，重點(diǎn)是拓展探究環(huán)節(jié).

1. 前情回顧

教師展示兩周前舉行的開題研討會(huì)和做題交流會(huì)的片段.

在開題研討會(huì)上，教師先介紹數(shù)據(jù)分析的背景，即國家衛(wèi)健委對(duì)中學(xué)生身高和體重健康的調(diào)查情況，旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值. 再通過教師提問和學(xué)生作答復(fù)習(xí)回顧本章中用到的數(shù)據(jù)分析的基本步驟和方法，落實(shí)“四基”. 接著，學(xué)生在開題研討會(huì)上現(xiàn)場演示利用R軟件作圖的過程，讓所有學(xué)生了解統(tǒng)計(jì)軟件的功能和使用方法，最后通過小組討論確定子課題.

做題期間，通過召開組長交流會(huì)，進(jìn)一步明確和完善各小組的研究方向，各小組完成自己的子課題研究報(bào)告，以備課堂展示.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)需要經(jīng)歷選題、開題、做題和結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力. 通過課前的前情回顧，提升學(xué)生課堂展示和探究的積極性.

2. 展示交流

（1）分層抽樣收集數(shù)據(jù).

收集數(shù)據(jù)的志愿者展示數(shù)據(jù)收集方式的選取、方案的制訂、數(shù)據(jù)的錄入等環(huán)節(jié)，最后形成身高、體重?cái)?shù)據(jù)的Excel表格，以備分析使用.

【設(shè)計(jì)意圖】分析數(shù)據(jù)之前先讓學(xué)生清楚研究對(duì)象的意義和價(jià)值. 如何收集數(shù)據(jù)獲得研究對(duì)象是統(tǒng)計(jì)研究的重要內(nèi)容，也是統(tǒng)計(jì)最先學(xué)習(xí)的內(nèi)容，讓學(xué)生針對(duì)實(shí)際問題設(shè)計(jì)收集數(shù)據(jù)的方法，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（2）總體取值規(guī)律直方圖.

第一小組分別展示男生、女生的身高和體重?cái)?shù)據(jù)的頻率分布直方圖（略），全面描述了男生、女生身高和體重?cái)?shù)據(jù)的總體取值規(guī)律.

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于單變量觀測數(shù)據(jù)，先全面、客觀地分析原始數(shù)據(jù)的總體取值規(guī)律，有利于把握原始數(shù)據(jù)的全貌，獲得樣本的規(guī)律. 而利用頻率分布直方圖來整理和表示數(shù)據(jù)，比較直觀和清晰.

（3）BMI值取值規(guī)律直方圖及統(tǒng)計(jì)量.

第二小組展示確定用BMI值衡量胖瘦標(biāo)準(zhǔn)的討論過程，并播放利用Excel表格計(jì)算BMI值的步驟的微課視頻，最后結(jié)合如圖1和圖2所示的男生和女生BMI值的頻率分布直方圖和描述數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計(jì)量，分析BMI值的取值規(guī)律.

模型分析：男生數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)均略高于女生數(shù)據(jù)，但是都在正常范圍之內(nèi). 而由標(biāo)準(zhǔn)差和方差可以看出，女生數(shù)據(jù)比男生數(shù)據(jù)更為集中，但是男生數(shù)據(jù)的極差遠(yuǎn)大于女生數(shù)據(jù)，可見男生的胖瘦差異更大，這一點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)圖上有很好的反映. 男生BMI的最大值為35，而女生BMI的最大值在30左右. 另外，從整體上來看，男生數(shù)據(jù)的BMI值主要集中在15到25之間，較為分散，而女生數(shù)據(jù)的BMI值主要集中在15到24之間，后面數(shù)據(jù)呈階梯式下降，男生和女生中均有少數(shù)學(xué)生偏瘦，女生中偏瘦的人數(shù)略高一些.

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)開放性問題，放手讓學(xué)生討論胖瘦標(biāo)準(zhǔn)的制訂，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，以及合作意識(shí). 在學(xué)生已經(jīng)知道如何計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的情況下，讓學(xué)生用R軟件計(jì)算出樣本的統(tǒng)計(jì)量，可以節(jié)約時(shí)間，把更多的精力用在理解特征數(shù)的含義上.

（4）胖瘦比例復(fù)合條形圖和扇形圖.

第三小組展示描述胖瘦比例的討論過程，學(xué)生在討論如何更直觀地呈現(xiàn)男生和女生的胖瘦比例的過程中，分別提出了使用表格、復(fù)合條形圖和扇形圖.

【設(shè)計(jì)意圖】通過采用不同的統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)胖瘦比例進(jìn)行描述，引導(dǎo)學(xué)生多角度地思考問題，發(fā)散學(xué)生的思維.

（5）總體分為兩層時(shí)總樣本的均值和方差公式.

除了選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表描述數(shù)據(jù)，還可以選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)字特征刻畫數(shù)據(jù). 均值和方差是描述數(shù)據(jù)集中趨勢和離散程度的重要統(tǒng)計(jì)量. 第四小組學(xué)生依據(jù)均值和方差的定義，猜想加驗(yàn)證，推出了總體分為兩層時(shí)的均值和方差公式.

記男生數(shù)據(jù)樣本數(shù)為[m，] 均值為[x1，] 方差為[s21；] 女生數(shù)據(jù)樣本數(shù)為[n，] 均值為[x2，] 方差為[s22，] 則總樣本均值[x=][1m+nmx1+nx2，] 方差[s2=1m+nms21+x1-x2+][ns22+x2-x2.]

利用公式進(jìn)行計(jì)算，不僅不需要依賴原始數(shù)據(jù)，減少了運(yùn)算量，而且可以清晰地展現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生已經(jīng)掌握定義及基本計(jì)算公式的前提下，引出本節(jié)課需要突破的難點(diǎn)——分層抽樣總樣本的均值和方差公式. 對(duì)于難點(diǎn)問題，采用從特殊到一般的方式進(jìn)行研究，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

3. 拓展探究

探究1：總體分為三層時(shí)總樣本的均值和方差公式.

問題1：在獲取了高一年級(jí)學(xué)生BMI值樣本的均值和方差的基礎(chǔ)上，我們又用同樣的方法獲取了高二和高三年級(jí)學(xué)生BMI值樣本的均值和方差. 那么，如何計(jì)算全校學(xué)生BMI值總樣本的均值和方差呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立演算，然后分組討論，最后由學(xué)生代表講解推導(dǎo)過程，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng).

【設(shè)計(jì)意圖】在前一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了總體分兩層時(shí)總樣本的均值和方差計(jì)算方法的前提下，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)總體分三層時(shí)的均值和方差公式. 由于學(xué)生對(duì)求和記號(hào)的表述普遍感到困難，故本環(huán)節(jié)采取“獨(dú)立演算—小組交流—學(xué)生講解—教師點(diǎn)評(píng)”四個(gè)步驟進(jìn)行教學(xué)，以讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)抽象符號(hào)的表達(dá)與計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

探究2：用各層樣本權(quán)重表示總樣本的均值和方差.

問題2：若由于保管不慎，導(dǎo)致高二年級(jí)學(xué)生BMI值原始數(shù)據(jù)樣本量丟失，還能計(jì)算出全校學(xué)生BMI值總樣本的均值和方差嗎？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生各抒己見，自由發(fā)言，有的學(xué)生認(rèn)為不能，因?yàn)樾枰拦街衃m，n，l]的具體數(shù)值才能計(jì)算；有的學(xué)生認(rèn)為通過公式中各項(xiàng)的系數(shù)可以看出各層數(shù)據(jù)在總樣本中所占的比重，可以進(jìn)行計(jì)算.

教師點(diǎn)評(píng)：只需要知道各層數(shù)據(jù)的權(quán)重，就可以算出總樣本的均值和方差，把公式用權(quán)重形式來呈現(xiàn)，可以得到更簡潔的形式.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生用權(quán)重來表示分層抽樣的均值和方差公式，不僅可以促進(jìn)學(xué)生深刻理解公式的本質(zhì)，還可以用更簡潔的形式呈現(xiàn)公式，并為將公式推廣到[k]層作好鋪墊. 通過情境式的設(shè)問，讓學(xué)生樹立善于思考、敢于質(zhì)疑、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

探究3：總體分[k]層時(shí)總樣本的均值和方差公式.

問題3：某市25所高中都采用同樣的方法獲取了本校學(xué)生BMI值樣本的均值和方差，你可以由此計(jì)算出全市高中生BMI值總樣本的均值和方差嗎？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立尋找規(guī)律寫出推廣公式，再進(jìn)行組內(nèi)交流活動(dòng)，然后在黑板上寫出總樣本均值和方差公式[x=i=1kwixi，? ?s2=i=1kwis2i+xi-x2，] 并講解將公式推廣到[k]層的規(guī)律.

教師點(diǎn)評(píng)：總體分為[k]層的分組數(shù)據(jù)方差公式是統(tǒng)計(jì)學(xué)中重要的公式之一. 功能強(qiáng)大的軟件加上方便快捷的算法，必將使我們的數(shù)據(jù)分析如虎添翼，更加精準(zhǔn)和高效.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)運(yùn)算規(guī)律，寫出總體分為[k]層時(shí)的均值和方差公式. 由于《標(biāo)準(zhǔn)》案例13中所呈現(xiàn)的推導(dǎo)過程[s2=1nj=1kt=1njxjt-x2]對(duì)高一年級(jí)的學(xué)生來說理解難度較大，故在教學(xué)時(shí)采用權(quán)重的形式來呈現(xiàn). 有了前面總體分為三層時(shí)的均值和方差公式的權(quán)重形式作鋪墊，學(xué)生只需要發(fā)現(xiàn)運(yùn)算規(guī)律，進(jìn)行歸納推理便可以得到總體分為[k]層時(shí)的均值和方差公式.

4. 模型建構(gòu)

前面4個(gè)小組利用已學(xué)知識(shí)分別把身高或體重?cái)?shù)據(jù)看成單個(gè)變量的觀察數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析. 其實(shí)還可以把身高和體重看成兩個(gè)變量，研究它們之間的關(guān)系. 第五小組根據(jù)原始數(shù)據(jù)作出了散點(diǎn)圖，教師借此機(jī)會(huì)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)身高與體重?cái)?shù)據(jù)之間的隨機(jī)關(guān)系.

問題4：身高和體重這兩個(gè)變量之間是否為函數(shù)關(guān)系？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生各抒己見，有的學(xué)生認(rèn)為通過觀察原始樣本數(shù)據(jù)可以看出，同一身高下體重的取值不同，同一體重下身高的取值也不同，所以身高和體重兩個(gè)變量之間不是函數(shù)關(guān)系；有的學(xué)生認(rèn)為，身高和體重?cái)?shù)據(jù)之間不像函數(shù)關(guān)系那樣有著明確、嚴(yán)格的依存關(guān)系，不確定性很大，所以不是函數(shù)關(guān)系.

教師點(diǎn)評(píng)：無論是觀察原始樣本數(shù)據(jù)，還是根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，都可以判斷身高和體重?cái)?shù)據(jù)只是相關(guān)，但是并沒有確定性的函數(shù)關(guān)系，所以需要引入新的模型來研究身高和體重?cái)?shù)據(jù)之間的隨機(jī)關(guān)系.

模型1：借助函數(shù)模型研究身高和體重的關(guān)系.

學(xué)生活動(dòng)：第五小組展示課前研究成果，即把身高和體重?cái)?shù)據(jù)處理后再用函數(shù)模型進(jìn)行擬合. 他們先將男生的身高數(shù)據(jù)每間隔3 cm進(jìn)行分組，并計(jì)算出對(duì)應(yīng)的體重均值，得到10組數(shù)據(jù)并作出散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)男生身高和體重?cái)?shù)據(jù)之間大致呈現(xiàn)正比例關(guān)系，分別用一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合，Excel軟件顯示了對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式和相應(yīng)的[R2]（如圖3 ～ 6），學(xué)生通過查閱資料得知[R2]越大擬合效果越好，所以認(rèn)為二次函數(shù)擬合效果最好. 用同樣的方法對(duì)女生的身高和體重?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行處理，也是二次函數(shù)擬合效果最好.

教師點(diǎn)評(píng)：第五小組用我們熟悉的幾種函數(shù)模型擬合數(shù)據(jù)來分析身高和體重變量間的關(guān)系. 這提示我們，身高和體重?cái)?shù)據(jù)間的隨機(jī)關(guān)系盡管不能用函數(shù)模型精確地刻畫，但可以借助函數(shù)工具來研究.

【設(shè)計(jì)意圖】利用已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)模型來研究身高和體重的關(guān)系，即用函數(shù)來刻畫身高對(duì)體重的影響，為建立一元線性回歸模型作鋪墊.

模型2：建立一元線性回歸模型刻畫身高和體重的關(guān)系.

第六小組為了和其他小組的研究方向不重復(fù)，一直都沒能找到很好的方向來研究，后來在高三學(xué)長的指導(dǎo)下，發(fā)現(xiàn)身高和體重?cái)?shù)據(jù)具有一定的線性相關(guān)性，也就是在一次函數(shù)模型的基礎(chǔ)上，通過引入隨機(jī)誤差項(xiàng)，建立了可以刻畫兩個(gè)變量之間隨機(jī)關(guān)系的一元線性回歸模型. 但是，他們還是感覺身高和體重?cái)?shù)據(jù)之間的相關(guān)性不強(qiáng)，帶著這個(gè)疑問，他們又去請(qǐng)教了三峽大學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方向的博士. 通過請(qǐng)教，學(xué)生知道進(jìn)入大學(xué)后，還會(huì)通過建立多元線性回歸模型、時(shí)間序列模型等更多方法來刻畫變量之間的隨機(jī)關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】鑒于高一學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)分析方法和模型有限，在學(xué)有余力的情況下，讓學(xué)生通過自學(xué)、探討和請(qǐng)教等方式了解更多數(shù)據(jù)分析的模型和方法. 課后的探索和研討不僅是對(duì)學(xué)生當(dāng)下統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的延伸，更是在更高站位上對(duì)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的整體把握.

問題5：一元線性回歸模型是不是刻畫身高和體重關(guān)系最合適的模型？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生提出體重會(huì)受到遺傳、生活習(xí)慣等多種因素的影響，可能更適合用多元的回歸模型來刻畫，僅用一元線性回歸模型來刻畫可能與實(shí)際誤差較大.

教師點(diǎn)評(píng)：高中階段用一元線性回歸模型來刻畫身高和體重的關(guān)系，只是一種簡化處理. 在大學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們將探尋更多模型，學(xué)習(xí)更多檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷闹笜?biāo)來幫助我們分析更多類型、更復(fù)雜的數(shù)據(jù). 當(dāng)然，任何數(shù)學(xué)模型都只是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一種近似的數(shù)量描述，所以模型沒有最好，只有更好. 正如統(tǒng)計(jì)學(xué)家喬治·博克斯所說：所有模型都是錯(cuò)誤的，但有些是有用的.

【設(shè)計(jì)意圖】通過第六小組建立的一元線性回歸模型，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)模型和統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別，學(xué)會(huì)用統(tǒng)計(jì)的思想去建立模型，刻畫兩個(gè)變量之間的不確定性關(guān)系.

5. 總結(jié)升華

（1）提升對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí).

學(xué)生回憶本節(jié)課的主要內(nèi)容，體會(huì)統(tǒng)計(jì)的基本思想方法. 在由確定性向不確定性轉(zhuǎn)變的過程中，要建立隨機(jī)思維方式和相應(yīng)的世界觀，統(tǒng)計(jì)的魅力也正在于此——從隨機(jī)中尋找規(guī)律性.

（2）明確統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的基本素養(yǎng).

積極肯定學(xué)生在整個(gè)建模活動(dòng)中的出色表現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思維品質(zhì).

（3）鞏固、完善建模結(jié)題成果.

課后對(duì)建模成果進(jìn)行整理總結(jié)，完成本校學(xué)生體質(zhì)情況調(diào)查報(bào)告，并開展成果匯報(bào)交流會(huì)，組織學(xué)生進(jìn)行自評(píng)和互評(píng)，形成結(jié)題成果.

（4）增強(qiáng)數(shù)據(jù)分析的責(zé)任和擔(dān)當(dāng).

數(shù)據(jù)，不僅是科技符號(hào)，更是文化符號(hào). 數(shù)據(jù)文化，就是尊重事實(shí)、強(qiáng)調(diào)精確、推崇理性和邏輯的文化. 中華民族特有的數(shù)據(jù)文化，如結(jié)繩記事、河圖洛書、珠算計(jì)數(shù)，都是祖先留給我們的寶貴財(cái)富. 作為大數(shù)據(jù)時(shí)代的有志青年，我們理應(yīng)肩負(fù)起數(shù)字未來的時(shí)代擔(dān)當(dāng)，始終保持奮發(fā)有為的姿態(tài)，爭做數(shù)字中國的創(chuàng)新者和引領(lǐng)者.

【設(shè)計(jì)意圖】將對(duì)函數(shù)模型和統(tǒng)計(jì)模型的比較上升到對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生用統(tǒng)計(jì)眼光看問題的意識(shí). 對(duì)本次數(shù)據(jù)分析活動(dòng)進(jìn)行總結(jié)回顧，不僅給學(xué)生積極的評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)，更讓學(xué)生樹立數(shù)據(jù)分析的科學(xué)精神和歷史責(zé)任感，提升課程的思政價(jià)值.

六、教學(xué)反思

《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，力求讓學(xué)生深切體會(huì)到數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，以及與其他學(xué)科之間的關(guān)系. 作為高中數(shù)學(xué)課程的四條主線之一，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)正是數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的重要載體和著力點(diǎn). 本次數(shù)據(jù)分析活動(dòng)，以《標(biāo)準(zhǔn)》為基本指導(dǎo)思想，進(jìn)行了大膽的嘗試和實(shí)踐，收獲了很多成功和驚喜.

首先，堅(jiān)持學(xué)生為本的理念. 教學(xué)過程中始終堅(jiān)持以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的教育理念，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，放手讓學(xué)生收集數(shù)據(jù)、自選角度研究數(shù)據(jù)、尋找途徑驗(yàn)證數(shù)據(jù)，再根據(jù)教師的設(shè)問自主研究、演算推理、展示交流、獲得結(jié)論，最后自主完成課題研究報(bào)告. 由于整個(gè)過程由學(xué)生自主完成，教師只是教學(xué)活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者，學(xué)生在探究式、體驗(yàn)式學(xué)習(xí)中的獲得感顯著增強(qiáng)，這一點(diǎn)通過學(xué)生做題過程中的積極參與可以很好地體現(xiàn).

其次，嘗試教學(xué)模式的創(chuàng)新. 基于單元整體教學(xué)的思路，本次數(shù)據(jù)分析活動(dòng)采用課題研究的方式進(jìn)行，教師先引導(dǎo)學(xué)生完成選題、開題環(huán)節(jié)，然后學(xué)生利用課余時(shí)間完成做題過程. 由于課前學(xué)生有充足的時(shí)間進(jìn)行思考和討論，完成了對(duì)統(tǒng)計(jì)軟件的學(xué)習(xí)和使用，所以課堂上的五組展示非常順利和高效. 對(duì)分層抽樣的均值和方差公式的三次探究層層遞進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 根據(jù)課堂小組討論時(shí)巡視的情況來看，大部分學(xué)生對(duì)抽象符號(hào)的運(yùn)用掌握較好.

再次，注重學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變. 在教學(xué)過程中，教師除了引導(dǎo)學(xué)生借助已有的知識(shí)和方法進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，還鼓勵(lì)學(xué)生了解選擇性必修課程和大學(xué)統(tǒng)計(jì)課程中相關(guān)的統(tǒng)計(jì)方法. 通過網(wǎng)絡(luò)搜索、合作探究、交流請(qǐng)教等多種方式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多樣化、個(gè)性化、有時(shí)代特征的學(xué)習(xí)和實(shí)踐. 學(xué)生課堂上的精彩展示，體現(xiàn)了各小組在合作探究過程中集體智慧的結(jié)晶. 在向高三學(xué)長和大學(xué)博士請(qǐng)教的過程中，學(xué)生學(xué)到了更多關(guān)于統(tǒng)計(jì)的知識(shí)和方法. 由于課堂時(shí)間有限，沒有過多展示，課后學(xué)生分享了自己錄制的更詳細(xì)的視頻學(xué)習(xí)資源，極大調(diào)動(dòng)了學(xué)生數(shù)據(jù)分析的興趣和熱情，開闊了學(xué)生的眼界.

最后，融入信息技術(shù)的運(yùn)用. 本次數(shù)據(jù)分析活動(dòng)大膽嘗試，采用R軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，讓學(xué)生將更多的精力集中于對(duì)統(tǒng)計(jì)概念和方法的理解上，這與我們學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的目的和意義相契合. 不僅快速、準(zhǔn)確地完成了列表、畫圖、計(jì)算等數(shù)據(jù)處理，還詳細(xì)、深入地從多個(gè)角度對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了描述和刻畫.

教學(xué)是遺憾的藝術(shù)，教學(xué)的設(shè)計(jì)和實(shí)施沒有最好，只有更好. 本節(jié)課的遺憾之處在于對(duì)于分層抽樣均值和方差公式中數(shù)學(xué)抽象符號(hào)的理解和表達(dá)，以及公式的變形和推導(dǎo)，部分學(xué)生仍然存在一定困難. 鑒于課堂時(shí)間有限，課后準(zhǔn)備考慮再設(shè)計(jì)一些計(jì)算問題讓學(xué)生及時(shí)鞏固，或者在后面的學(xué)習(xí)中再次強(qiáng)化. 一些課堂教學(xué)的細(xì)節(jié)處理也可以做得更好. 課堂上在對(duì)分層抽樣均值和方差公式進(jìn)行拓展后，對(duì)分層公式的意義，即對(duì)數(shù)據(jù)分布進(jìn)行分析的思想闡述不夠. 課堂小結(jié)部分，對(duì)數(shù)據(jù)分析文化的介紹還可以更豐富一些. 例如，西周的平均數(shù)分析法，宋代的中位數(shù)分析法和圖表分析法等.

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