可視化教學在彈塑性力學課程中的實踐

程良彥 潘夏輝 夏飛

摘 要 文章介紹了彈塑性力學中常見 抽象的本構關系以及殘余應力 變形曲線的表達式 采用了課程的3 種可視化軟件 并用軟件實現表達式的可視化 基于此 通過可視化結果來認識彈塑性力學的相關內容 既能增加學生的專業課程興趣 又能擴展學生的科研軟件技能 從而增強學生的學習效果提高教師的教學成就

關鍵詞 可視化 交互教學 彈塑性力學 梁

中圖法分類號G642? ?文獻標識碼A

隨著多媒體和軟件技術的不斷發展，互動、可視化的教學方式越來越受到學生的青睞。劉霞［１］ 介紹了知識可視化、思維可視化、數據可視化的基本概念及在教學中的應用。敖文剛等［２］ 通過計算機輔助教學和可視化界面，在理論力學課堂教學中直觀展示了運動學和動力學的抽象結果，提高了學生對力學知識的感性認識。楊靜寧等［３］ 基于案例庫建設，實現材料力學的互動教學設計與實施。王宏偉等［４］ 利用Ｍａｔｌａｂ 的圖形用戶界面模塊，設計了交互式參數輸入和可視化的輸出平臺，并著重討論了厚壁筒的彈塑性結果。文獻［５～７］探討了可視化在課程教學中的應用問題。因此，若要提高傳統課程的教學效果，則需要結合多媒體手段和交互功能強大的軟件技術，并將學生的思維和行為融入到課堂教學中，使抽象而不易理解的公式和推導變得生動、可視化。

彈塑性力學是工程力學、土木工程專業的重要核心課程，也是相對抽象且難教、難學的課程。本文以工程上常見的梁為例，闡述可視化教學方法在彈塑性力學課程中的應用。對靜定梁的分析較為容易，理論力學介紹過梁的約束求解；材料力學介紹過梁的內力、應力和變形求解，且都處于彈性階段。然而，對于靜定梁和超靜定梁的彈塑性分析，則是彈塑性力學中較為重要的一個內容。梁的彈塑性分析包括梁分別在加載時和卸載時的應力分析、應變分析、曲率分析、撓度分析，以及超靜定梁的彈性極限和塑性極限分析。這些抽象的力學分析，給學生的理解造成一定的困擾［８］ 。

１ 彈塑性解及存在的問題

在梁的彈塑性分析時，需要用到平衡方程、幾何方程，以及彈性和塑性的應力應變關系，聯立求解后得到梁的計算公式如下［９］ 。

彎矩和曲率的函數關系為：

其中，ｗ，Ｐｃ ，Ｅ，ｌ，ｘ 分別為撓度、彈性極限載荷、彈性模量、梁的長度、截面位置。

從結果可知，在梁的彈塑性分析中，涉及的量較多且概念難理解，對這些結果的推導過程較枯燥且難懂，教學內容也較死板。學生若數學基礎不扎實，對彈塑性力學的學習興趣不高，課后的鞏固也不到位，則學習的收獲就會較少，在后期也不能將對所學的知識做到學以致用。

２ 可視化教學實踐

在力學問題的分析中，若要較好地理解力學結果，則通常需要借助一些軟件。常見的可視化軟件包括Ａｎｓｙｓ，Ｍａｔｌａｂ，Ｐｙｔｈｏｎ。可視化軟件及教學展示流程如圖１ 所示。

Ａｎｓｙｓ 可視化的優勢在于能了解構件上各點的應力、應變和變形；Ｐｙｔｈｏｎ 可視化的優勢在于容易實現所討論問題和參數的互動［１０］ ；Ｍａｔｌａｂ 可視化的優勢在于能快速建立各參數之間的函數關系。

下文以彈塑性力學中的重要構件梁為例，結合梁的彈塑性理論分析結果，闡述可視化的方法和過程。梁受力后會產生應力和變形。應力和變形的結果可以通過Ａｎｓｙｓ 軟件的數值模擬，得出結構的應力和變形圖（如圖２、圖３ 所示）。從圖中可以看出，構件受力之后，各個點都是有應力和位移的，各個點的應力和位移的大小不同，且其大小可以通過用顏色的變化來區分。Ａｎｓｙｓ 軟件對結構狀態的模擬較為直觀，容易給學生留下印象。

學生對彈塑性結果有了初步印象后， 再通過Ｐｙｔｈｏｎ 的交互練習，可以加深理解。

圖４ 為Ｐｙｔｈｏｎ 軟件運行后的彈塑性力學經典問題交互界面。該界面主要包括菜單欄、問題選擇欄、問題描述區、計算區、設計區和結果展示區。問題描述區給出所討論問題的結構、約束、受力和相關參數；計算區和設計區是交互式教學的主要實施區域，負責教師或學生與數據庫的交互操作和參數輸入。

在運行交互平臺后，學生可以調節其中的參數（圖５ 中① ～ ⑤，⑩），按下計算和設計按鈕（圖５ 中⑥）得到相應的結果（圖５ 中⑦～⑨，）。通過交互平臺上各個參數的多次調整，學生對參數以及參數影響結果的方式都有了較深的理解，從而也加深、鞏固了對梁類問題解答的理解。交互可視平臺給了學生能更為直觀的數字解答，并在數字變動中找到規律后，再對經典問題的彈塑性解答及其推導過程進行理解。

在Ａｎｓｙｓ 軟件的直觀印象和Ｐｙｔｈｏｎ 軟件的交互實現基礎上，為了更深層次地理解梁在受力變形時的函數關系，進一步采用了Ｍａｔｌａｂ 軟件的簡單編程，對公式（１） ～ （３）實現了更為理想、深刻的關系展示。圖６ 為截面上彎矩和曲率的關系，即公式（１）的函數曲線。通過該曲線，可以知道梁上各個截面變形后的曲率是不同的；同時截面的狀態也是不同的。比如，在懸臂梁彈塑性分析時，梁的左側狀態的彈塑性，梁的右側狀態為彈性，彈塑性狀態時滿足二次曲線關系，彈性狀態時滿足線性關系。

從公式（２）可以看出，彈塑性加載后再卸載是較難理解的。從可視化曲線（圖７）上看，彈塑性加載越大，則（橫向來看）殘余應力越大；同種載荷下，（豎向來看）截面上各點的殘余應力是不相同的。在經過彈塑性加載后，殘余應力會出現反號，反號出現在梁邊緣及附近。利用可視化挖掘，學生將會對殘余應力的認識更加深刻。

梁的彈塑性變形也是梁分析的重要內容。其變形表達式為冪函數和多項式的組合。學生對表達式的圖形不了解（知道是曲線，不知道曲線形狀）。公式圖形可視化后（如圖８ 所示），對彈性極限和塑性極限下的撓度曲線有了清晰地認識，并且了解了彈性曲線和塑性曲線的比例關系與彈塑性條件下彈性和塑性部分的變形大小，以及變形的無量綱描述方式。

通過梁的交互可視過程可以看出，原本枯燥的公式通過圖形的方式展現出來，增加了學生的感性認識，并使學生對問題解答的認識更深刻。同時，也提高了學生對軟件的認識和興趣。

３ 結束語

可視化教學可以將學生從抽象的公式理解中解放出來，并建立起師生溝通的渠道，使得教學過程生動、高效而有趣，進而形象直觀地解釋彈塑性力學問題的力學原理。本文分別利用Ａｎｓｙｓ，Ｐｙｔｈｏｎ，Ｍａｔｌａｂ軟件的交互式和可視化處理功能，闡述了懸臂梁在豎直載荷作用下的彈性解答和塑性解答，對梁的彎矩曲率關系、卸載后的殘余應力、彈性和塑性撓曲線做了分析。梁的交互可視化教學實踐可以推廣到其他結構的彈塑性分析中，也可推廣到其他力學課程和專業課程的教學改革中。

參考文獻：

［１］ 劉霞．數據可視化技術在教學中的應用［Ｊ］．電子技術，２０２１，５０（２）：１５２?１５３．

［２］ 敖文剛，李勤，王歆．基于Ｍａｔｌａｂ 的理論力學計算機輔助教學［Ｊ］．力學與實踐，２０１３，３５（１）：８３?８６．

［３］ 楊靜寧，馬連生，王鵬．基于案例庫建設的材料力學互動教學設計與實施［Ｊ］．力學與實踐，２０２０，４２（２）：２３７?２４１．

［４］ 王宏偉，謝麗麗，周宏偉，等．交互式和可視化的彈塑性力學教學方法探討與實踐［Ｊ］．力學與實踐，２０１８，４０（６）：６８７?６９２．

［５］ 何鯉軍．三維可視化技術在火電廠設備數據管理中的應用［Ｊ］．數字技術與應用，２０２２，４０（１１）：４０?４２．

［６］ 程良彥．交互可視化教學在彈塑性力學中的探討［Ｊ］．教育現代化，２０２１，８（９８）：５?８．

［７］ 燕蕓，任志淼，王建宇．知識可視化方法在《機械設計基礎》教學中的應用［Ｊ］．運城學院學報，２０１９，３７（３）：８５?８８．

［８］ 周宏偉．力學教育的前生今世［Ｊ］．力學與實踐，２０１５，３７（１）：１１３?１１６．

［９］ 程良彥，聶振華．塑性力學［Ｍ］．吉林：吉林大學出版社．２０１９．

［１０］ 李剛．瘋狂Ｐｙｔｈｏｎ 講義［Ｍ］．北京：電子工業出版社，２０１９．

作者簡介：

程良彥（１９７８—），博士，講師，研究方向：彈塑性分析、損傷檢測。