“函數的極值與導數”教學設計

魏靜 韓永強

摘? 要：采用問題探究式教學法，圍繞“極值是什么、怎么求極值、為什么借助導數求極值”構建本節概念教學課.

關鍵詞：概念教學；函數；極值；導數應用

一、教學內容解析

本節課選自人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學（選修2—2）》（以下統稱“教材”）第一章“導數及其應用”第三節“導數在研究函數中的應用”第二小節，主要內容包括極值的概念和借助導數研究函數的極值，是繼函數的單調性與導數之后，再次應用導數研究函數. 同時，為利用導數研究可導函數的最值作好鋪墊. 綜觀本單元的教學內容，研究路徑可以歸結為：導數的正負—函數的單調性—函數的極值—函數的最大（小）值—函數的綜合問題.

函數的極值的內涵是局部范圍內的最大（小）值，中學階段對應單調性的轉折. 對于連續可導函數而言，導數能定量地刻畫函數的局部變化規律，是研究函數的基本工具. 有了導數以后，可以將函數的單調性問題轉化為判斷導數的正負性問題，將判斷函數的極值點轉化為判斷導數的變號零點. 其思維模式如圖1所示.

基于以上分析，確定本節課的教學重點：函數極值的概念，利用導數求函數的極值.

二、教學目標設置

本節課的教學目標設置如下.

（1）從實際情境中抽象出具有升降的函數圖象，通過觀察函數圖象的升降及其“分界點”的特征，歸納和抽象出函數極大（小）值概念，體會數形結合思想、歸納和類比思想，發展數學抽象和直觀想象素養.

（2）通過具體可導函數的零點及其兩側導數符號的變化，發現并證明用導數求函數極值的基本原理，并通過實例明確基本原理中的條件是函數存在極值的充分條件，體會數形結合思想和轉化思想，發展直觀想象素養.

（3）通過用導數求函數極值的基本原理求具體函數的極值，歸納、整理求極值的步驟，體會算法思想，感悟數學運算和邏輯推理之間的關系，發展數學運算素養.

三、學生學情分析

1. 已經具備的認知基礎

本節課的授課對象為高二學生，已經學習過導數的概念與基本運算、導數的幾何意義、函數的單調性與導數的關系，初步具備運用導數的基本思想分析和解決函數問題的意識. 這為本節課利用導數研究函數的極值奠定了基礎，也為學生在活動中自主探究并抽象出極值的概念、發現極值和導數的關系并得出取得極值的條件提供了可能.

2. 可能出現的障礙

學生對極限和導數的學習有限，函數的連續性、可導性、“鄰域”等高等數學知識在高中階段雖然不要求掌握，但不能為后續學習造成知識的“負遷移”，授課時說明高中階段研究的與導數有關的問題中涉及的函數都是可導函數，但可導函數極值點的“導數特征”仍然無法進行嚴格的證明. 因此，內容的強理論性增加了學習極值的概念、極值與導數的關系的難度. 學生雖然有借助幾何直觀概括函數性質和利用導數研究函數單調性的經驗，但要將函數的極值點的幾何特征深刻到符號化水平去定性地刻畫，將圖形語言轉化為符號語言，仍然存在難度.

基于以上分析，確定本節課的教學難點：函數極值的概念，函數極值與導數的關系.

四、教學策略分析

采用問題探究式教學法，以恰當的問題為紐帶，為學生創設自主探究、合作交流的空間. 教學中始終遵循“教師為主導，學生為主體，知識為主線，發展思維為主旨”的原則.

五、教學過程設計

1. 創設情境，提出問題

情境1：如圖2，在上節課提到的中國跳水運動員高臺跳水的經典案例中，運動員從起跳到最高點，圖象上升，函數單調遞增；從最高點到入水，圖象下降，函數單調遞減.

情境2：2022年北京冬奧會中，中國滑雪運動員奪得單板滑雪男子大跳臺冠軍. 讓我們一起回顧這個精彩過程. 如圖3，通過下滑、起跳、落地滑行，運動員的運動軌跡實現了“減—增—減”的過程.

情境3：某學習小組提交了一張桂林山水的照片，如圖4（a）所示. 通過預習，他們結合教材中的“探究”圖（圖4（b）），聯想到游學活動的群山，山峰的起伏對應著函數的增減，作出圖5.

師生活動：教師展示實踐作業成果. 學生從具體實例中抽象出函數圖象，觀察并思考曲線的單調性的變化.

【設計意圖】緊跟時代熱點，結合教材中的“探究”圖，調動學生的興趣，激發學生的愛國情懷.

2. 生成概念，內涵辨析

問題1：觀察圖6、圖7和圖8并思考，從單調性的變化來看，圖中哪些位置比較特殊？為什么？

師生活動：師生通過觀察、歸納得出“點A，B，C，D，E，F，G，H，K都是單調性發生變化的轉折點”.

追問：這些位置的函數值有什么共同特點？

探究發現1：如圖9，點A的函數值是函數圖象上點A附近的最大值，是整個函數的最大值.

探究發現2：如圖10，點B的函數值是函數圖象上點B附近的最小值，但不是整個函數的最小值.

師生活動：放大“波峰”“波谷”附近的圖象，師生發現點A，B處函數值的共同特點是均為“局部最值”.

【設計意圖】通過將圖形放大，讓學生形成更直觀的感受，即函數的極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，引出極值的概念，體現從特殊到一般的思想，發展學生的直觀想象和邏輯推理素養.

引言1：正所謂“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，當我們所站的位置不同時，看待事物的角度也就不同，結果可能就不一樣.

【設計意圖】一是更加形象直觀地表達“局部最值”；二是幫助學生樹立正確的世界觀，學會全面看待事物，落實立德樹人的育人目標.

師生活動：教師板書課題“函數的極值”；學生在教師的引導下觀察圖11，生成極值的概念.

極小值概念：函數[y=fx]在點[x=a]處的函數值[fa]比它在點[x=a]附近其他點的函數值都小，我們把[a]叫做函數[y=fx]的極小值點，[fa]叫做函數[y=][fx]的極小值.

極大值概念：函數[y=fx]在點[x=b]處的函數值[fb]比它在點[x=b]附近其他點的函數值都大，我們把[b]叫做函數[y=fx]的極大值點，[fb]叫做函數[y=][fx]的極大值.

說明：極小值點、極大值點統稱為極值點；極小值和極大值統稱為極值；極值點是自變量（橫坐標）；極值是函數值（縱坐標）.

【設計意圖】引導學生從特殊到一般，借助幾何直觀，經歷“極值概念”的生成過程，積累從實例中抽象出數學概念的數學活動經驗，體現類比思想，發展學生的數學抽象和直觀想象素養.

問題2：如圖12，函數定義在閉區間[x1，x8]上，圖中哪些是極大值點？哪些是極小值點？

追問1：點[x1]的函數值比它附近其他點的函數值都大，點[x1]是不是極大值點？

師生活動：教師指導學生進行小組合作，分享交流，質疑探討，確認釋疑.

結論：極值的概念中的“附近”要求極值點左右有“鄰居”，端點不是極值點.

追問2：點[x5]是不是極大值點？

如圖13（圓圈較小），點[x5]的函數值比它附近其他點的函數值都大.

如圖14（圓圈較大），將點[E]附近的圓圈擴大，發現點[x5]的函數值不滿足比它附近其他點的函數值都大.

師生活動：教師追問，學生思考，交流討論.

結論：“附近”體現了極值是函數的局部性質. “附近”不是“任意”，而是“存在”.

【設計意圖】通過“畫圈”理解極值的概念中“附近”的含義，理解極值作為函數的“局部性質”的內涵，發展學生的直觀想象素養.

引言2：極大值對應“波峰”，極小值對應“波谷”，此情此景，你能聯想到哪個成語？（登峰造極）

問題3：極大值一定大于極小值嗎？

結論：極大值與極小值沒有必然的大小關系.

問題4：函數的極大值和極小值唯一嗎？

結論：函數的極值可以有多個，也可能沒有.

【設計意圖】通過幾何直觀，觀察得出結論，體現“極值”是函數的局部性質，為整體性質“最值”的學習積累經驗，發展學生的直觀想象素養.

引言3：大自然尚且起起落落，更何況人呢？人生的低谷總是難免的，我們要不懼低谷、勇攀高峰！

【設計意圖】借助幾何直觀，鼓勵學生不懼低谷、勇攀高峰，實現立德樹人的育人目標.

3. 鞏固拓展，概念應用

例1? 判斷下列函數是否有極值. 如果有，求出極值；如果沒有，說明理由.

（1）[fx=2]；

（2）[fx=2x-3]；

（3）[fx=6x2-x-2]；

（4）[fx=sinx].

師生活動：教師展示例題，學生快速判斷.

【設計意圖】設置基本初等函數，借助函數圖象鞏固概念，體現數形結合思想，培養學生的直觀想象素養.

例2? 判斷函數[fx=13x3-4x+4]是否有極值，如果有，求出極值.

師生活動：學生在獲取圖象中遇到困難，自主思考、討論交流后，師生共同合作完成. 從單調性的角度判斷取得極值的充分性和必要性，并借助幾何直觀得出“左增右減極大值；左減右增極小值”的結論.

【設計意圖】設置三次多項式函數判斷極值，學生快速獲取圖象困難，“逼迫”學生回歸極值的概念.

問題5：判斷函數的單調性，有一個非常重要的工具，是什么？

結論：導數. 原函數左增右減——導函數左正右負；原函數左減右增——導函數左負右正.

追問：極值點處的導數值等于多少？怎么判斷？

結論：極值點處的導數值為0.

判斷思路1：極值點是函數單調性變化的分界點，極值點附近兩點的導數左正右負或者左負右正，中間狀態為0.

判斷思路2：導數的幾何意義，在極值點處的切線水平，斜率為0，導數值為0.

【設計意圖】通過追問，層層展開探討，激活學生思維的最近發展區，引導學生主動將新問題與原認知結構中的函數的單調性與導數知識相聯系，從而自然、合理地引出用導數判斷極值，體現轉化與化歸思想，發展學生的邏輯推理素養.

師生活動：教師借助幾何畫板軟件，同時作出原函數和導函數的圖象，如圖15所示. 形成幾何直觀對比，并指導學生得出“原函數的極值點對應導函數的變號零點”的結論. 教師給出極大值點和極小值點的符號語言，分別如圖16和圖17所示.

【設計意圖】極值點的導數特征結論無法進行嚴格證明，借助幾何畫板軟件，讓學生“看得見”“說得出”性質，引導學生從圖象、單調性和導數的角度判斷極值，培養學生會用數學的語言表達現實世界，突破本節課的教學難點，發展學生的直觀想象和邏輯推理素養.

師生活動：回到例2，教師板書規范解答過程，學生歸納利用導數求函數極值的步驟.

解題步驟：確定函數定義域—函數求導—方程求根—列表判號—求出極值.

解題思路如圖18所示.

【設計意圖】通過教師的規范板書，引領學生總結程序化解題步驟，強化對重點知識的鞏固，對學生規范作答起到引領示范作用，發展學生的數學運算和邏輯推理素養.

師生活動：由數到形，引導學生畫出函數的大致圖象，教師用幾何畫板軟件作出圖形，如圖19所示，對比展示，操作確認.

【設計意圖】在“以形助數，以數解形”的數形轉換過程中，體現導數作為工具在研究函數問題中的優越性，為利用導數研究函數的最值積累數學活動經驗，體現數形結合、轉化與化歸思想，發展學生的直觀想象素養.

4. 目標檢測，檢驗效果

目標檢測1：判斷下列函數是否有極值. 如果有，求出極值；如果沒有，說明理由.

（1）[fx=3x-x3]；

（2）[fx=x3].

師生活動：學生上臺演算，教師巡視，對解題不規范現象加以糾正.

思考：導數值為0的點一定是函數的極值點嗎？

結論：[fx0=0]是函數在點[x0]處取得極值的必要不充分條件.

【設計意圖】鞏固利用導數判斷函數極值的方法，對問題的解決形成基本方法和步驟，體現數形結合思想，發展學生的邏輯推理素養.

目標檢測2：導函數[y=fx]的圖象如圖20所示，試找出函數[y=fx]的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些是極小值點.

【設計意圖】通過原函數圖象和導函數圖象之間的關系，深刻理解極值的概念.

5. 課堂小結，形成系統

師生活動：學生分享、教師總結，生成本節課的教學思維導圖，如圖21所示.

引言4：通過極值的學習，大家會對《題西林壁》這首詩有更加深刻的感悟.“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”告訴我們要學會站在不同的視角看待問題；“不識廬山真面目，只緣身在此山中”提示我們做人做事要有全局觀. 其中蘊含了哪些數學知識呢？區別于本節課所講的函數圖象的局部性質，哪些是函數的整體性質？

知識層面：什么是極值？（文字語言、圖形語言、符號語言.）

方法層面：怎么求極值？（借助圖象和導數.）

思想層面：為什么借助導數求極值？（轉化與化歸、函數與方程、數形結合、類比歸納.）

情感層面：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”——不同的視角看問題；“不識廬山真面目，只緣身在此山中”——做人做事要有全局觀.

【設計意圖】知識的學習是提升學生思維和能力的必經之路，而能力的提升是我們學習知識的終極目標. 通過課堂小結，引導學生厘清知識結構、提煉數學方法、領悟數學思想. 同時，引導學生思考什么是函數的整體性質，為下節課教學作鋪墊.

6. 作業布置，分層提高

課本作業：教材第29頁課后練習第2題.

實踐作業：以學習小組為單位，查閱與“極值”有關的實例.

拓展閱讀：判斷函數[fx=x2 x≠0，1? ?x=0] 和[fx=x]是否有極值. 查閱論文《談談人教版教材中函數極值的定義》《把握概念內涵? 優化教學設計——以“函數極值的概念”片段教學為例》了解更多與極值定義有關的問題.

【設計意圖】課本作業意在鞏固極值的概念和用導數求極值的方法；實踐作業意在提高學生學習數學的興趣，使學生學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的語言表達現實世界，用數學的思維思考現實世界，為下節課“函數的最值與導數”的學習作鋪墊；拓展閱讀作業意在滿足數學水平層次較高學生的發展.

六、教學設計說明

1. 整合教材，挖掘內涵

奧蘇貝爾曾說，影響學習的最重要的因素就是學習者已經知道了什么，要探明這一點，并應據此進行教學. 高中數學要求學生在沒有學習連續可導鄰域等概念的情況下進行極值的學習. 對此，教材中所選取的函數均是連續可導的函數，函數圖象成“波峰”“波谷”的形狀. 但這不利于學生把握極值的概念的本質屬性，考慮到學生的認知基礎和能力，參考《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的要求，努力實現教材的編寫意圖，在課前明確本節課研究的函數均為連續可導函數，并尋找合適的認知根源：用單調性實踐作業中具有代表性的成果創設情境引入新課—對函數圖象進行“畫圈搜索”局部最值點—尋找波峰、波谷（連續函數單調性的轉折點）—導數值等于0的點（連續可導函數的駐點）—導函數的變號零點（極值點）. 借助圖象的幾何直觀，把數學知識的學術形態轉化為數學課堂的教學形態. 把高等數學中非連續可導函數的極值判斷及定義解讀安排在課后作業拓展閱讀部分，既不影響主體知識建構，又能使學有余力的學生得到進一步發展.

2. 貼近生活，立德樹人

結合教材“探究”中的函數圖象和學生實踐作業成果，緊跟時代熱點，創造合適情境，借助信息技術輔助教學，創設機會和空間讓學生通過合作討論、分享交流充分展示自我，經歷極值概念發生發展的探究過程，在課堂中通過“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”“登峰造極”“群山起伏，不懼低谷”等情境，不斷激發學生的學習興趣，對學生展示的小組成果給予充分肯定，對小組疑惑加以適時引導，學生在和諧歡快的數學課堂中收獲知識和信心，樹立正確的世界觀，落實立德樹人的育人目標.

3. 滲透思想，提升素養

“極值”只是教學的載體，解決問題所運用的徐利治先生提出的“關系—映射—反演（RMI）”原理及滲透的轉化與化歸思想才是本節課的靈魂. 通過將原函數極值問題轉化為判斷導函數的變號零點，再將結果反演解釋原函數極值的過程，發展學生的運算能力和邏輯思維. 從單調性到極值再到最值，引導學生體會單元教學的根本，遵循“研究對象在變，思想方法不變，研究套路不變”，使對學生數學抽象、數學運算、邏輯推理等素養的培養落地生根. 因此，本文從教學實際出發，結合現場點評教師的建議，選取與本節課教學內容結合最緊密的數學核心素養調整了教學目標.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建躍. 高中數學教科書教學設計與指導（選擇性必修第二冊）［M］. 上海：華東師范大學出版社，2022.

［3］余小芬. 把握概念內涵? 優化教學設計：以“函數極值的概念”片段教學為例［J］. 上海中學數學，2019（4）：11-13，18.

［4］甘志國. 談談人教版教材中函數極值的定義［J］. 中學數學雜志，2011（5）：15-16.