井筒溫壓場下微型測量器運移模型及校正研究*

廖星奧 李軍，2 楊宏偉 柳貢慧，3 劉偉 李牧 廖茂林

(1.中國石油大學(北京) 2.中國石油大學(北京)克拉瑪依校區3.北京工業大學 4.中國石油集團工程技術研究院有限公司 5.北京科技大學)

0 引 言

隨著油氣勘探開發的不斷深入，剩余油氣資源的開發難度越來越大，深部油氣資源將逐漸成為勘探開發的重點，深井、超深井的數量必將越來越多[1-2]。然而在深井、超深井鉆井過程中，容易遇到高溫高壓環境帶來的鉆井液性能不穩定、安全密度窗口窄、井壁穩定性差等難題，從而導致坍塌、卡鉆、漏涌等井下復雜事故的發生[3-4]。近年來，因為隨鉆測量工具在鉆井時通過與近鉆頭處的鉆桿連接，能夠測量井下溫度、壓力及鉆井液物性參數，所以該工具及相關技術得以較快發展[5-7]。但隨鉆測量工具在實際鉆井過程中存在使用費用較高，高溫高壓環境下易失效，發生復雜事故可能導致設備報廢，深井全井筒信息無法實現實時測量等缺點[8]。因此研發價格便宜、耐溫性好、能夠全井筒測量的測量工具就顯得尤為重要。筆者結合中石油工程技術研究院“井下微型隨鉆測量與數據監測分析系統基礎理論研究”項目，選用研發費用低、耐溫性好、能夠全井筒測量的微型測量器(結構和工作原理與微芯片示蹤器相似[9])，實現整個鉆完井過程中快速、連續、低成本井筒多物理場(溫、壓、動、磁)協同測量，以期解決深井、超深井鉆井測量過程中出現的難題。鑒于微型測量器只記錄了物理場參數和對應參數的時間參數，沒有記錄與井深相關的參數，本文在S.F.CHIEN經驗公式[10]的基礎上，考慮井筒溫壓場的影響，建立微型測量器在井筒中的運移模型，并對微型測量器在井筒中運移的時間-深度關系進行校正研究。利用微型測量器的功能，可實時獲取全井筒鉆井液的流動狀態及井筒溫度壓力剖面等信息，避免井下復雜工況的發生[11]。研究結論可為微型測量器的現場應用提供理論指導，并促進智能鉆井技術的發展。

1 在井筒中的運移模型

選用的微型測量器如圖1所示，其直徑ds=10 mm、密度ρs=1.6 g/cm3，球形指數φ=1。

為建立微型測量器在井筒中的運移模型，設定如下假設條件：①微型測量器在井筒內運移的過程中不與井筒發生摩擦、碰撞；②微型測量器在井筒中的運移不受鉆柱的旋轉作用影響；③井筒中鉆井液流速均勻。

圖1 微型測量器結構示意圖Fig.1 Schematic structure of the miniature measuring instrument

當微型測量器在井筒中運移時，作用于其上有2種力：一種是微型測量器受到的浮重(在流體中所受重力與浮力的合力)；另一種是微型測量器在流體中流動時受到的阻力[12]。受力如圖2所示。

圖2 微型測量器運動過程中的受力圖Fig.2 Force diagram of the miniature measuring instrument during wellbore transport

微型測量器在井筒中運移所受到的浮重計算式為：

(1)

式中：Wo、Fb及G分別為微型測量器在井筒中運移所受的浮重、浮力及重力，N；ρ為鉆井液的密度，kg/m3；g為重力加速度，m/s2；γs為微型測量器重度，N/m3；γ=ρg。

微型測量器在井筒中運移受到的阻力計算式：

(2)

微型測量器在井筒中的受力與運移速度關系式[13]為：

Wo-R=ma

(3)

由式(1)、式(2)及式(3)得：

(4)

從式(4)可知，微型測量器的加速度等于其在流體中的浮重加速度與阻力加速度之差。當微型測量器從井口投入時，其運移速度為0，所受阻力也為0，這時運移加速度最大，等于它在流體中的重力加速度。此后受到流體的阻力作用導致運移加速度逐漸減小，一段時間后，微型測量器在流體中的阻力加速度與浮重加速度大小相等、方向相反，這時運移加速度為0，在井筒中處于等速滑落狀態，相關研究把此時的速度稱為等速滑落速度[14]vs。在外力平衡或者微型測量器以vs等速滑落時，由式(4)求解得：

(5)

但實際鉆井液都具有一定的黏度，會影響微型測量器的運移速度，如圖3所示。當運移速度較小，而鉆井液黏度較大時，鉆井液會在微型測量器周圍呈現一定結構狀態的繞流，從而降低運移速度。因此，黏度對微型測量器在井筒中運移的影響不可忽略。基于巖屑滑落相關研究，S.F.CHIEN考慮井筒中巖屑受力和黏度的影響，利用試驗數據分析了當不規則顆粒滑落時阻力系數與顆粒雷諾數的關系，阻力系數與顆粒雷諾數及球形系數的關系式[15]為：

圖3 微型測量器運移時受到黏度影響形成繞流Fig.3 Flow around the miniature measuring instrument attributed to viscosity during wellbore transport

(6)

將式(6)代入式(5)中，得到巖屑滑落速度計算式：

(7)

式中：μa為鉆井液黏度，Pa·s。

由式(7)可得：

(8)

其中：

(9)

式中：k為稠度系數，Pa·sn；n為流變指數。

由于所用微型測量器形狀大小與巖屑類似，且球形系數為1，所以可用式(8)計算微型測量器在井筒內的運移速度。基于式(8)，并考慮冪律流體黏度的影響，以此研究微型測量器在井筒中的運移速度的變化。其次，式(8)中ρ為常數，但根據現有研究，隨著井深的增加，鉆井液的密度會受到溫度壓力的影響，且該影響不可忽略[16]。因此，本文考慮了井筒溫壓場下鉆井液密度變化對微型測量器在井筒中運移的影響。所用的鉆井液密度模型為[17]：

ρL(p，T)=ρ0exp[4.331 7(p-p0)×10-10-

1.999(p-p0)2×4.733 8×10-4(T-T0)×

10-18-1.378 3×10-6(T-T0)2]

(10)

式中：ρL為鉆井液隨溫度壓力變化的密度，kg/m3；p為鉆井液所受壓力，MPa；T為鉆井液所受溫度，℃；ρ0為地面溫度壓力條件下鉆井液密度，kg/m3；p0為地面壓力，MPa；T0為地面溫度，℃。

為研究鉆井液密度隨井深的變化規律，需先求得井筒溫度壓力剖面。基于井筒溫壓場計算模型的建立與求解思路[18]，利用傳熱學理論分析鉆柱內、環空內和地層間的傳熱問題，如圖4所示。圖4中Qa為地層傳入環空熱量；Qa(z)為環空軸向流出熱量；Qa(z+Δz)為環空軸向流入熱量；Qap為環空傳入

管內熱量；Qfp為管內熱源項消耗熱量；Qp(z)為管內軸向流入熱量；Qp(z+Δz)為管內熱源項軸向流出熱量；Qfa為環空消耗熱量；z+Δz為下一個網格位置。

圖4 鉆柱內、環空內、地層間的傳熱Fig.4 Heat transfer within the drill string，in the annulus and between formations

利用邊界條件并結合有限差分法，得到地層和井筒傳熱模型：

(11)

式中：qm為質量流量，kg/s；CP為鉆井液比熱容，J/(kg·℃)；β為傳熱系數，W/(m2·℃)；r為距井眼軸線距離，m；z為井眼軸向距離，m；S為熱源項，J。

井筒壓力計算模型[19]：

(12)

其中：

(13)

式中：pc為井口回壓，MPa；y為井深變量，m；h為井深，m；pf為單位摩擦壓降，MPa/m；Dhy為水力直徑，m。

結合式(11)、式(12)和式(13)3個模型，可建立井筒溫壓場計算模型，步驟如下：首先對井筒劃分網格并進行離散化處理，設定邊界條件后，利用有限差分法即可求解井筒溫度剖面；接著利用鉆井液密度模型及井筒壓力計算模型求解井筒壓力剖面；最后利用雙循環迭代法對井筒溫度剖面和壓力剖面進行耦合，進而得到鉆井液密度隨井深的變化規律。井筒溫度和壓力剖面如圖5和圖6所示。鉆井液密度隨井深的變化關系如圖7所示。

圖5 井筒溫度剖面圖Fig.5 Wellbore temperature profile

圖6 井筒壓力剖面圖Fig.6 Wellbore pressure profile

圖7 鉆井液密度隨井深的變化關系Fig.7 Relationship between drilling fluid density and well depth

將求得的鉆井液密度隨井深的變化規律數據帶入式(5)，建立微型測量器在井筒中的運移模型。為研究井筒溫壓場對微型測量器在井筒中運移的影響，利用常規井參數，分別計算考慮井筒溫壓場影響的微型測量器在鉆柱內運移速度隨井深的變化關系，與不考慮井筒溫壓場影響的微型測量器在鉆柱內運移速度隨井深的變化關系，計算結果如圖8所示。

圖8 是否考慮井筒溫壓場影響的微型測量器在鉆柱內運移速度的對比圖Fig.8 Transport speeds of the miniature measuring instrument in the drll string with and without considering the influences of the wellbore temperature and pressure fields

由圖8可知，考慮與不考慮井筒溫壓場影響計算的微型測量器在鉆柱內的運移速度差別較大，在井底處誤差值接近7%。因此，微型測量器在井筒中的運移需要考慮井筒溫壓場的影響。

建立微型測量器在井筒中的運移模型流程圖如圖9所示：

圖9 微型測量器在井筒中的運移計算模型流程圖Fig.9 Flowchart of the calculation model of wellbore transport of the miniature measuring instrument

2 在井筒中運移的校正模型

微型測量器在井筒中的運移是多維度運動，容易受到井壁不規則、摩擦及撞擊等不確定因素的影響而改變運移速度，因此想要獲得在井筒中運移的精確位置十分困難。為了提高微型測量器在井筒中運移速度的計算精度，在式(5)中引入速度校正系數x，得到校正后的運移速度：

vs，p=vl，p+xvs

(12)

式中：vl，p為鉆井液流動速度，m/s；vs為未校正的運移速度，m/s。

速度校正系數x由UKF算法反演求解。利用UKF算法校正不同井深處微型測量器的運移速度，可以提高其在井筒中運移的時間-深度關系式的計算精度。

2.1 UKF反演算法

常規的卡爾曼濾波算法只能解決線性系統問題，但本文校正模型涉及流體力學計算，屬于非線性系統問題。因此，本校正模型將UT變換(無跡變換算法)應用到卡爾曼濾波算法中，形成UKF反演算法，再依據觀測量的變化關系反演出所需狀態量的最優估計值，進而解決微型測量器在井筒中的運移模型涉及的非線性問題[20-23]。

2.2 在井筒中運移校正模型的建立

將速度校正系數x作為狀態量，引入到微型測量器在井筒中的運移方程中，得到鉆柱內微型測量器在井筒中運移的校正速度：

vs，p=vl，p+xpvs

(15)

環空內微型測量器在井筒中運移的校正速度：

vs，a=vl，a-xavs

(16)

式中：xp、xa分別為鉆柱內和環空內微型測量器運移速度的校正系數。

UKF算法狀態方程：

xk=f(xk-1)+wk-1

(17)

式中：wk-1為系統誤差。

測量方程：

zk=h(xk)+vk

(18)

式中：vk為測量誤差。

微型測量器在井筒中運移的校正模型流程圖如圖10所示。

圖10 微型測量器在井筒中運移的校正模型流程圖Fig.10 Flowchart of the correction model of wellbore transport of the miniature measuring instrument

校正計算過程中系統噪聲和測量噪聲的協方差分別設置為0.25和0.000 1。狀態方程主要是對運移系統的預測，從而為下一個時間狀態構造先驗估計。測量方程主要是結合先驗估計值和觀測量(觀測量是設定值)對當前狀態的后驗估計進行校正。

3 在井筒中運移校正模型的計算

獲取微型測量器現場測量值可通過以下方法：微型測量器從井口投入，運移至鉆頭位置時，由于鉆頭噴嘴處直徑小，會在短時間堵塞鉆頭噴嘴，導致沿管內軸向產生增壓波，沿環空方向產生減壓波(壓力波傳播速度極快，傳播時間可忽略不計)[24]；增壓波傳至井口后，立管壓力迅速增大，可用立管壓力的響應確定微型測量器到達鉆頭的時間，微型測量器在環空運移的時間可用套管壓力的響應確定。因此，運用上述方法，設定測量值，研究微型測量器在井筒中運移的時間-深度關系。

選用實例井排量數據及相關參數計算微型測量器在井筒中的運移，排量隨井深的變化如圖11所示。

圖11 排量隨井深的變化Fig.11 Variation of pump rate with well depth

實例井相關參數如表1所示。

表1 實例井相關參數Table 1 Parameters related to the example well

為驗證微型測量器在井筒中運移的校正模型對井下復雜因素影響的適應性，設定微型測量器在鉆柱內0～5 680 m運移時的校正系數從1開始逐漸變大，斜率為0.001 m-1；因為鉆柱內在5 680～6 000 m處直徑變小，導致微型測量器在井筒中的運移更趨近于直線運動，所以設定校正系數增加幅度變緩，斜率為0.008 m-1。相應的，設定微型測量器在環空內0～2 000 m運移時的校正系數從1開始逐漸變大，斜率為0.001 m-1；因為在環空內2 000 m處，微型測量器從套管環空運移至裸眼地層，所以設定環空內2 000 m處校正系數發生突變，之后在裸眼地層2 000～5 680 m受到碰撞和摩擦的影響機率變大，設定校正系數變化幅度增大，斜率為0.001 5 m-1；因為在環空內5 680 m處，微型測量器的運移受井壁和裸眼地層的影響更大，所以設定環空內5 680 m處校正系數發生突變，之后在5 680～6 000 m處由于直徑變小，導致微型測量器在井筒中的運移更趨近于直線運動，所以設定校正系數增加幅度變緩，斜率為0.000 8 m-1。微型測量器在鉆柱內與環空內的運移校正系數隨井深的變化如圖12和圖13所示。

圖12 微型測量器在鉆柱內運移校正系數設定值Fig.12 Transport correction coefficient of the miniature measuring instrument in the drill string

圖13 微型測量器在環空內運移校正系數設定值Fig.13 Transport correction coefficient of the miniature measuring instrument in the annulus

將校正系數帶入UKF算法觀測方程即可得到觀測量。為避免模型計算時間過長，確定離散后的網格長度為10 m，即每10 m進行一次反演計算。模型校正步驟如下：首先，在鉆柱內和環空內根據微型測量器運動的總時間反演計算其運移速度校正系數；其次，在鉆柱內和環空內根據微型測量器運移速度校正系數校正其在不同井段運移速度；最后，根據校正后不同井段的運移速度計算不同時間微型測量器所在井深。

處于鉆柱內和環空內的微型測量器在井筒中運移速度的反演校正系數與設定校正系數的變化如圖14和圖15所示。由圖14可知：鉆柱內微型測量器的運移速度反演校正系數在0～5 680 m處始終與設定值相符，且誤差逐漸減小；反演校正系數在5 680～6 000 m有小幅波動。由圖15可知，環空內微型測量器的運移反演校正系數在0～2 000 m始終與設定值相吻合，且反演值逐漸收斂于設定值；當微型測量器從套管環空運移至裸眼環空時(即環空內2 000 m處)，運移速度反演校正值波動劇烈，隨著井深的不斷延伸，反演次數逐漸增加，模型的反演校正系數逐漸收斂于設定校正系數；在5 680 m處，環空內微型測量器的運移反演校正系數有小幅波動以后逐漸趨于收斂。

圖14 鉆柱內微型測量器反演校正系數Fig.14 Inversion of the correction coefficient for the miniature measuring instrument in the drill string

圖15 環空內微型測量器反演校正系數Fig.15 Inversion of the correction coefficient for the miniature measuring instrument in the annulus

微型測量器在鉆柱內和環空內運移速度反演校正計算誤差隨井深的變化關系如圖16和圖17所示。由圖16可知：微型測量器在鉆柱內0～5 680 m，運移校正系數與設定值的相對誤差逐漸減小，最大誤差不超過2%；在5 680～6 000 m，由于設定校正系數變化較大，使得計算誤差變大，但最大誤差不超過0.5%。由圖17可知：微型測量器在環空內0～2 000 m，運移校正系數與設定值的相對誤差逐漸減小，最大誤差不超過3%；在2 000～5 680 m，相對誤差發生突變后逐漸變小，在5 680～6 000 m，相對誤差發生突變后略微偏大，最大誤差均不超過0.5%。

圖16 鉆柱內微型測量器反演校正計算誤差Fig.16 Calculation error of the corrected transport of the miniature measuring instrument in the drill string

圖17 環空內微型測量器反演校正計算誤差Fig.17 Calculation error of the corrected transport of the miniature measuring instrument in the annulus

微型測量器在鉆柱內和環空內運移的時間-深度關系如圖18和圖19所示。由圖18和圖19可知，隨著井深增加，未校正的微型測量器運移的時間-深度關系與設定值差別越來越大，校正后基本趨于一致。

圖19 微型測量器在環空內運移的時間-深度關系Fig.19 Time-depth relationship for the miniature measuring instrument when transporting in the annulus

綜上所述，建立的校正模型不僅能夠較準確地計算出微型測量器在井筒中運移的校正系數，而且能夠根據井下情況實時調整計算結果。將反演得到的校正系數帶入建立的運移模型，可以提高微型測量器在井筒中時間-深度關系式的計算精度。

4 結 論

本文結合S.F.CHIEN經驗公式，并考慮井筒溫壓場的影響建立微型測量器在井筒中的運移模型；鑒于微型測量器在井筒中運移受井下多因素影響，建立基于UKF算法的微型測量器在井筒中運移的校正模型，并用實例井排量數據及相關參數進行了計算及分析。研究結論如下：

(1)考慮井筒溫壓場影響計算的微型測量器在井筒中的運移速度與不考慮井筒溫壓場影響計算的運移速度差別較大，且考慮井筒溫壓場影響更符合現場實際情況，因此研究微型測量器在井筒中的運移需要考慮井筒溫壓場的影響。

(2)校正后的微型測量器在井筒中運移的時間-深度關系式的計算精度受校正次數影響較大，校正次數越多，反演得到的校正系數越趨于穩定。

(3)利用實例井排量數據及相關參數計算，結果發現，微型測量器在井筒中運移的反演校正系數與設定值相吻合，建立的校正模型不僅能夠較準確地計算出微型測量器在井筒中運移的校正系數，而且能夠根據井下情況實時調整計算結果。