經歷案例研究過程積累概率建模經驗

劉春艷

摘? 要：“超幾何分布”一課中，通過引導學生對比有放回抽樣和不放回抽樣，經歷抽象試驗特征與推導分布列及其期望的過程，辨析二項分布和超幾何分布的聯系與區別，幫助學生積累建立概率模型的經驗. 本節課內容結構主線突出，注重核心素養落地；創設情境啟發思考，體現學生主體地位；突破傳統教學手段，實現技術與內容的融合.

關鍵詞：超幾何分布；二項分布；概率模型

“超幾何分布”是人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第三冊（以下統稱“教材”）第七章第4節“二項分布與超幾何分布”第2課時的內容. 屬于《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）提出的高中數學課程內容四條主線中“概率與統計”領域的內容. 概率課程承擔的主要育人任務是培養學生分析隨機現象的能力，提升學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理和數學運算等素養. 《標準》對此內容的要求是通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題.“超幾何分布”是“第十一屆高中青年數學教師課例展示活動”的指定課題之一，學術委員會給出的關于本節課的教學內容與要求和《標準》是一致的. 教學提示為：整體而言，應通過典型案例開展教學活動，案例的情境應是豐富的、有趣的、學生熟悉的；要重視過程，層次清楚，從具體到抽象，從實際到理論. 具體地，要通過不放回摸球試驗或隨機抽樣問題，利用建立二項分布模型積累的數學活動經驗，經歷抽象試驗特征、推導分布列、直觀猜想并計算驗證超幾何分布隨機變量均值的過程；要引導學生辨析二項分布與超幾何分布的聯系與區別，幫助學生積累建立概率模型的經驗，體會概率決策的作用. 教材的內容安排則希望通過研究二項分布和超幾何分布，促使學生進一步理解離散型隨機變量在描述隨機現象中的作用，同時對隨機思想在解決實際問題中的作用產生更深入的理解．

一、主要亮點

本節課的教學以對一個離散型隨機變量分布列的研究路徑為脈絡展開，主要有以下三方面亮點.

1. 內容結構主線突出，注重核心素養落地

“超幾何分布”一課的教學從學生熟悉的購物抽獎活動引入，引導學生在問題解決的過程中初步感受有放回抽獎和不放回抽獎的聯系與區別，進而引出本節課的教學內容. 執教教師提出的問題體現了數學與生活的聯系，使學生感受到數學知識產生的必然性，也給出了本節課的研究方法，即通過類比二項分布來研究超幾何分布.

本節課的具體研究過程主要由四個部分組成：明確本節課的研究內容；定義超幾何分布；推導超幾何分布的期望和方差，并進行簡單應用；總結二項分布和超幾何分布的聯系與區別. 執教教師對每個部分的研究都提出了明確且具體的問題，以引導學生探究的具體方向，設計意圖明確.

本節課教學主線突出，執教教師通過創設合適的情境，設計嚴謹有序的教學活動，凸顯了數學知識的內在邏輯和數學方法，讓學生在分析問題和解決問題的過程中，落實“四基”、提高“四能”. 學生通過分析具體情境中隨機試驗的特征，從特殊到一般、從具體到抽象，抽象出隨機試驗的特征，并用數學符號語言進行表達，建立概率模型. 對于超幾何分布的期望公式的推導，學生經歷了由直觀感知到邏輯推理的過程. 通過系列活動，學生在探究超幾何分布及應用超幾何分布解決簡單問題的過程中，發展了數學抽象、數學建模和邏輯推理素養．

2. 創設情境啟發思考，體現學生主體地位

《標準》指出，在教學實踐中，要不斷探索和創新教學方式，不僅重視如何教，更要重視如何學，引導學生會學數學，養成良好的學習習慣；要努力激發學生數學學習的興趣，促使更多學生熱愛數學．

在本節課的教學中，執教教師作為教學的設計者、組織者和引導者，通過創設合適的情境，提出合適的數學問題，啟發學生思考與交流，充分體現了學生在課堂教學中的主體地位，具體體現在三個方面：一是提出具有挑戰性的問題，激發學生積極思考；二是為學生的獨立思考提供了比較充足的時間和空間；三是組織討論，通過適當追問，啟發學生深入思考，保障學生的課堂討論方向明確、節奏適當、重點突出.

例如，在探究超幾何分布的定義時，執教教師提問：問題1中不放回抽獎方式不服從二項分布，你能說說這類不放回抽樣的特征嗎？你能根據這些特征嘗試歸納這一類分布的概念嗎？學生獨立回答這些問題是有難度的，尤其是對于公式中各參數取值范圍的確定. 對此，教師要求學生先獨立完成，再全班交流. 交流的重點就是問題解決的難點，難點的突破是通過展示學生作品，激發學生深度思考. 特別地，對于參數[k]的取值范圍，學生之間相互質疑、相互啟發，利用已有實例，從特殊到一般，逐步完善．

在課堂教學中，在執教教師的積極引領下，學生主動思考、深度參與，實現了思考有方向、表達有依據、質疑有觀點、參與有熱情. 例如，在對購物抽獎問題的探究中，對于問題“現有兩種抽獎方式可供選擇——有放回抽獎和不放回抽獎，試利用所學數學知識，作出合理的決策方案”，學生從不同角度積極作答.

生1：對于兩種抽獎方案要比較期望和方差，期望大、方差小的方案好. 有放回抽獎，兩次中獎概率都是0.3，兩次抽獎是相互獨立的，滿足二項分布.

生2：由于不放回抽獎時各次抽取結果并不獨立，故只能用古典概型的方法求相關數據．

生3：我同意前面兩名學生的結論，但是計算方式可以調整一下. 因為不放回抽取[n]次的概率和一次抽取[n]個的概率是相同的，所以……

本節課課堂教學氛圍輕松，學生積極參與討論，執教教師在恰當的時機給予學生較多的鼓勵和引導，學生表達思路清晰、論述有理有據，表現出了思維的靈活性. 通過課堂討論交流，提高了學生學習數學的興趣，增強了學生學好數學的信心，同時培養了學生敢于質疑、嚴謹務實的理性精神．

3. 突破傳統教學手段，實現技術與內容的融合

當數據較大時，二項分布和超幾何分布有關的概率計算，以及概率分布圖的繪制都需要借助信息技術來完成. 因此，加強與信息技術的融合是由本節課教學的內在需求決定的. 本節課中，執教教師將信息技術融入教學活動的過程是水到渠成的. 例如，用Excel軟件計算分布列；利用超幾何分布求解例2的第（2）小題. 雖然學生知道具體的計算方法，但是計算量太大，無法完成，而利用計算機進行大規模的計算，省時省力，繪制的統計圖表也更加準確、美觀.

在教學中合理使用信息技術，可以把學生從機械、煩瑣的數據處理中解放出來，使學生能夠將更多的精力集中在對教學內容和方法的理解上，有利于學生整體把握數學知識結構體系. 因此，本節課對信息技術的使用體現了信息技術與數學課程的深度融合，實現了傳統教學手段難以企及的效果，促進了學生對概率與統計內容的理解．

二、教學建議

本節課中，執教教師提出的問題具有開放性，學生的回答與討論也比較發散. 例如，在課堂小結中，學生回答“超幾何分布和二項分布都是伯努利試驗，試驗的結果只有兩種……”. 很明顯，學生的表述是存在問題的. 對此，為了明確出現問題的原因，是學生的口誤，還是學生對伯努利試驗與[n]重伯努利試驗的理解存在問題，又或者是學生對有放回抽樣與不放回抽樣試驗特征的理解存在問題？執教教師應該及時通過追問幫助學生進一步厘清相關問題. 在伯努利試驗中，只包含兩種可能的結果，關注的是事件[A]是否發生. 無論是有放回抽樣還是不放回抽樣，每次抽取一個個體都是一個伯努利試驗. 二項分布和超幾何分布是兩種重要的離散型隨機變量的分布，關注的是事件[A]發生的次數．

對于二項分布和超幾何分布聯系與區別的辨析，執教教師可以更充分地利用學生的已有經驗，更好地發揮信息技術的作用. 本節課中，執教教師直接給出超幾何分布方差的計算公式[DX=np1-pN-nN-1，] 然后從代數的角度讓學生體會“從方差角度看，由于[N-nN-1≈1]，兩個分布的方差也近似相等”. 然而，執教教師可以先引導學生根據已有經驗思考：當[N]充分大且[n]遠遠小于[N]時，有放回抽樣和不放回抽樣的差別大嗎？學生可以直觀地發現，當[N]很大，[n]又不太大時，即使是不放回抽樣，每次抽得次品的概率變化很小，這與有放回抽樣中每次抽得次品的概率不變的情況差別很小. 然后，在引導學生借助已有經驗進行合理猜想的基礎上利用信息技術驗證結果：保持[p=MN]為定值，改變[n]的大小，觀察兩種分布的概率分布圖的差異. 最后，給出方差的計算公式. 這樣也許可以讓學生更好地從已有經驗、圖形直觀、代數運算等角度體會二項分布和超幾何分布的聯系與區別．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建躍，程海奎. 高中必修課程中概率的教材設計和教學思考：兼談“數學核心素養如何落地”［J］. 課程[?]教材[?]教法，2017，37（5）：27-33．