基于多目標遺傳算法的差速器殼體輕量化設計

黃 杰，阮景奎*，張一兵，舒宗敏

（1.湖北汽車工業學院 機械工程學院；2.鄖西精誠汽配有限公司：十堰 442002）

0 引言

近年來，在響應國家“雙碳”目標落地推進的過程中，新能源產業得到飛速發展，新能源汽車的市場占有量愈來愈高。而結構輕量化技術是推進新能源汽車發展的關鍵技術之一，受到業界廣泛關注。付強等[1]基于鋁合金材料的應用，用ABAQUS 軟件分析了車架的靜強度性能，并通過分析結果反推車架的材料強度分布，實現了可滿足各項指標要求的車架輕量化設計。周松等[2]對整車部件進行位移、強度、模態和質量的靈敏度計算，定義相對靈敏度；并運用相對靈敏度分析的結果確定優化設計變量，在保證整車動靜態性能的基礎上，通過靈敏度分析對整車結構進行尺寸和形狀優化，以實現結構的輕量化。阮景奎等[3]針對汽車轉向垂臂進行輕量化設計，以垂臂體積最小和極限工況下最大應力最小作為設計目標，先對其拓撲優化，而后對拓撲優化區域重新進行尺寸優化，取得了較好的輕量化結果。Kim[4]選取汽車履帶桿的6 個變量（連桿厚度、連桿壁厚、縱肋數量、縱肋高度、縱肋厚度、橫肋厚度），通過CAE 分析研究履帶桿剛度和強度隨尺寸變化的規律；采用MatLab 軟件對試驗設計的結果進行分析，選取影響最大的因素建立最優輕量化設計條件。Sookchanchai 等[5]針對汽車懸架下控制臂進行拓撲優化，以減輕重量和提高性能。

綜上，圍繞汽車零部件優化的輕量化設計已取得顯著成果，但基本上以塑性材料作為優化目標，對鑄造件產品，如汽車差速器殼體的輕量化較少提及。作為鑄造件，差速器殼體的加工工藝以車、削、銑等尺寸加工為主，因此通過尺寸優化實現部件減重是最為便捷的方法；但需要注意殼體作為主要承力部件的應力分布變化情況。本文以某新能源乘用車的差速器殼體為研究對象，在起步和倒車時低轉速、大扭矩的工況下，以殼體相關厚度尺寸作為設計變量，基于多目標遺傳算法進行尺寸優化，以期同時實現殼體的輕量化和極限工況下最大應力的最小化。

1 差速器殼體模態分析

1.1 有限元模型建立

在導入有限元軟件進行有限元模型求解之前，需要對差速器殼體的模型進行簡化，以便劃分高精度網格，減少軟件運算量，降低產生錯誤解的概率。模型簡化的原則為忽略對性能分析基本無影響的孔、倒角、圓角、小構件以及其他細節特征。本文涉及的差速器殼體材料為球墨鑄鐵（型號QT600-3），利用SolidWorks 實體軟件建立殼體參數化模型后，通過對應的接口打開ANSYS 軟件，賦予材料屬性，得到差速器殼體的有限元模型如圖1 所示。

圖1 差速器殼體有限元模型Fig.1 Finite element model of the differential case

1.2 模態分析

依據該差速器殼體生產商提供的QT600-3 材料相關屬性，其密度為7.3×103kg·m-3，彈性模量為1.7×1011MPa，泊松比為0.3，屈服極限為370 MPa。模型網格劃分使用二階四面體單元，相較于一階四面體網格，其精度更高、收斂速度更快；網格尺寸為2.5 mm，最終得到的差速器殼體網格模型如圖2 所示，共計138 859 個單元、226 194 個節點。

圖2 差速器殼體網格模型Fig.2 Mesh model of the differential case

模態可衡量結構系統的動態特性，是物體的固有屬性。差速器殼體在傳動系統中主要受到從動齒輪之間的嚙合頻率和轉動頻率影響，以及由于路面激勵而引起的振動。

本文所研究的某新能源電動車額定轉速為5000 r·min-1；主動齒輪齒數z1為20，一檔齒輪以及倒車檔齒輪齒數z2和z3分別為45 和52，從動齒輪齒數z4為90。從動齒輪的轉速為n，轉動頻率[6]為

嚙合頻率[6]為

由式(1)、式(2)可以求出該新能源電動車差速器從動齒輪的轉動頻率和嚙合頻率分別為18.5 Hz 和1665 Hz。

考慮差速器殼體的固有振動特性由其低階模態頻率決定，結合差速器殼體實際運動工況計算其前4 階約束模態。在ANSYS 中約束殼體兩側大端和小端圓柱面位置上的徑向、切向、軸向位移，以及兩處行星孔圓柱面上的軸向位移，通過迭代法求解出殼體前4 階模態的固有頻率，如表1 所示。

表1 差速器殼體模態計算結果Table 1 Calculation results of the differential case modal

由表1 可知，差速器殼體結構的一階固有頻率超過4500 Hz。比較此前計算的從動齒輪轉動頻率和嚙合頻率，同時考慮路面激勵頻率一般在50 Hz左右[7]，可以排除殼體結構產生共振的可性。

2 差速器殼體有限元分析

2.1 極限工況分析

相較于傳統燃油車動力輸出平順的特點，以電能為動力驅動的新能源乘用車在起步和倒車時其傳動系統的工況特點是低轉速、大扭矩。而差速器作為動力輸出端，其殼體承擔了極限工況下的力作用。查閱文獻[8]得知，差速器在電動機最大扭矩且一檔傳動時所受扭矩最大。因此，本文選定以下2 種工況進行差速器殼體的靜力學分析：

1）起步工況——電能驅動下電機最大扭矩輸出且一檔傳動。

2）倒車工況——電能驅動下電機最大扭矩輸出且倒檔傳動。

2.2 靜力學分析

按照上述車輛行駛工況，同時以滿足差速器殼體使用安全系數至少為1.2 的要求進行輕量化設計[9]。給定該新能源乘用車型的相關動力參數如表2 所示，可計算得到：輸入到差速器上的轉矩在起步工況下為7 775.74 N·m，在倒車工況下為6 918.43 N·m。再由力學分析軟件Romax Designer 計算出2 種工況下差速器殼體x、y、z方向的受力，如表3 所示。

表2 新能源乘用車的整車動力參數Table 2 The overall vehicle power parameters of new energy passenger vehicle

表3 極限工況下差速器殼體受力Table 3 Forces on the differential case under extreme conditions

按照1.2 節中建立的差速器殼體約束條件，施加極限工況下的載荷，在WorkBench 靜力學模塊中進行分析求解可知：殼體最大應力在起步工況下為203.85 MPa（見圖3(a)），在倒車工況下為217.32 MPa（見圖3(b)），均小于其材料屈服極限；殼體安全系數為1.7，大于最低使用安全系數1.2。因此，該結構具有充足的優化空間，可以進行輕量化設計。

圖3 差速器殼體靜力學分析Fig.3 Static analysis of the differential case

3 基于多目標遺傳算法的差速器殼體優化設計

3.1 優化的約束條件及目標函數

在SolidWorks 中對差速器殼體的尺寸實施參數化驅動后，以模型中的參數化部位作為設計區域。為了有更好的優化結果，選取差速器殼體各個部位的厚度和長度作為設計變量，即：X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9)=(H1,L1,H2,L2,H3,L3,L4,L5,H4)，如圖4 所示。

圖4 差速器殼體設計變量Fig.4 Design variables of the differential case

可以看到，所有選定的設計變量均與殼體厚度、長度相關；而涉及差速器殼體裝配的位置（如半軸孔、行星孔、法蘭部位螺栓孔以及腔體內部內檔、止口等部位）的尺寸參數、位置度及同軸度等均沒有變化，不會影響裝配，故不考慮。同時為避免參數化區域中某個尺寸過大的自由變形導致整體畸形，參考設計圖紙，設置各設計變量的取值范圍：15.3 mm≤x1≤17.0 mm；24.85 mm≤x2≤26.00 mm；28.25 mm≤x3≤29.00 mm；16.3 mm≤x4≤18.0 mm；24.0 mm≤x5≤27.0 mm；14.4 mm≤x6≤17.6 mm；36.8 mm≤x7≤39.0 mm；27.0 mm≤x8≤30.0 mm；14.4 mm≤x9≤17.0 mm。

以差速器殼體總質量最小以及起步和倒車工況最大應力最小為優化目標，同時殼體結構的屈服強度和變形量均需滿足安全標準下的極限屈服強度和極限變形量要求，建立多目標優化的數學模型

式中：m(x)為殼體質量，kg；σ(x)為極限工況下的最大應力，MPa；s(x)為極限工況下的變形量，mm；[σ]為材料的極限屈服強度，MPa；[S]為材料的極限變形量，mm；Xmin和Xmax分別為設計變量的下限值和上限值。

3.2 響應面分析

基于多目標遺傳算法求解差速器殼體優化的Pareto 解集之前，通過ANSYS 軟件中的實驗設計（DOE）模塊[10]，根據設計變量的可行域，采用最佳空間填充設計法進行實驗設計，以構建一個準確的響應面來擬合設計變量同目標函數之間的隱式關系。完成響應面分析后，得到各試驗設計點的離散圖如圖5 所示。可以看出，質量、起步工況最大應力以及倒車工況最大應力三者都十分靠近對角線位置，反映出它們與設計變量的擬合程度較高[11]。相反，如果試驗設計點較為離散，擬合程度差，說明設計變量與目標函數之間存在錯誤關系，此類優化問題無法得出正確的解。

圖5 響應面擬合離散圖Fig.5 Fitting discrete graph of response surface

通過響應面分析得到各設計變量對質量和極限工況下最大應力的局部靈敏度如圖6 所示，它反映了輸入參數對輸出參數的影響。顯見，差速器殼體上大端厚度x1、法蘭后外廓高度x3及法蘭厚度x6等設計變量對于質量的靈敏度呈現正相關性，但是對最大應力的靈敏度呈現負相關性，說明質量與最大應力這兩個目標相互矛盾。鑒于此，需通過多目標遺傳算法的優化，在保證輕量化的前提下，得到符合結構應力最小的設計變量解。

圖6 設計參數的局部靈敏度Fig.6 Local sensitivity of design parameters

3.3 算法求解

多目標遺傳算法NSGA-Ⅱ不僅能夠降低計算的復雜度，提高精度，還能夠保證Pareto 解集的多樣性，很適合全局領域的最大、最小值的多目標求解問題。根據3.1 節建立的多目標優化模型，設置初始種群數3000 個，交叉概率為0.8，迭代次數為40，最大候選點個數為3。通過ANSYS 軟件優化求解，經過40 次迭代計算，或當80%的樣本數布落在Pareto 前沿時迭代完成。根據圖7 所示的迭代過程可以看出，此次迭代在穩定性低于2%時趨于收斂，在12 次優化迭代后達到收斂。

圖7 目標函數的迭代過程Fig.7 Iterative process of objective function

最終求解得到1 組差速器殼體的Pareto 解集，如圖8 所示；此外，系統根據最大候選點數，提供了3 組優化方案，其中任意1 組都可作為確定結果，在選定其一之后與初始結構參數的對比如表4 所示。表中還包含根據差速器殼體的車、銑加工工藝要求，以及對設計變量優化值進行圓整的取值。

表4 差速器殼體設計變量優化結果對比Table 4 Comparison of optimization results of design variables of the differential case單位：mm

圖8 差速器殼體Pareto 解集Fig.8 Pareto solution set of the differential case

3.4 工藝尺寸鏈分析

如前所述，所選的壁厚設計變量均是在不影響裝配情況下進行優化的，為進一步保證殼體在后續機加工工藝中參照給定的優化工藝參數加工后不會出現壁厚差異過大而導致結構強度變化，對殼體軸向零件尺寸鏈以及徑向裝配尺寸鏈進行分析。如圖9 所示：差速器殼體零件圖紙給定其軸向尺寸總長L為(157.1±0.1) mm，徑向尺寸H為(84.24±0.1) mm，殼體上半軸孔直徑為31 mm，弧面水平方向尺寸為29.25 mm。根據封閉環基本尺寸等于所有增環尺寸之和減去所有減環尺寸之和可知，參照圖4，徑向封閉環尺寸為

圖9 差速器殼體尺寸鏈分析Fig.9 Dimensional chain analysis of the differential case

軸向封閉環尺寸為

根據優化后的圓整值求得：H0=(15.5±0.1) mm，L0=(29.25±0.1) mm。根據結果可知，徑向和軸向封閉環的尺寸分別吻合徑向裝配尺寸鏈以及殼體軸向零件尺寸鏈，這也是殼體參數化設計時約束了整體徑向和軸向尺寸的結果——通過尺寸鏈分析得到了設計變量優化值的關聯性和可靠性，保證了機加工時厚度的均勻性。

進而建立優化后的差速器殼體三維模型，如圖10所示。相比于優化前模型，輕量化模型的變化集中在大、小端以及腔體根部尺寸的減小，但對法蘭部位以及腔體外部和肩部應力過大的地方增加材料進行了加固。殼體的整體質量由6.80 kg 減為6.10 kg，減少了10.3%

圖10 優化后的差速器殼體模型Fig.10 Optimized model of the differential case

4 優化結果驗證對比

通過ANSYS 軟件，在同樣的載荷和邊界條件下，對優化后的差速器殼體模型進行靜力學分析，得到其應力和變形云圖如圖11 和圖12 所示。

圖11 優化后的差速器殼體應力云圖Fig.11 Stress nephogram of the optimized differential case

圖12 優化后的差速器殼體變形云圖Fig.12 Deformation nephogram of the optimized differential case

由圖11(a)可知，在起步工況下，優化后模型的最大應力為197.53 MPa，比優化前模型的最大應力203.85 MPa 減小了6.32 MPa。由圖11(b)知，在倒車工況下，優化后模型的最大應力為195.77 MPa，比優化前模型的最大應力217.32 MPa 減少了21.55 MPa。最終，輕量化后的差速器殼體最大應力降低了9.9%，結構安全系數為1.87（＞1.2），滿足強度要求。

由圖12(a)可知，優化后模型的最大變形為0.084 mm，根據QT600-3 的材料延伸率δ≥3%，可知該最大變形量滿足材料安全應用要求。

同時，通過應力云圖可以看出，除應力集中位置外，優化后的差速器殼體在不同位置上無較大強度差異。

5 結束語

本文首先通過ANSYS 軟件計算差速器殼體有限元模型前4 階模態的固有頻率和靜力學分析，證明差速器殼體具備輕量化的設計空間；然后建立差速器殼體的多目標優化數學模型，并通過最佳空間填充實驗設計法得到目標函數的響應面擬合度以及目標函數對設計變量的局部靈敏度；最終基于多目標遺傳算法的優化求解，參考Pareto 最優解集，輕量化后的差速器殼體整體質量減少了10.3%，最大應力降低了9.9%，最大變形在安全范圍內，證明通過多目標遺傳算法進行輕量化設計是可行的。本研究可為航天器部件結構的輕量化設計提供參考。