循“理”入“法”，“理”“法”相融

錢奕杉 蔡燕娟

摘 要：數的運算是一個推算的過程，其中算理是算法的理論依據，算法則是算理的提煉和概括，它們是相輔相成的。《不含括號的三步混合運算》一課，讓學生在混合運算兩步變三步的變化過程中，經歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法，循“理”，入“法”，“理”“法”相融，進一步感受和理解相關運算的本質。

關鍵詞：小學數學；算理；算法；《不含括號的三步混合運算》

“不含括號的三步混合運算”是蘇教版小學數學四年級上冊《整數四則混合運算》單元第一課時的教學內容。本課是在不含括號的兩步混合運算的基礎上，進一步學習不含括號的三步混合運算。學生之前已經初步掌握了一些混合運算的運算規則和順序：只含同級運算的兩步式題要按從左往右的順序依次進行運算；算式里有乘法和加、減法，應該先算乘法；算式里有除法和加、減法，應該先算除法；算式里有小括號，應該先進行小括號里面的運算。但是否真的已經深刻體會到相關運算規則和順序的合理性，能夠結合具體的情境活動對這種合理性作出說明？我們認為，應讓學生在混合運算兩步變三步的變化過程中，“經歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法”^［1］，循“理”，入“法”，“理”“法”相融，進一步感受和理解相關運算的本質。

一、循“理”：在情境中理解算理

我們需要在對教材內容深入分析的基礎上，根據教學內容的需求，將抽象、難懂的數學知識，用形象、具體的情境展現給學生，讓學生能積極地去發現情境中的數學問題，自覺遷移已有經驗對現實問題進行數學化的加工，并能在逐步解決問題的過程中經歷知識的形成過程，理解算理。

《不含括號的三步混合運算》一課中，理解“同步計算”是教學難點。教學時，結合學生的生活經驗創設問題情境，使靜態的對象動態化、抽象的概念形象化，帶領學生結合具體的數量關系理解算理，感受運算的合理性。

師 同學們都喜歡下棋嗎？（出示圖1）從中我們能得到哪些信息？要求什么呢？

生 每副中國象棋12元，每副圍棋15元；全班一共要買5副棋，而且兩種棋都要買到。要求一共要付多少元。

師 如果你是班長，你會怎樣買呢？

（根據學生回答，板書四種方案：①買1副中國象棋和4副圍棋；②買4副中國象棋和1副圍棋；③買2副中國象棋和3副圍棋；④買3副中國象棋和2副圍棋。）

師 如果按照方案①購買，要付多少元錢呢？列出綜合算式。

生 12+15×4。

師 如果按照方案②購買呢？同樣列出綜合算式。

生 12×4+15。

師 這兩個算式可以用三年級學過的兩步混合運算的知識來解答。如果按照③、④這兩種方案購買，綜合算式怎么列？

生 12×2+15×3和15×3+12×2。

生 12×3+15×2和15×2+12×3。

師 觀察列出的四個算式，發現與之前學過的兩步混合運算相比多了一步，成了三步混合運算，那三步混合運算該如何計算呢？先來算12×2+15×3。

（學生嘗試計算，典型解答方式如圖2所示。）

師 觀察2種解法，有什么不同？

生 第①種是按照從左往右的順序，先算2副中國象棋多少元，就是12乘2的積，再算3副圍棋多少元，就是15乘3的積，最后相加得出結果，要分三步；第②種是先同時計算2副中國象棋和3副圍棋多少元，即12乘2和15乘3，再把兩個積相加，只用兩步。

師 第①種方法中能不能先算3副圍棋多少元，即15乘3的積，再算2副中國象棋多少元，即12乘2的積呢？

生 可以的。

師 為什么可以？

生 15×3+12×2和12×2+15×3的計算結果是一樣的。這兩個綜合算式是解決同一個問題，因此先算12×2或先算15×3都可以。

師 可以理解為15×3和12×2的地位是相等的，所以它們可以同步計算，同意嗎？

生 同意。

師 再觀察四個不同的綜合算式解答過程，有什么相同點？

生 都是分別算出中國象棋的總價和圍棋的總價。

師 是啊！這兩個總價沒有規定必須先算誰，后算誰，先算哪一個都可以，最后都是把這兩個總價相加算出一共要付多少元。既然這兩個總價之間都是相互獨立的，所以這兩個乘法就可以同步計算，然后相加就行了。

上述教學，把算式放到情境中，借助數量關系感受運算順序，使得已有的運算經驗和算式承載的意義相互印證，讓學生在交流和分析的過程中主動把兩步混合運算的運算順序遷移到三步混合運算中來，感受“在不含括號的算式里，有乘、除法，又有加、減法時，要先算乘、除法，再算加、減法”這一算理的合理性，以及先同時算出兩個乘積的必要性，完成運算順序的意義建構。

二、入“法”：在推理中構建算法

核心素養視域下學生運算能力的培養不僅是一個“算”的過程，更是一個“想”的過程。推理是數學的基本思維方式，推理的過程既包含邏輯清晰地表述所學知識的本質，也包含條理分明地給出知識之間相互關系的合理解釋。由此，我們可以引導學生在合情推理中構建算法。

師 利用12、2、15、3這四個數，可以得到這樣的一個綜合算式：12-2×15÷3。這個算式中的乘法和除法還能同時計算嗎？

生 不可以。因為，這里的乘法和除法之間是有聯系的，算式中的2×15÷3屬于同一級的兩步計算，得一步一步進行。

師 觀察算式中的運算符號，思考這樣的三步混合運算又應該怎樣算。

生 在沒有括號的算式里，如果有乘、除法，又有加、減法，就要先算乘、除，后算加、減；如果只有加、減法或只有乘、除法，就要從左往右按順序計算。所以，這一算式應先算乘法，再算除法，最后算減法。

師 真棒！那12＋2×15-3這一算式的運算順序是怎樣的呢？

生 先算乘，后算加、減，即先算出2×15的積；再按從左往右的順序計算，即12+30=42，42-3=39。

師 回到例題的三步綜合算式12×2+15×3，剛才我們通過具體的情境，理解了為什么可以先同時計算兩個乘法，再計算加法。現在，你能不能利用已經學過的運算順序的知識，再來解釋一下呢？

生 在沒有括號的算式里，有乘法和加法，按照“先乘除后加減”的運算順序，先算兩個乘法，再算加法。

師 根據乘法的意義，我們可以將算式還原成最初的狀態，寫成怎樣的連加算式？

生 12＋12＋15＋15＋15。

師 看，這兒是2個12和3個15相加，12×2和15×3屬于兩個獨立的沒有關聯的整體，所以這兩個乘法可以同時計算。

學生在三年級下學期學習兩步混合運算時，其實已經初步體會和感受了掌握正確算法在計算中的重要性。在不含括號的兩步混合運算中，有乘法和加、減法，“先算乘法”這個運算規則和方法背后的算理，是乘法的意義為同數連加的簡便運算，所以在含有乘法和加法的算式中，自然應該先算乘法。那在不含括號的三步混合運算中，就需要學生以已有的運算順序和相關算理為依據，通過進一步的推理，在講道理的過程中厘清不同運算的關系，掌握正確的運算方法，去進行更加復雜的混合運算。整個推理活動，有效地豐富了學生的數學思考，使學生在原有兩步混合運算經驗的基礎上形成了新的學習經驗，從簡單到復雜，感悟不含括號的三步混合運算與以前學習內容的一致性——無論用什么方法計算，都遵循“先乘除后加減”的運算順序。

三、相融：在應用中統一“理”“法”

算理和算法的關系，正如哲學中理論與實踐的關系一樣。算理是計算過程中的道理，是指計算過程的思維方式，解決“為什么這樣算”的問題。算法是計算的方法，主要是指簡化了復雜的思維過程，添加了人為規定的程序化的操作步驟，解決“如何算得方便、準確”的問題。算理和算法統一，“理”“法”相融，才能真正理解運算的意義。教師在教學中，可以根據學生的年齡特征、知識經驗、能力水平、認知規律等因素，從單一到綜合，抓住學生思維活動的焦點，設計相應的練習，讓學生在遷移應用已有經驗解決問題的過程中體會運算靈活性，實現“理”“法”相融。

師 我們先來回顧一下之前不同階段所學的關于混合運算的知識。（課件出示回顧）今天我們又進一步學習了三步混合運算，在沒有括號的算式里，有乘、除法和加、減法，需要先算什么？

生 先算乘、除法，再算加、減法。

師 沒錯。今天，我們再一次完善了混合運算的運算規則，也積累了更多的計算經驗。不斷的積累和完善，讓我們能夠擁有更多的知識儲備和相關能力去解決更復雜的實際問題。（出示教材練習題，見圖3）這里有兩道實際問題，請同學們理解題意后，列出綜合算式獨立解決。

（學生獨立完成后交流。）

生 第3題可以從問題出發去思考，要求兵兵家的人均居住面積比樂樂家大多少，就要知道兵兵家的人均居住面積和樂樂家的人均居住面積各是多少，然后相減。我的綜合算式是：72÷3-85÷5。

生 第4題可以從條件出發去思考，根據美術組有18人，書法組的人數是美術組的2倍，就可以算出書法組的人數，然后算出美術組和書法組的總人數；再根據合唱組比另外兩組的總人數多6人，就可以算出合唱組的人數。我的綜合算式是：18×2＋18＋6。

生 我在列第3題的綜合算式時，先寫了72÷3和85÷5，再在兩個除法中寫了“-”。這樣寫的好處是，既表達了對問題解決的理解，又說明了運算順序。

生 我在列第4題的綜合算式時，也用了這樣的方法，就是按照先算什么，再算什么的計算順序來寫出這個綜合算式。

生 我覺得用綜合算式計算比分步列式更簡單、清晰。

當數學知識和實際問題緊密結合時，學生才能充分運用多元思維有效解決實際問題，并且在解決問題的過程中逐漸融入自己的思維方式，遷移應用已有知識和經驗，感受運算順序的規定性和計算方法的靈活性，不斷發展對數學問題的敏感程度和理解程度。

數的運算是一個推算的過程，其中算理是算法的理論依據，算法則是算理的提煉和概括，它們是相輔相成的。《不含括號的三步混合運算》這節課，在兩步變三步的變化過程中，關注直觀、強調推理、促進融合，幫助學生感悟運算的本質。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：18.