一般三棱鏡光垂直入射點M的討論

殷術千　顧菊觀　邱培鎮　周天佑　曹炳松　潘葉敏　俞軼帆

【摘? ?要】? ?基于幾何光學原理得到一般三棱鏡光垂直入射點[M]與底邊和[B]角的關系式，研究一般三棱鏡所需觀察測量的出射光線與入射點、底角[B]、折射率等的關系。應用 Matlab得到了母線段[BM]與底角[B]、棱鏡折射率及兩側折射率的關系曲線，應用Zemax得到了相應的光線軌跡圖。結果表明，理論分析與關系曲線和光線軌跡是一致的，對三棱鏡應用中選擇折射率、入射光線入射角、入射點和底角等有很好的參考作用，同時加深了對三棱鏡折射理論和應用的理解。

【關鍵詞】? ?一般三棱鏡；入射點；出射光線；折射率

Discussion on the Normal Incidence Point [M] of General Prism

Yin Shuqian， Gu Juguan*， Qiu Peizhen， Zhou Tianyou， Cao Bingsong， Pan Yemin， Yu Yifan

（Huzhou University， Huzhou 313000， China）

【Abstract】? ? Based on the principle of geometric optics， the relationship between the normal incident point [M] of light of general prism and the bottom edge and [B]angle is obtained， and the relationship between the outgoing light required to observe and measure the general prism and the incident point， bottom angle [B]， refractive index， etc. is studied. Matlab is used to obtain the relationship curve between the parent line [BM] and the bottom angle [B]， the refractive index of the prism and the refractive index of both sides， and Zemax is used to obtain the corresponding ray trajectory. The results show that the theoretical analysis is consistent with the relationship curve and ray path， which is a good reference for the selection of refractive index， incident angle， incident point and bottom angle of incident light in the application of triangular prism， and also deepens the understanding of the refraction theory and application of triangular prism.

【Key words】? ? ?general prism; point of incidence; outgoing ray; refractive index

〔中圖分類號〕? ?O435? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 〔文獻標識碼〕? A ? ? ? ? ? ? ?〔文章編號〕 1674 - 3229（2023）02- 0023 - 04

0? ? ?引言

文獻［1-4］研究討論了空氣中的三棱鏡及實驗條件相對比較固定，對于改變相關參數進行實驗很難實現，限制了一些特殊條件下的三棱鏡入射光線、出射光線和偏向角的研究。

文獻［5］得到了空氣中等邊三棱鏡的最小入射角，分析影響的因素；文獻［6］研究了空氣中三棱鏡的最小入射角與棱鏡頂角的關系，棱鏡最大頂角與折射率的關系；文獻［7］詳細研究了一般三棱鏡的最小入射角，棱鏡最大頂角與折射率的關系，折射率所需條件；文獻［8］研究和概括了空氣中三棱鏡的棱鏡折射率的測定和入射角的測量方法；文獻［9］討論了在三棱鏡[AC]面發生全反射的[AB]入射點的選擇及影響因素。對于入射光從[AB]面以入射角為[0°]即垂直入射，并要求出射光線直接從[AC]面出射及影響因素的研究很少見到。本文基于幾何光學原理得到一般三棱鏡光垂直入射點[M]與底邊[BC]和[B]角的關系式，研究影響一般三棱鏡觀察測量所需出射光線的影響因素，并根據文獻［10，11］所提到的光學教學中應用Matlab編程思想和方法模擬關系曲線和Zemax光線軌跡進行研究分析討論。研究的結果對于選擇棱鏡和折射率提供了參考依據，加深了對棱鏡折射的理解和認識。

1? ?[M]點的確定

假設光線從一般三棱鏡[ABC]的[AB]面上入射，圖1表示了[AB]面上光線以入射角[i1=0°]即垂直入射的光線示意圖，其中[M]點處經[AB]面折射（折射角為[r1=0°]）的光線恰好通過[C]點，且[C]點對應的入射角[r2]恰好是臨界角； 在[AM]內的光線，都直接入射到[AC]面，[AC]面對應的入射角都為發生全反射時的臨界角；只有當入射角[r2]小于臨界角時，光線從[AC]面出射，如圖2滿足文獻［1-9］所定義的光線和偏向角，如圖3不滿足文獻所定義的光線和偏向角（文獻［8］已經證明棱鏡折射率要大于兩側折射率）。

圖1中[MB]內的光線，都直接入射到[BC]面（[BC]面的折射率[n4=1]），在[BC]面發生折射；當滿足[r2B=B≥arcsin（1／n2）]時在[BC]面發生全反射，再經[AC]面出射，但不是文獻所定義的出射光線和偏向角；要使[BC]面的光線不到達[AC]面，[B]角需滿足[r2B=B≤arcsin（1／n2）]。

對于給定的三棱鏡和折射率，[B]角的最大值為：

在圖1中[AC]面入射角[r2]滿足[r2≤arcsin（n3n2）]時[AC]面上能觀察到文獻所定義的光線和偏向角，入射角[r2]的最大值為：

式中的[Amax]與文獻［7］的[Amax]是相同的，文中的[Amax]指的是垂直入射時的棱鏡最大頂角，文獻［7］的最大棱鏡頂角是指給定棱鏡折射率和兩側折射率情況下對應的棱鏡最小入射角時，能在[AC]面上觀察到文獻定義的出射光線及偏向角所對應棱鏡的最大頂角。[Amax、Bmax]對應的[C]值為[Cmin]。

式（1）和（2）說明，給折射率的三棱鏡和垂直入射時，只有當[A

圖5說明[n1=1， n2=1.6475， n3=1]，不是等邊三棱鏡時[AB]、[AC]面出射光線的情況。（a）[A=30°<37.3715°， B=60°>37.3715°]時，入射到[BC]面光線經[BC]面全反射再經[AC]面出射，不滿足文獻所定義的出射光線。直接入射到[AC]面的光線從[AC]面折射后的出射光線，滿足文獻所定義的出射光線。（b）[A=60°>37.3715°， B=30°<37.3715°]時 ，入射到[BC]面光線經[BC]面全折射后出射。直接入射到[AC]面的光線從[AC]面全反射再經[BC]折射后出射。兩條出射光線都不滿足文獻所定義的出射光線。（c）[A=30°<37.3715°， B=30°<37.3715°]時，入射到[BC]面光線經[BC]面全折射后出射。直接入射到[AC]面的光線從[AC]面折射后的出射光線只有一條，滿足文獻所定義的出射光線。

由圖5的分析可知，選擇棱鏡的[A]和[B]角要滿足一定要求，才能在[AC]側找到滿足定義所要求的出射光線，從而進行相關測量。

2? ? ?[c3]與[B]的關系曲線和理論分析對比

根據第1部分所述，綜合文獻［10］研究的方法，依據式（4）運用Matlab繪制在折射率[（n1、n2、n3）]定向改變的情況下線段[BM（c3）]與底角[B]的關系曲線如圖6-圖11所示。

2.1? ?棱鏡折射率[n2]發生改變時，[c3]與[B]的關系曲線和理論分析

圖6-圖11中的[Bmax、Amax]是根據式（1）和（2）計算得到的， [BM]（[c3min]）是根據式（5）計算得到的，根據式（4）計算了[B=60°，B=90°]對應的[c3min]。由圖6、7、8知，其他條件不變，棱鏡折射率[n2]越大，對應的[Amax=Bmax]值越小，對應的[BM]（[c3min]）是增大的，[B=60°，B=90°]對應的[c3min]不變的。關系曲線對應的值與理論計算相一致。

2.2? ?棱鏡折射率[n1]發生改變時，[c3]與[B]的關系曲線和理論分析

由圖7、9知，其他條件不變，棱鏡左側（入射方）折射率[n1]增大，對應的[Amax=Bmax]，[BM]（[c3min]）不變，[B=60°，B=90°]對應的[c3min]不變，說明[Amax、Bmax]、[c3min]與棱鏡左側（入射方）折射率[n1]沒有關系。關系曲線對應的值與理論計算相一致。

由圖7、10知，其他條件不變，棱鏡右側（出射方）折射率[n3]增大，對應的[Amax]增大，[Bmax]、[BM]（[c3min]）不變，[B=60°，B=90°]對應的[c3min]不變，說明[Amax]與棱鏡右側（出射方）折射率[n3]有關系，[Bmax]、[c3min]與棱鏡右側（出射方）折射率[n3]沒有關系。關系曲線對應的值與理論計算相一致。

2.3? ?棱鏡折射率[n1]、[n3]發生改變時，[c3]與[B]的關系曲線和理論分析

由圖7、11知，其他條件不變，棱鏡兩側折射率[n1]、[n3]增大，對應的[Amax]增大，[Bmax]、[BM]（[c3min]）不變，[B=60°，B=90°]對應的[c3min]不變，說明[Amax]與棱鏡右側（出射方）折射率[n3]有關系，[Bmax]、[c3min]與棱鏡兩側折射率[n1]、[n3]沒有關系。關系曲線對應的值與理論計算相一致。

3? ? ?結論

綜上所述，要使光線以入射角為[0°]垂直入射到三棱鏡[AB]面后，在[AC]面只找到符合實驗要求的出射光線，棱鏡的兩個角必須同時滿足[A

［參考文獻］

［1］ 趙凱華.新概念物理教程·光學［M］.北京：高等教育出版社，2004：11-15.

［2］ 郁道銀，談恒英.工程光學（第二版） ［M］.北京：機械工業出版社，2006：50-53.

［3］ 姚啟鈞.光學教程（第六版） ［M］.北京：高等教育出版社，2019：115-117.

［4］ 楊述武，王定興.普通物理實驗·光學（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2005：60-63.

［5］ 顧菊觀，錢惠國，陸靜珠.三棱鏡最小入射角的理論和實驗研究［J］.應用光學，2003，24（6）：9-10+26.

［6］ 顧菊觀. 三棱鏡偏向角與棱鏡頂角的關系［J］. 物理與工程，2010（4）：22-23.

［7］ 王夢影，顧菊觀，徐海斌.一般三棱鏡最大頂角與折射率關系探討［J］.湖州師范學院學報，2022 ，44（4）：34-39.

［8］ 沈鑫惠，錢淑珍，顧菊觀.三棱鏡折射率和入射角測量的拓展［J］.物理通報，2014（6）：85-88.

［9］ 錢惠國，陸靜珠，顧菊觀.三棱鏡實驗中入射點問題的討論［J］.應用光學，2005，26（2）：54-56.

［10］ 王立明.單色平面光波的雙縫衍射的計算機仿真［J］.廊 坊師范學院學報（ 自然科學版），2009，9（5） ：41-43.

[收稿日期]? ?2022-10-24

[基金項目]? ?國家自然科學基金委理論物理?？睢案咝＠碚撐锢韺W術交流和人才培養平臺建設項目”（12047568）

[作者簡介]? 殷術千（2002- ），男，湖州師范學院理學院學生。

[通訊作者]? ?顧菊觀（1963- ），男，湖州師范學院理學院教授，研究方向：激光光學、大學光學與實驗。