談談帶余除法

林堃

帶余除法是數論的重要基礎知識，帶余除法實際上是關于兩個整數相除的研究。由于小學沒有學習負數，所以小學階段只學習正整數的帶余除法。到了中學，數系從自然數延拓到了整數，中學數學教材沒有介紹整數的帶余除法，一些學生和教師對帶余除法的認知存在誤解。 本文對整數的帶余除法進行簡要分析，談談帶余除法的相關知識。

一 、問題的提出

有一位中學教師問我一個這樣的問題：-7÷3有余數嗎？如果有，余數是什么？余數可以是負數嗎？

二 、問題的意義

中學數學教材沒有介紹整數的帶余除法，有些學生和教師認為帶余除法只能是正數，認為負數不能有帶余除法。這位教師提出的這個問題是一個具有代表性的問題，所以很有必要思考解答這個問題。

另外，數論是研究整數的學科，帶余除法是數論的重要基礎知識，帶余除法是整除、同余、連分數等數論知識的基礎。整除是帶余除法余數為0的特殊情況，所以從數學學科發展的角度，也很有必要弄清楚該問題。

三 、問題的分析

帶余除法實際上是關于兩個整數相除的研究。首先0不能做除數，至于為什么0不能作為除數，本文不深究這個問題。如果0是被除數，除數非零，那么商和余數都是0。對于被除數非零的情況，我們分類討論，根據被除數和除數的正負號的可能性，一共有4種可能。例如7÷3，-7÷3，-7÷（-3），7÷（-3）。

對于除數是負數的情況，我們都可以把除數寫成正整數，比如-7÷

（-3）=7÷3，7÷（-3）=-7÷3。所以我們需要研究的實際只有兩種情況——正整數除以正整數和負整數除以正整數。

第一種是正整數除以正整數，也就是小學課本研究的，因為小學生不學負數，所以小學只學第一種。到了初中，本應該系統學習整數的帶余除法，可惜初中數學教材和高中數學教材都沒有選編這個知識點，這也導致不少學生和教師不了解涉及負整數的帶余除法。

我們通過類比的方法分析一下負整數除以正整數的余數和商分別是什么。7÷3=2……1，可以寫成7=3×2+1。也就是當b≠0時，a÷b=q……r等價于a=bq+r，這兩種形式都是帶余除法的表示方法。小學數學教材里面規定了余數r不能大于除數b。我們先延續小學數學教材的規定，看看7÷（-3）商和余數應該等于多少。問題轉化為7=（-3）q+r，如果要保證r是最小的非負整數，那么7=（-3）×（-2）+1，也可以寫成7÷（-3）=（-2）……1，所以商是-2，余數是1。一般化之后，那就是：a÷b=q……r等價于a÷（-b）=（-q）……r，其中a，b，q，r為正整數。因為bq=（-b）（-q），所以這兩個式子的本質都是a=bq+r，從而它們是等價的。

通過上述討論我們可以給出帶余除法的相關知識：如果a=bq+r，我們可以記作a÷b=q……r，其中a，b， q，r為整數，這就是帶余除法。如果我們限定0≤r＜| b |，那么對于給定的兩個非零整數a，b，都存在唯一的q和r，使得a=bq+r。這是《初等數論（I）》的引理4（陳景潤，2012），感興趣的讀者可以閱讀陳景潤先生的這本書。

對于余數r，常用的有兩種。滿足0≤r＜| b |的r叫做最小非負剩余，另外一種叫做絕對最小剩余，也即是余數r的絕對值不超過除數b的絕對值的一半。例如-2÷7=（-1）……5，-2÷7=0……（-2），所以-2除以7的最小非負剩余和絕對最小剩余分別是5和-2。因為小學沒有學負數，所以小學課本規定使用最小非負剩余，但是這并不代表余數不能是負數。

注意，我們說的是一般用的是最小非負剩余和絕對最小剩余，并沒有說只能用這兩種。根據實際情況的需要，余數還有其他類型。比如父親有100萬，父親要分錢給三個孩子，每一個孩子分20萬，父親自己留40萬。這也是可以的，我們不能要求父親要盡可能把錢分完，每一個孩子分33萬，他自己留1萬。實際上，他想怎么分就怎么分，都是可以的。

現實生活問題和純粹數學問題是兩回事。現實生活問題要求我們具體問題具體分析，不要犯教條主義的錯誤。數學問題，得先看定義。為了保證唯一性，一般定義為最小非負剩余，有時定義為絕對最小剩余。我們看書時，先看書里面的定義是怎么表達的。我們寫書時，也要寫清楚定義，尤其是余數r的取值范圍。

四 、問題的解答

-7÷3有余數，-7÷3=-3……2，最小非負剩余是2；-7÷3=-2……（-1），絕對最小剩余是-1。余數可以是負數。

五 、后記

帶余除法看似簡單，其實非常深刻。它是整除、同余、輾轉相除法、貝祖定理、最大公因數、連分數、剩余類、剩余系、剩余類加群、歐幾里得環等內容的基礎。實際上，數論學習就是從最小數原理和帶余除法開始的。需要繼續深入學習的讀者，可以讀一下《數學通報》1985年第10期，我國著名數學教育家嚴士健的《從帶余數除法談起》。

責任編輯 羅 峰