基于挑戰(zhàn)性任務(wù)的初中數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)研究

【摘 要】教育的本質(zhì)是促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展。本文在挑戰(zhàn)性任務(wù)的相關(guān)理論支持下，分析與構(gòu)建具有可操作性的初中數(shù)學(xué)拓展課差異化教學(xué)方案，并以“漢諾塔傳說(shuō)”為例，詳細(xì)闡釋方案中的核心要素、邏輯關(guān)系及具體流程，旨在滿足學(xué)生的個(gè)性化需求，促進(jìn)學(xué)生全身心參與數(shù)學(xué)研究，構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而發(fā)展核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)性任務(wù)；數(shù)學(xué)拓展課；差異化教學(xué)；漢諾塔

為了積極回應(yīng)當(dāng)今時(shí)代日益增長(zhǎng)的不確定性對(duì)多樣化人才的迫切需求，拓展性課程逐漸成為中小學(xué)課程的重要組成部分。［1-2］隨著拓展性課程相關(guān)研究的不斷深入，包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的學(xué)科類(lèi)拓展性課程成為研究者關(guān)注的焦點(diǎn)。學(xué)科類(lèi)拓展性課程屬于知識(shí)拓展類(lèi)課程，旨在拓展學(xué)生的知識(shí)面，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。［3］但已有的課程實(shí)踐研究表明，知識(shí)類(lèi)拓展性課程易異化為基礎(chǔ)性課程內(nèi)容的練習(xí)鞏固與延伸。［1-2］拓展性課程著力于實(shí)施因材施教和個(gè)性化教育，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)［3］，因而知識(shí)拓展類(lèi)課程的建設(shè)更要以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，滿足學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)需求。初中數(shù)學(xué)拓展課是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體，也是落實(shí)生本理念的重要窗口。在初中數(shù)學(xué)拓展課的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施過(guò)程中，如何保證所有學(xué)生的全身心參與，讓學(xué)生獲得良好的數(shù)學(xué)體驗(yàn)？如何構(gòu)建每位學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)？本文以課例為載體，設(shè)計(jì)并說(shuō)明挑戰(zhàn)性任務(wù)指導(dǎo)下的初中數(shù)學(xué)拓展課差異化教學(xué)方案，以期為初中數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施提供線索。

一、基于挑戰(zhàn)性任務(wù)的初中數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)方案

拓展性課程具有差異性、綜合性等特征［4］，一方面體現(xiàn)在學(xué)生根據(jù)自身興趣自主選擇課程，促進(jìn)個(gè)性發(fā)展；另一方面體現(xiàn)在教師尊重個(gè)人選擇，開(kāi)發(fā)具有層次性的課程內(nèi)容以滿足學(xué)生的不同需求，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)本質(zhì)上是學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，通過(guò)獨(dú)立思考、互動(dòng)交流逐漸形成的思維品質(zhì)。［5］因此，在初中數(shù)學(xué)拓展課的設(shè)計(jì)與實(shí)施過(guò)程中，一方面要構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行持續(xù)、深入的探究；另一方面，要給予學(xué)生更大的學(xué)習(xí)自主權(quán)和學(xué)習(xí)空間，允許個(gè)性化、差異化的學(xué)習(xí)進(jìn)度的生成。已有研究表明，數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)性任務(wù)為構(gòu)建學(xué)生數(shù)學(xué)思考和處理學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)差異提供了一定思路。數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)性任務(wù)是一種具有高水平認(rèn)知需求的數(shù)學(xué)任務(wù)，至少滿足以下5個(gè)特征：（1）解決方案的多重可能性；（2）包含多個(gè)數(shù)學(xué)步驟；（3）開(kāi)發(fā)提示性任務(wù)和拓展性任務(wù)；（4）既吸引人，又被大多數(shù)學(xué)生視為具有挑戰(zhàn)性；（5）需花費(fèi)較多時(shí)間完成任務(wù)。［6］基于此，根據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)特征的認(rèn)識(shí)［4］，以基于挑戰(zhàn)性任務(wù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)研究為基礎(chǔ)［6］，融合劉美鳳等關(guān)于差異化教學(xué)的研究成果［7］，本文構(gòu)建了基于挑戰(zhàn)性任務(wù)的初中數(shù)學(xué)拓展課差異化教學(xué)方案，如圖1所示。

基于挑戰(zhàn)性任務(wù)的初中數(shù)學(xué)拓展課差異化教學(xué)方案共十一個(gè)基本環(huán)節(jié)，涵蓋教學(xué)的設(shè)計(jì)、實(shí)施和評(píng)價(jià)三個(gè)方面。

在設(shè)計(jì)階段，“主題選取與創(chuàng)設(shè)”和“學(xué)生差異性分析”是設(shè)計(jì)的起點(diǎn)。“主題選取與創(chuàng)設(shè)”是影響學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與學(xué)習(xí)投入的重要因素，主要基于初中生學(xué)情及義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，選取某個(gè)知識(shí)點(diǎn)并創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)闹黝}，由此衍生出對(duì)學(xué)生而言具有一定挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)。“學(xué)生差異性分析”為差異化的目標(biāo)確定、內(nèi)容安排提供依據(jù)。學(xué)生個(gè)體具有復(fù)雜性，學(xué)生之間的差異也是多元的，所以影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要差異在于認(rèn)知水平、學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)能力三個(gè)方面：認(rèn)知水平是指學(xué)生已掌握的知識(shí)技能；學(xué)習(xí)興趣包含學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本身及學(xué)習(xí)情境兩個(gè)方面的興趣，后者包括學(xué)習(xí)的主題以及學(xué)習(xí)任務(wù)的組織和呈現(xiàn)方式等；學(xué)習(xí)能力是指學(xué)生完成學(xué)習(xí)活動(dòng)的能力，包括認(rèn)知技能、學(xué)習(xí)策略以及對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的管理與監(jiān)控能力等。“內(nèi)容針對(duì)性設(shè)計(jì)”主要包含挑戰(zhàn)性任務(wù)的開(kāi)發(fā)和提示性任務(wù)的設(shè)計(jì)：挑戰(zhàn)性任務(wù)的難度具有層次性，主要利用提示性任務(wù)提高挑戰(zhàn)水平與學(xué)生認(rèn)知水平的匹配程度；提示性任務(wù)多樣化的抽象程度與呈現(xiàn)方式有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，差異化的組織、指導(dǎo)、調(diào)控策略也為不同層次的學(xué)生提供學(xué)習(xí)支持。“目標(biāo)層次化制訂”以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，對(duì)課程目標(biāo)的精細(xì)化與學(xué)生的差異性進(jìn)行分析，主要包括數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維和數(shù)學(xué)的語(yǔ)言三個(gè)方面。在這里，內(nèi)容設(shè)計(jì)是目標(biāo)制訂的基礎(chǔ)，同時(shí)目標(biāo)也反過(guò)來(lái)檢驗(yàn)內(nèi)容的合理性，兩者都旨在促使不同層次的學(xué)生得到充分且恰當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)。

在實(shí)施階段，“分層學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”一般發(fā)生在課前，一方面為學(xué)生提供不同層次與形式的預(yù)習(xí)內(nèi)容，另一方面開(kāi)發(fā)個(gè)性化的學(xué)習(xí)任務(wù)以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為課中的各個(gè)環(huán)節(jié)奠定基礎(chǔ)。在課中，“挑戰(zhàn)性任務(wù)導(dǎo)入”的重點(diǎn)是激起學(xué)生的求知欲與探索激情，尤其關(guān)注較低層次學(xué)生的準(zhǔn)備狀態(tài)與興趣水平，適時(shí)提供提示性任務(wù)，引導(dǎo)每位學(xué)生都順利進(jìn)入學(xué)習(xí)活動(dòng)。“多層次問(wèn)題解決”與“多樣化觀點(diǎn)呈現(xiàn)”都在有設(shè)計(jì)的差異化關(guān)注中進(jìn)行，促進(jìn)學(xué)生開(kāi)展主動(dòng)、自主、有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。“多層次問(wèn)題解決”一方面提供多層次的提示性任務(wù)及情境，以幫助學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)探索；另一方面對(duì)學(xué)生生成的多樣化學(xué)習(xí)問(wèn)題與需求進(jìn)行針對(duì)性指導(dǎo)，為學(xué)生提供獨(dú)立思考的空間與合作交流的機(jī)會(huì)，以建立同伴互助關(guān)系。“多樣化觀點(diǎn)呈現(xiàn)”以小組為單位，為學(xué)生提供對(duì)話的機(jī)會(huì)，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行自我反思。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維通過(guò)這一過(guò)程得以重新梳理并利用語(yǔ)言加以外化，既為思維能力固化提供載體，又豐富活動(dòng)的探究成果。“差異化評(píng)價(jià)總結(jié)”是指基于不一樣的標(biāo)準(zhǔn)鼓勵(lì)所有層次學(xué)生的學(xué)習(xí)成長(zhǎng)，不僅對(duì)學(xué)習(xí)成果進(jìn)行評(píng)價(jià)，還要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題框架以及問(wèn)題研究方法的關(guān)注。課后的“分層鞏固提升”是針對(duì)層次化的目標(biāo)設(shè)計(jì)滿足學(xué)生多樣化需求的分層作業(yè)、彈性作業(yè)或個(gè)性化的開(kāi)放性作業(yè)。

在評(píng)價(jià)階段，“多維度評(píng)價(jià)”兼顧過(guò)程與結(jié)果，既保障設(shè)計(jì)的合理性，又對(duì)實(shí)施效果進(jìn)行反思：前者貫穿活動(dòng)設(shè)計(jì)、實(shí)施的全過(guò)程，后者關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)、師生關(guān)系、課堂文化等多個(gè)方面。

二、基于挑戰(zhàn)性任務(wù)的初中數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

為了更好地闡釋上述教學(xué)方案的具體流程，以下以“漢諾塔傳說(shuō)”為例展示拓展課教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐。

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)

1.主題選取與創(chuàng)設(shè)

在過(guò)去的幾十年里，漢諾塔是眾多研究領(lǐng)域的研究對(duì)象，特別在數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和神經(jīng)心理學(xué)等方面得到相當(dāng)深入的研究。漢諾塔源于印度的古老傳說(shuō)，其中涉及數(shù)字變化規(guī)律等內(nèi)容，蘊(yùn)含化歸、辯證等思想以及抽象、特殊化、邏輯推理、遞推循環(huán)等方法，可作為九年級(jí)數(shù)學(xué)拓展課的主題。

漢諾塔傳說(shuō)源于印度：印度教主神梵天在創(chuàng)造世界時(shí)做了三根金剛石柱子，在其中一根柱子上從下往上按照大小順序摞著64個(gè)黃金圓盤(pán)，移動(dòng)的規(guī)則是一次只移動(dòng)一個(gè)圓盤(pán)，不管在哪根柱子上，小圓盤(pán)必須在大圓盤(pán)上面。這個(gè)傳說(shuō)預(yù)言，當(dāng)所有圓盤(pán)都從梵天穿好的柱子上移到另外一根柱子上時(shí)，世界就將在一聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸于盡。

2.學(xué)生差異性分析

筆者通過(guò)測(cè)試分析、課堂觀察、訪談等方法，發(fā)現(xiàn)學(xué)生之間的主要差異如表1所示。

基于上述分析，筆者將學(xué)生分成五組三個(gè)層次：兩組基礎(chǔ)層，兩組一般層，一組拓展層。基礎(chǔ)層的學(xué)生整體上對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的掌握不夠牢固，且接受能力不強(qiáng)，大部分時(shí)間屬于被動(dòng)學(xué)習(xí)，參與課堂討論的積極性不高，甚至對(duì)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提不起很大的興趣。一般層的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量一般，對(duì)于較為基礎(chǔ)的數(shù)字變化規(guī)律的掌握尚可，有一定的上進(jìn)心，但創(chuàng)新意識(shí)不足，無(wú)法獨(dú)立解決較為開(kāi)放、靈活的數(shù)學(xué)問(wèn)題。拓展層的學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，具有較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣濃厚，求知欲望強(qiáng)烈，對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題擁有獨(dú)到的見(jiàn)解。

3.內(nèi)容針對(duì)性設(shè)計(jì)

（1）任務(wù)層次：①?gòu)膫髡f(shuō)中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題。為基礎(chǔ)層和一般層的學(xué)生開(kāi)發(fā)提示性任務(wù)，提示性任務(wù)1為學(xué)生描述更明確的數(shù)學(xué)任務(wù)，提示性任務(wù)2引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)化情境，辨別相關(guān)與無(wú)關(guān)信息，確認(rèn)關(guān)鍵量。為拓展層的學(xué)生開(kāi)發(fā)拓展性任務(wù)（拓展性任務(wù)a），引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題并用多種形式進(jìn)行數(shù)學(xué)表征。②根據(jù)移動(dòng)法則探索數(shù)字規(guī)律：為基礎(chǔ)層和一般層的學(xué)生開(kāi)發(fā)提示性任務(wù)（提示性任務(wù)3和4），引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)減少圓盤(pán)個(gè)數(shù)來(lái)簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，探究數(shù)學(xué)規(guī)律。為拓展層的學(xué)生開(kāi)發(fā)拓展性任務(wù)（拓展性任務(wù)b），引導(dǎo)學(xué)生思考任意個(gè)數(shù)圓盤(pán)移動(dòng)所需的時(shí)間，引發(fā)深度思考。③分享探究過(guò)程與思路并形成結(jié)論（不區(qū)分難度）。

（2）任務(wù)情境：設(shè)計(jì)相關(guān)視頻、圖片，提供漢諾塔玩具等吸引興趣低的學(xué)生。

（3）學(xué)習(xí)支持：靈活分組，建立同伴互助關(guān)系，創(chuàng)設(shè)自由的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍；教師進(jìn)行針對(duì)性學(xué)習(xí)指導(dǎo)。

4.目標(biāo)層次化制訂

（1）數(shù)學(xué)的眼光

基礎(chǔ)層的學(xué)生能基于更明確的數(shù)學(xué)任務(wù)提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵量。一般層的學(xué)生能簡(jiǎn)單經(jīng)歷情境數(shù)學(xué)化，辨別相關(guān)與無(wú)關(guān)信息，確認(rèn)關(guān)鍵量，從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題。拓展層的學(xué)生能經(jīng)歷完整的情境數(shù)學(xué)化過(guò)程，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，并用多樣化形式進(jìn)行數(shù)學(xué)表征。

（2）數(shù)學(xué)的思維

基礎(chǔ)層的學(xué)生能通過(guò)對(duì)漢諾塔的實(shí)踐操作，采用圖表等方法進(jìn)行規(guī)律探索，并通過(guò)分工合作、計(jì)算反思等過(guò)程提升思維能力。一般層的學(xué)生能通過(guò)簡(jiǎn)化問(wèn)題用數(shù)學(xué)的思維方法有邏輯地分析問(wèn)題，通過(guò)獨(dú)立思考與合作交流解決問(wèn)題，發(fā)展思維能力。拓展層的學(xué)生能利用化歸等數(shù)學(xué)方法有邏輯地綜合分析問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，發(fā)展高階思維能力。

（3）數(shù)學(xué)的語(yǔ)言

學(xué)生都能基于不同的研究過(guò)程與方法分享成果與觀點(diǎn)，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)情感。

（二）教學(xué)實(shí)施

1.分層學(xué)習(xí)準(zhǔn)備

在課前，為學(xué)生設(shè)計(jì)不同難度的數(shù)式規(guī)律型練習(xí)以復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)知識(shí)，并為拓展層的學(xué)生準(zhǔn)備等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，及其推導(dǎo)方法與過(guò)程等拓展性知識(shí)。

2.挑戰(zhàn)性任務(wù)導(dǎo)入

課上，首先通過(guò)視頻呈現(xiàn)數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)性任務(wù)，適時(shí)為不同層次學(xué)生提供提示性任務(wù)。

【挑戰(zhàn)性任務(wù)】大家覺(jué)得漢諾塔傳說(shuō)中的預(yù)言可能成真嗎？這里蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

【提示性任務(wù)1】不考慮其他原因，預(yù)言中的世界毀滅與圓盤(pán)移動(dòng)所需時(shí)間有關(guān)，那么計(jì)算圓盤(pán)完成移動(dòng)所需的時(shí)間能夠幫我們判斷預(yù)言成真的可能性。時(shí)間會(huì)受到哪些因素的影響？

【提示性任務(wù)2】不考慮其他原因，為了判斷預(yù)言成真的可能性，我們要重點(diǎn)關(guān)注什么？它與哪些因素相關(guān)？

【拓展性任務(wù)a】你能用符號(hào)、公式、圖表等多種形式抽象出傳說(shuō)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

小組合作與師生交流同時(shí)進(jìn)行，旨在從傳說(shuō)中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生通過(guò)討論發(fā)現(xiàn)，傳說(shuō)中的世界毀滅與圓盤(pán)移動(dòng)所需時(shí)間相關(guān)，圓盤(pán)的移動(dòng)可以是混亂的，也可以是有序的，而有序的操作可以減少移動(dòng)步數(shù)。結(jié)合多位學(xué)生的回答及修改意見(jiàn)，最終師生共同歸納出傳說(shuō)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“64個(gè)圓盤(pán)按照規(guī)則完成移動(dòng)至少需要多少步”。

3.多層次問(wèn)題解決

學(xué)生以小組為單位進(jìn)行思考、討論，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何根據(jù)移動(dòng)法則提煉數(shù)學(xué)規(guī)律。在這里，基礎(chǔ)層的學(xué)生容易出現(xiàn)“難以下手”的情況，教師要引導(dǎo)其從最簡(jiǎn)單的情況（圓盤(pán)個(gè)數(shù)為1）著手，通過(guò)分工（操作、檢驗(yàn)、記錄等）合作來(lái)完成任務(wù)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律。對(duì)于一般層和拓展層的學(xué)生，教師要強(qiáng)調(diào)規(guī)律發(fā)現(xiàn)后的推理與反思，為觀點(diǎn)呈現(xiàn)做鋪墊。一般層的學(xué)生通過(guò)復(fù)盤(pán)、聚焦相鄰圓盤(pán)的關(guān)系，重新梳理思考過(guò)程，并以表格為載體明晰各環(huán)節(jié)間的關(guān)聯(lián)；拓展層的學(xué)生基于拓展知識(shí)，利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)推理得到精確的數(shù)學(xué)結(jié)論。

【提示性任務(wù)3】為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們可以減少圓盤(pán)的個(gè)數(shù)，從簡(jiǎn)單的情況著手進(jìn)行數(shù)學(xué)探索。你能利用漢諾塔玩具進(jìn)行實(shí)踐操作活動(dòng)，順利完成游戲任務(wù)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律嗎？

游戲提示：在一次只能移動(dòng)1個(gè)圓盤(pán)，大圓盤(pán)不能放在小圓盤(pán)上的操作規(guī)則下，借助過(guò)渡柱，把起始柱上的圓盤(pán)依次移到目標(biāo)柱上。

【提示性任務(wù)4】64個(gè)圓盤(pán)太多了，你會(huì)如何處理？試著通過(guò)操作、觀察等方式來(lái)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

【拓展性任務(wù)b】你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？它對(duì)于任意個(gè)數(shù)的圓盤(pán)都成立嗎？如何證明？

4.多樣化觀點(diǎn)呈現(xiàn)

各組發(fā)揮小組特色，分享問(wèn)題解決的過(guò)程。學(xué)生不同的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)使得探索規(guī)律的思路各異，教師應(yīng)密切關(guān)注學(xué)生處理問(wèn)題時(shí)的數(shù)學(xué)思維，及時(shí)做好總結(jié)，從而更好地呈現(xiàn)學(xué)生的觀點(diǎn)。

【觀點(diǎn)一】從1個(gè)圓盤(pán)入手，通過(guò)假設(shè)、推理、判斷、歸納等思維過(guò)程發(fā)現(xiàn)規(guī)律。移動(dòng)1個(gè)圓盤(pán)只需1步，即將其移到目標(biāo)柱上。當(dāng)有2個(gè)圓盤(pán)時(shí)，第1個(gè)圓盤(pán)要先移到過(guò)渡柱上為第2個(gè)圓盤(pán)“讓路”，第2個(gè)圓盤(pán)順利到達(dá)目標(biāo)柱后，再把第1個(gè)圓盤(pán)從過(guò)渡柱移到目標(biāo)柱，共計(jì)3步。同理，當(dāng)有3個(gè)圓盤(pán)時(shí)，第1、第2個(gè)圓盤(pán)都得“讓路”。圓盤(pán)個(gè)數(shù)與完成移動(dòng)所需步數(shù)的關(guān)系如表2所示。通過(guò)“1，3，7，15，31，…”的數(shù)列尋找規(guī)律，并與圓盤(pán)個(gè)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，得到“完成64個(gè)圓盤(pán)的移動(dòng)至少需要（264-1）步”的結(jié)論。

【觀點(diǎn)二】利用倒推法及整體的思想解決問(wèn)題。先移動(dòng)最大的圓盤(pán)到一根柱子上，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為移動(dòng)剩下圓盤(pán)需要的步數(shù)，得到遞推關(guān)系式，進(jìn)而利用數(shù)列相關(guān)知識(shí)求解通項(xiàng)公式。其中，利用化歸思想理解圓盤(pán)個(gè)數(shù)與完成移動(dòng)所需步數(shù)的關(guān)系。比如，思考n個(gè)圓盤(pán)完成移動(dòng)所需步數(shù)時(shí)，考慮到最后一個(gè)圓盤(pán)需要移到目標(biāo)柱（1步），那么前（n-1）個(gè)圓盤(pán)必定已移動(dòng)到過(guò)渡柱上，最后把這（n-1）個(gè)圓盤(pán)從過(guò)渡柱移動(dòng)到目標(biāo)柱即可。這里蘊(yùn)含著整體的思想，即把前（n-1）個(gè)圓盤(pán)看作一個(gè)整體。如果記（n-1）個(gè)圓盤(pán)完成移動(dòng)所需步數(shù)為a_n-1，n個(gè)圓盤(pán)完成移動(dòng)所需步數(shù)為a_n，那么a_n=1+2a_n-1，基于數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解得a_n=2ⁿ-1。因此，當(dāng)n=64時(shí)，得到“完成64個(gè)圓盤(pán)的移動(dòng)至少需要（2⁶⁴-1）步”的結(jié)論。

基于歸納得到的規(guī)律，學(xué)生能從數(shù)學(xué)的角度剖析預(yù)言成真的可能性。假設(shè)移動(dòng)1個(gè)圓盤(pán)需要1秒，那么移動(dòng)64個(gè)圓盤(pán)至少需要（264-1）秒，即大約需要5849億年。教師適時(shí)總結(jié)，地球存在至今不過(guò)約45億年，太陽(yáng)系的預(yù)期壽命也不過(guò)100億年，如果真的過(guò)了5849億年，地球上的一切生命都早已灰飛煙滅了。

5.差異化評(píng)價(jià)總結(jié)

師生以問(wèn)答的形式對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行回顧、總結(jié)，重點(diǎn)關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決的過(guò)程。教師鼓勵(lì)所有學(xué)生的進(jìn)步：對(duì)于基礎(chǔ)層的學(xué)生，教師從基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用情況、學(xué)習(xí)態(tài)度等方面進(jìn)行評(píng)價(jià)，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣；對(duì)于一般層的學(xué)生，教師從知識(shí)的綜合運(yùn)用能力、思維結(jié)構(gòu)層次等方面進(jìn)行評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化學(xué)習(xí)方法和過(guò)程；對(duì)于拓展層的學(xué)生，教師從數(shù)學(xué)思想與方法等方面進(jìn)行評(píng)價(jià)，肯定學(xué)生在探究過(guò)程中的成果，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)生動(dòng)力。

6.分層鞏固提升

教師布置課后彈性作業(yè)和開(kāi)放性作業(yè)，學(xué)生自主選擇并完成作業(yè)。

【彈性探究作業(yè)】（1）在保持其他規(guī)則不變的情況下，要求每次只能把圓盤(pán)移動(dòng)到相鄰的柱子上，繼續(xù)探究漢諾塔問(wèn)題。（2）在保持其他規(guī)則不變的情況下，增加一根柱子，繼續(xù)探究漢諾塔問(wèn)題。（3）九連環(huán)是一種智力玩具，它由九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開(kāi)為勝，請(qǐng)?zhí)骄拷忾_(kāi)九連環(huán)所需的最少步數(shù)。

【彈性拓展作業(yè)】（1）觀看微視頻《用二進(jìn)制來(lái)解漢諾塔問(wèn)題》，加深對(duì)遞歸算法的理解。（2）了解、構(gòu)造并欣賞漢諾塔圖。（教師提供視頻及網(wǎng)絡(luò)資源）

【開(kāi)放性作業(yè)】撰寫(xiě)數(shù)學(xué)美文，可以參考以下主題：數(shù)學(xué)游戲的樂(lè)趣與情趣，有用的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的美觀、美好、美妙與完美，等等。

（三）教學(xué)評(píng)價(jià)

本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程的各個(gè)環(huán)節(jié)都進(jìn)行了差異設(shè)計(jì)合理性的反思，比如主題能否吸引學(xué)生主動(dòng)進(jìn)入學(xué)習(xí)活動(dòng)，任務(wù)的設(shè)計(jì)能否滿足不同層次學(xué)生的需求，目標(biāo)是否符合學(xué)生學(xué)情，不同層次的學(xué)生能否在學(xué)習(xí)活動(dòng)中得到充分且恰當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)并達(dá)到目標(biāo)。

對(duì)教學(xué)實(shí)踐的評(píng)價(jià)包括實(shí)施過(guò)程與實(shí)施效果兩個(gè)方面，主要綜合分析了課堂觀察、課后訪談以及學(xué)生的數(shù)學(xué)作文，旨在關(guān)注不同層次的學(xué)生在各個(gè)方面的表現(xiàn)。本節(jié)課采用分組的形式，開(kāi)展了組內(nèi)互助活動(dòng)，學(xué)習(xí)氛圍自由融洽；學(xué)生具有較高的學(xué)習(xí)興趣和活動(dòng)參與度，大部分學(xué)生表示自己參與了合作學(xué)習(xí)，得到了教師的針對(duì)性指導(dǎo)，還大膽表達(dá)了自己的觀點(diǎn)，最終順利完成任務(wù)；教師將主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，并通過(guò)針對(duì)性反饋指導(dǎo)不同層次的學(xué)生解決問(wèn)題。此外，差異化的任務(wù)（提示性任務(wù)與拓展性任務(wù)）對(duì)于推進(jìn)學(xué)習(xí)活動(dòng)起到關(guān)鍵性作用，盡管少數(shù)學(xué)生指出活動(dòng)前期存在一定的困惑，但提示性任務(wù)與游戲玩具在很大程度上幫助他們及時(shí)進(jìn)入活動(dòng)并成功完成任務(wù)。

三、結(jié)語(yǔ)

促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展是現(xiàn)代教育的目標(biāo)，而教學(xué)過(guò)程中如何處理好面向全體學(xué)生與關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異的關(guān)系也一直是課程改革關(guān)注的重要問(wèn)題之一。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)風(fēng)格等存在差異，因此必然具有不同的發(fā)展需求，如何認(rèn)識(shí)并發(fā)揮每個(gè)學(xué)生的潛力是數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注的問(wèn)題。本文在挑戰(zhàn)性任務(wù)的相關(guān)理論支持下，構(gòu)建了具有可操作性的初中數(shù)學(xué)拓展課差異化教學(xué)方案。在教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的過(guò)程中，一方面促進(jìn)每個(gè)學(xué)生的全身心參與，讓學(xué)生獲得良好的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，另一方面力圖構(gòu)建每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。相信只要數(shù)學(xué)思考不停，學(xué)生就可以掌握適合自己的思維方法，獲得對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”，乃至“樂(lè)學(xué)”。

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（責(zé)任編輯：潘安）