以“理解百分數統計意義”為目標的單元教學思考

廉萌 劉加霞

【摘? ?要】感悟與理解百分數的統計意義，是發展學生數據意識的重要表現之一?！鞍俜謹怠眴卧獙嵺`中，教師先在了解“百分數統計意義”具體表現的基礎上，分析了當前教材中有助于學生理解百分數統計意義的學習材料，然后在調研了解學生認知起點的基礎上，整合教材的主題活動，設計了凸顯百分數統計意義的系列學習任務。實踐表明，“百分數”的單元教學應在理解百分數原有數學意義的基礎上，凸顯百分數的統計意義，使其貫穿單元學習的始終，將應用意識、數據意識的培養滲透到每個學習任務中。

【關鍵詞】百分數；統計意義；數據意識

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版《課程標準》”）指出，百分數是兩個數量倍數關系的表達，這兩個數量既可來源于確定數據，又可來源于隨機數據。前者指百分數的傳統數學意義；后者即百分數的統計意義，主要體現在運用百分數描述隨機數據的分布情況以及隨機事件的發生概率上。那么，“百分數”的單元教學該如何讓學生理解百分數的數學意義與統計意義？如何辯證處理二者的關系？此外，百分數的統計意義在《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版《課程標準》”）指導下的教材中是否有體現？教材中的哪些問題或任務有助于學生理解百分數的統計意義？基于2022年版《課程標準》的這一調整，筆者對“百分數”單元的教學進行了重新思考與實踐。

一、分類整理教材內容，挖掘凸顯“百分數統計意義”的學習素材

要幫助學生理解百分數的統計意義，教師教學的關鍵是要運用好能體現隨機性的學習素材。那現行使用的2011年版《課程標準》指導下的各版本教材中有沒有隨機數據的現實情境呢？為此，筆者分別對北師大版、蘇教版、人教版教材中涉及隨機數據的情境進行了統計?？梢钥闯?，各個版本的教材中雖然都涉及隨機數據的情境，但占比都不大。統計結果如表1所示。

隨機數據的問題情境或素材有哪些呢？著名統計學家陳希孺認為，并不是任何類型的數據都屬于統計學的研究范圍，只有那種受到偶然性因素影響的數據才是統計學處理的對象，并將隨機數據細分為重復測量同一對象數據、抽樣數據、試驗設計所得數據三類［1］。該觀點為深入分析教材提供了理論依據，在后續的活動設計中，便可以從這幾個維度幫助學生感悟百分數的統計意義。

（一）重復測量同一對象獲得數據的素材

由于存在隨機誤差，因此重復測量同一對象的某個屬性所獲得的數據具有隨機性。例如，多次測量某物體的長度、多次統計某人投籃命中的次數等。北師大版、蘇教版和人教版教材中罰球、套圈、投籃的學習素材就屬于重復測量同一對象得到的隨機數據，如圖1所示。

幾個版本教材都提出了比較命中率的問題。蘇教版教材將投籃情境作為引入百分數的例題呈現，啟發學生多角度思考解決問題的方法，使學生體會將分數的分母化成100易于比較大小，滲透引入百分數的必要性。北師大版教材還設計了套圈比賽選派隊員的練習題，讓學生多次經歷百分數產生的過程。而人教版教材的編寫順序略有不同，先用文字直接給出百分數的描述性定義，在學生對百分數有基本的了解后，再通過投籃情境，引導學生在解決問題的過程中學會把分數、小數化成百分數。

（二）通過抽樣獲得數據的素材

通過隨機抽樣獲得的數據是常見的隨機數據，廣泛應用于各類調查研究。分析樣本數據的性質或特征可推斷總體的情況，這種以樣本推斷總體的方式是“統計意義”的典型表現，但由于小學階段沒有安排學習抽樣的相關知識，所以對理解這方面的含義不作要求。然而，有些版本教材還是設計了此類情境。如北師大版教材和蘇教版教材中有關合格率的內容，及蘇教版教材中收視率的情境（如圖2）。北師大版教材中，相關情境作為小數、分數化成百分數的例題呈現；蘇教版教材的兩個情境則均作為課后練習呈現。由于2011年版《課程標準》并沒有強調讓學生理解百分數的統計意義，因此兩個版本教材只是提到了數據來源是“抽樣”，側重于如何計算百分率，而沒有對抽查數量是怎樣獲得的進行理解和討論。

（三）試驗設計獲得數據的素材

圖3是人教版教材中的發芽率練習題。如圖所示，種子發芽情況具有隨機性，實驗中種子的總數相同，但發芽率不同，屬于試驗設計所得數據。2011年版《課程標準》指導下的教材內容僅僅停留在讓學生會算百分率的層面，并沒有引導學生進行數據對比，以感悟數據的隨機性會帶來發芽率的浮動，從中發現規律的統計價值。

二、調查學情確定單元重點，有效助力學生理解“統計意義”

基于前面對教材的分析，筆者篩選出了有助于初步滲透百分數統計意義的素材或情境。那么學生的認知起點又在哪兒呢？百分數歸于“統計與概率”領域后，學生初次學習百分數時該側重百分數的數學意義還是統計意義呢？對此，筆者設計了兩道前測題，對學生進行前測。

前測題

1.找出生活中含有百分數的信息。

2.飛碟射擊是奧運會射擊比賽項目之一。按比賽規則，擊中碟靶被稱作“中靶”。淘氣共射擊20次，命中9次，命中率為45%。

①淘氣的命中率為45％，你認為45％表示什么意思？

②奇思共射擊2次，命中1次，命中率為50%，你建議由他代替淘氣參加比賽嗎？寫出你的理由。

從第1題中可以發現，學生能夠觀察到生活中存在著大量關于百分數的信息（如圖4）。學生呈現的作品都是表達確定數據關系的百分數，而缺少表達隨機數據的百分數。

學生完成第2題第①小題的情況如表2所示。多數學生雖然能夠用自己的語言解釋命中率45%的意義，但表達的是每射擊100次就能命中45次。這說明他們沒有認識到百分數表達的是兩個量的倍數關系。

學生完成第2題第②小題的情況如表3所示。絕大多數學生認為奇思“可以”代替淘氣參加比賽，因為他們只是單純地比較了大小就立馬作出判斷。只有6名學生認為不可以，但他們也只是對數據的隨機性有點感覺，沒能給出充分的理由。

通過對前測結果的分析，筆者進一步明確：在單元教學中，既要有全面豐富的素材交流，讓學生能充分理解百分數的數學意義，又應重視百分數表示隨機數據的例子，讓學生感悟到百分數對刻畫、描述、分析隨機數據的作用，從而發展學生的數據意識。

三、整體設計滲透“百分數統計意義”的單元學習任務

基于以上的教材分析及學情分析，筆者確立了這樣的教學思路：用好教材中的素材，在以百分數的數學意義為主線的同時，充分挖掘其背后的統計價值。通過問題串的設計，凸顯隨機情境所蘊含的統計價值，讓學生初步感悟百分數的統計意義，培養學生的數據意識。

本單元學習任務的設計將北師大版教材中原有的百分數的認識、合格率（小數、分數化成百分數）、營養含量（百分數化成小數、分數）、這月我當家（解決問題）、練習三（單元練習）五個學習內容整合為追根溯源百分數、我是靠譜質檢員、這月我當家、我是靠譜分析師四個主題活動，并將其細分為20個學習任務（如表4），把應用意識、數據意識的培養滲透到每個學習任務中。整個單元的教學在原有注重百分數數學意義的基礎上，還設計了凸顯百分數統計意義的活動內容。

（一）初識百分數，思考數據隨機性

主題活動一：追根溯源百分數

任務1：比一比，選誰做代表

作為本單元的起始課，教師結合學校六年級的特色活動，創設了為籃球聯賽推選隊員的真實情境。教師出示四名學生投球情況的記錄表（如表5），引導學生思考：如果我們要派一名同學作為代表去參加投球比賽，你們認為選誰做代表合適？

學生理解百分數的數學意義后，教師通過兩次追問，滲透百分數的統計意義，使學生體會到百分數也可以表示隨機數據；初步滲透統計結果的隨機性會引起百分數的變化，使學生感悟到隨著數據的增多，百分數統計意義的參考價值也會增加，也就是說數據越多，命中率這個百分數越能代表選手的實際水平，也就越具有參考價值。

【教學片段】

師：如果再比一場，笑笑還會是第一名嗎？

生：不一定。如果她真正上場比賽，她的命中率會有一些浮動，比如當天可能風大點，比如看到評委會緊張。

生：這個90%只是她大概的水平，跟投球數量也有關系。如果她就投了一個球，而且投進了，那么能說她的投籃命中率是100%嗎？

師：既然大家認為笑笑不一定能得第一，那么統計選拔賽的成績還有意義嗎？

生：我覺得有意義。笑笑能在選拔賽中得第一，就證明她是有一定水平的。打個比方，如果這場選拔賽你只有50%的命中率，那下一場比賽你會有100%的命中率嗎？可能性很小。所以這場選拔賽的成績還是有參考意義的。

生：笑笑在這場選拔賽中是第一，她的狀態起伏可能不會很大，比如這次命中率是90%，下次命中率可能是88%或92%。雖然笑笑不一定每次都是第一，但還是有參考意義的。如果想讓這些數據更準確、更具體，可以讓他們多賽幾場，那統計的命中率會更可靠。

從對話中不難看出，問題串確實引發了學生對數據隨機性的思考。同樣的事情每次收集到的數據可能不同，那哪次“命中率”能代表他們的水平呢？很難說。只有投的次數更多一些，才能發現“規律”。當有足夠多的數據支撐時，“命中率”才能真正代表他們的水平，使用這個“命中率”作判斷和預測才能“更準”，但仍然可能有意外。

（二）由部分推斷整體，初步體會隨機抽樣的統計價值

主題活動二：我是靠譜質檢員

任務5：議一議，抽樣調查合格率

“抽樣調查合格率”這一內容讓學生體會到，在大數據時代，生活中經常有需要通過隨機抽查一部分來推斷整體情況的事件。教師要借助真實情境，引導學生對數據收集過程進行思考，即引導學生討論“如何產生隨機數據使樣本具有代表性”，從而讓學生進一步感悟百分數的統計意義。

【教學片段】

師：你認為合格率80%這個數據是怎么得來的？

生：合格率是通過計算得到的，是抽查的這一批貨物中，合格產品的數量占抽查總數的百分之幾。

生：情境中寫明了是抽查的箱數，說明檢查的是一小部分箱數。一批貨物數量太多，每個都檢查太浪費時間，所以要抽取一部分作為代表。就像如果要檢查一批薯片的合格率，總不能每袋都打開吃一口吧！

（教師出示圖5）

師：這個合格率能代表這批產品的整體情況嗎？

生：我覺得可以。雖然這批貨物中可能有個別瑕疵品，但是我們可以用一部分產品的合格情況來預測整體情況。當然，抽查的數量越多，得到的數據就會越精準。

生：我覺得不能代表整體水平。從圖上看，這些抽查的燈泡是這個老板準備好的，他說隨便檢驗，合格率100%，那他很有可能都提前試過了，所以這個結果是不可信的。要想得到的合格率可信，必須要真的去抽查，比如每箱抽查幾個燈泡，或者在每天生產的燈泡中隨機抽取一箱來檢驗，而不能去抽查提前準備好的燈泡。

在課堂討論的過程中，學生逐步感受到不僅收集的數據要盡可能多，還要學會隨機取樣，這樣計算出的合格率才能反映整體水平。

（三）多角度分析數據，逐步加深對數據隨機性的思考

主題活動四：我是靠譜分析師

任務18：議一議，前測問題再討論

通過一個單元的學習，學生是否對百分數的統計意義有所感悟呢？教師引導學生再次討論本單元前測題中第2題的第②小題，以分析學生學習前后的變化。

【教學片段】

生：不能代替。射擊和我們之前討論過的投籃一樣，雖然他這次的命中率稍微高一點，但下次就不一定了。

生：我覺得根據現有的數據無法給出建議。因為雖然現在奇思的命中率高，但射擊次數太少了，不能代表他的整體水平。射擊次數越多，命中率才越能代表他的整體水平。

從學生的回答可以看出，通過本單元的學習，學生在深入理解百分數數學意義的同時，感受到百分數具有能夠刻畫及預測隨機數據的作用。

任務19：想一想，我給教練提建議

本學習任務要求學生綜合運用百分數的意義，分數、小數和百分數的互化及求百分率等知識，綜合處理信息，并對所獲得的數據信息進行分析，形成自己的觀點。

教師出示如下的任務單。

任務單

在本單元的學習中，我們一起研究了關于“選誰做代表”的問題。其實，真實比賽中的隨機性遠不止這些，如投球的次數、運動員的狀態、自己和對手的戰術站位等。在這么多不穩定因素的作用下，僅僅一次比賽的數據確實不能準確地描述運動員的水平。下面是兩名同學幾次籃球比賽投籃情況的統計?；@球隊教練想要挑選一名同學進入校籃球隊，結合這些數據，你能給教練選拔隊員提供一些建議嗎？在下面寫一寫、畫一畫你的分析過程。

題目的開放度很大，恰恰能考核學生對百分數統計意義的理解和綜合運用能力?；顒臃答侊@示，學生能夠想到用百分數對數據進行分析。一些學生想到用折線統計圖分析成績變化趨勢。同樣是畫統計圖，學生基于不同的目標對選笑笑還是選妙想有著不同的思考。有的選笑笑，因為四次比賽中有三次都是笑笑命中率更高；有的選妙想，理由是妙想成績比較平穩；還有的學生建議教練看看對手的情況，對手命中率低就選成績平穩的妙想，對手命中率高就選有超常發揮可能性的笑笑。

令人欣慰的是，無論表達哪種觀點，學生都能借助百分數，用數據說理。通過這道題，學生由“認”百分數跨越到“用”百分數，并能結合自己的統計經驗綜合處理數據。本單元的教學中，不同主題的學習活動設計凸顯了對“百分數”單元的整體思考，切實落實了百分數的統計意義。當然，學生對百分數統計意義的理解不是短短幾課時就能達成的，教師可在后續“數據處理”單元增加“用統計圖表達空氣質量變化”和“確定標準”兩個內容，引導學生進一步感悟百分數的統計意義，發展學生的數據意識。

綜上所述，教師在2022年版《課程標準》的指導下，基于教材研磨和學情分析，引導學生帶著任務去研究、發現、獲得，通過開展不同的學習活動，使學生對百分數統計意義的體驗與感悟貫穿單元學習始終。學生因此開始嘗試辯證地看待生活中存在的“現象或事實”。這不僅僅是一種方法或是技術，更蘊含著學生認識世界的思維方式，這也正是百分數統計意義的育人價值所在。

參考文獻：

［1］陳希孺.機會的數學［M］.北京：清華大學出版社；廣州：暨南大學出版社，2000：58-59.

（1.北京第二實驗小學2. 北京教育學院數學與科學教育學院）