基于Rankine 源函數的船舶興波阻力計算

袁小平

(贛南師范大學科技學院, 江西 贛州 341000)

0 引 言

大風浪天氣，特別是極端惡劣天氣是造成海難事故的重要原因之一。船舶在海上航行時，遭遇大風浪甚至是狂風惡浪是無法避免的。且海上氣候復雜多變，人們無法預測航行時是否會遇上惡劣天氣。這就要求船舶在設計過程中必須使船舶具有一定的抗抵風浪的能力，保證船舶在任何天氣下航行過程中的安全。近年來，船舶興波阻力計算快速發展，逐步形成了一套成熟的理論，可以通過仿真模擬計算出船舶在航行過程中的搖擺頻率[1-3]。

尤其是借助Rankine 源函數，可以將船舶興波阻力計算應用到對船舶的分析之中，為船舶在不同的風浪條件下選擇不同的航向和航行速率，確保船舶在大風浪天氣下安全航行。據此，本文將基于Rankine 源函數，對船舶興波阻力進行求解計算。

1 船舶坐標系和定義運動量的描述

在研究船舶在海洋上航行的問題時，通常將船體看作剛體，并對其運動中的6 個自由度的運動軌跡進行分析。故而這時，就需要一個優良的參照體系。為了能準確表達這個參照體系，常常運用以下3 個直角坐標系研究船舶運動[4–5]。

1.1 空間坐標系o0x0y0z0

空間坐標系是地球上的直角坐標系，不會隨任何事物的改變而改變。o0x0y0是與靜水面重合的平面，o0z0是垂直于水平面鉛直向上的軸。該坐標系可以精準簡潔地描述海浪的入射波頻率。

1.2 運動坐標系GXGYGZ

運動坐標系是固定在船上的直角坐標系，會隨著船舶的搖晃而發生改變。以船舶重心G為原點，GX是平行于基面，位于中線面內，指向船首的方向為正方向。GY和GZ分別與GX軸相互垂直，GY一般以型寬向左為正方向，GZ一般以指向船頂為正方向。一般可以把GX，GY和GZ三個軸視作船舶的慣性軸，船舶的任何運動都可以以這3 個軸做分解。

1.3 平動坐標系oxyz

平動坐標系是一個移動速度與船速V相同，并且與船舶共同運動的直角坐標系，其原點位于海平面上。船舶任何的移動都可以沿ox，oy 和oz 軸分解，也可以用船舶重心在平動坐標系下的水平和旋轉運動描述船舶的運動。

2 船舶興波阻力運動方程的構建

2.1 縱搖、垂蕩耦合運動方程

船舶在海浪中航行時，會受到風浪影響而產生運動。考慮到垂蕩的運動情況由縱向位移、縱向位移速度及縱向位移加速度體現，得出了相對位置的等效波面方程為：

由此得出切片所受的流體靜力函數如下：

而興波阻力為：

沿船長可得垂蕩力及縱搖力矩：

根據f=kma可得船體垂蕩及縱搖方程：

2.2 橫搖運動方程

船體在波浪的影響下，圍繞x軸的往復搖晃運動稱為橫搖，依據經典f=kma理論，得出了船舶平衡條件下的函數方程：

據此可得方程：

將上述方程每一項都除以I′XX，并且用新符號表示：

得出橫搖方程：

3 基于Rankine 源函數的船舶興波阻力計算

3.1 波浪設置

首先，是設置波浪數量和方向。本文選用等分船體和360°方向的波浪進行模擬仿真，每45°設置1 個浪向，共7 個浪向，海況表如表1 所示。不同的頻率對船體會產生不同的影響，如果波浪的頻率與船舶的固有頻率相同，這時的船體響應將會激增，這種現象稱為共振。此時的波浪的頻率成為船舶的共振頻率，設置的平均波高1.863 m，最小頻率0.1691 Hz，最大頻率5.623 Hz，平均波浪周期7.9 s。

表1 海況表Tab. 1 Sea condition table

最后，借助軟件通過自定義頻率的范圍和頻率總數，即可得到計算需要的波浪，需要注意最大頻率不能超出網格的劃分頻率。

假設船舶的興波阻力函數為 ψ (t)，該函數為平方可積函數，同時滿足 ψ (t)∈L2(R) 。

此刻，可以認為 ψ(t)滿足作為Rankine 源函數的條件。然后對上式同步進行伸縮和平移變換，可以得到整個阻力計算模型的基函數為：

式中：a為整個阻力描述系統的伸縮因子；參數b為阻力傳遞的平移因子。

上述的多種變換形式都滿足積分變換定理。

為了達到更高的模型精度，本文采用連續小波變換函數對船舶興波阻力中的線形分量進行更加精確的變換，采用小波變換可以滿足如下性質：

首先是線性不變性，當系統存在一個或者多個分量的參數時，小波變換可以同步處理多個參數，以滿足系統的實時性要求；其次是線性系統的平移不變性。若f(t) 等效為Wf(a,b) ，則f(t-τ)的線性小波變換為：

3.2 不同風浪條件下的耐波性結果分析

在0°，45°，90°，135°和180°的高風浪向下，耐波性分析船舶搖擺幅度如圖1 所示，低風浪向下耐波性分析船舶搖擺幅度如圖2 所示。對整個船舶的興波阻力進行系統性的優化后，由于90°條件與45°條件下較為相似，故未對90°高風浪條件進行分析，無90°高風浪向下的耐波性分析如圖3 所示。

圖1 高風浪向下耐波性分析Fig. 1 Analysis of downward seakeeping in high wind and waves

圖2 低風浪向下耐波性分析Fig. 2 Analysis of downward seakeeping in low wind and waves

圖3 無90°高風浪向下的耐波性分析Fig. 3 Seakeeping analysis without 90° high wind and waves downward

3.3 橫搖結果分析

在0°，45°和135°浪向下，進行油船的橫搖響應幅值對比。

不同浪向下橫搖幅值曲線如圖4 所示。可以發現，遭遇頻率趨于0 時，各個浪向下的橫搖響應幅值趨近于0 °/m 的固定值。當遭遇頻率增大時，各個浪向下的橫搖響應幅值逐漸增加。遭遇頻率增大至25 Hz附近時，各浪向下的橫搖響應速度達到峰值，且峰值大小相差比較大。其中135°浪向下的橫搖響應幅值最大，說明船舶在行駛過程中，135°浪向的波浪對船舶橫搖穩定影響最大。隨著遭遇頻率的增大，各個浪向下的橫搖響應開始降低，并趨近于0°/m。

圖4 不同浪向下橫搖幅值曲線Fig. 4 Different waves swing down the amplitude curve

因為油船的固有頻率與波浪頻率相同時，橫搖響應最大。即該油船的橫搖共振頻率在25 Hz 附近，在實際航行時應避免航行海域波浪頻率包含共振頻率。

各個浪向下的橫搖共振頻率和對應橫搖響應幅值如表2 所示。

表2 各個浪向下的橫搖共振頻率和對應橫搖響應幅值Tab. 2 The downward swing resonance frequency of each wave and the amplitude of the corresponding roll response

3.4 縱搖結果分析

在0°，45°和135°浪向下，對油船的縱搖響應幅值進行對比。不同浪向下縱搖幅值曲線如圖5 所示。

圖5 不同浪向下縱搖幅值曲線Fig. 5 Different waves roll down the amplitude curve

可以發現，當遭遇頻率趨于0 時，油船的船縱搖響應幅值趨于0°/m 的固定值。隨著遭遇頻率的逐漸增大，縱搖響應也逐漸增大，直到達到一個峰值。到達峰值后，隨著遭遇頻率的增大，縱搖響應幅值開始減小。但隨著遭遇頻率增大到一定程度后，縱搖響應幅值又會開始增大，并達到第二個較小的峰值。其中，135°浪向下的縱搖響應幅值最大。與橫搖響應幅值曲線不同的是，在不同浪向下，油船的共振頻率并不相同，其中135°浪向下的共振頻率最大。實際航行時應避免航行海域波浪頻率包含共振頻率。

各個浪向的縱搖共振頻率和對應縱搖響應幅值如表3 所示。

表3 各個浪向下的縱搖共振頻率和對應縱搖響應幅值Tab. 3 The downward oscillation resonance frequency of each wave and the amplitude of the corresponding vertical shake response

4 結 語

本文通過模擬海浪數據，對船舶航行中的波浪進行設置，并基于Rankine 源函數對特定環境下的船舶興波阻力進行計算求解，驗證了該船舶在設置海域的海況下，其航行擁有較好的橫搖、縱搖、垂蕩性能，以及較好的耐波性。由此驗證了該函數對于船舶興波阻力計算的可行性。