基于響應面法的矢量水聽器殼體優化設計

付 昌，葛 松，陳偉皓，徐雨悅

(上海船舶電子設備研究所，上海 201108)

0 引 言

矢量水聽器兼備聲壓通道和標量通道，能夠空間共點地同步測量聲場中的聲壓標量信號和振速矢量信號，具有低頻性能好、靈敏度高、體積小、功耗低等特點[1]，在海洋環境監測和水下目標探測等領域有著廣泛的應用，其耐水壓性能一直是限制其在大深度水下應用的制約因素[2]。

根據矢量水聽器設計的基本原理，為獲得更寬的工作頻帶和較高的靈敏度，還要求水聽器具有小尺寸和低密度的特點[3]，受制于材料和工藝水平，高耐壓、小尺寸、低密度的設計要求無法同時滿足，需要綜合考慮各個因素的影響。本文設計一款耐20 MPa 水壓的矢量水聽器，基于靜力分析與響應面優化方法，對水聽器耐壓殼體進行尺寸優化，在滿足耐高靜水壓的條件下，實現了水聽器的低密度設計。

1 水聽器設計與殼體耐壓仿真

1.1 矢量水聽器設計原理

復合式矢量水聽器包括聲壓通道和矢量通道，根據矢量通道的同振特性可知，水聽器外形尺寸越小，其上限工作頻率越大。水聽器的平均密度越接近于水，其振速幅值與水聽器振速幅值之比的絕對值越大，水聽器的振速靈敏度越大[4]。在實際應用中，由于材料、結構和工藝的限制，水聽器的密度很難小于水，常常追求將水聽器的平均密度設計成趨近于水的密度。

因此，復合式矢量水聽器在完成設計選型后，其主要難點在于結構尺寸小、耐水壓強度高以及低密度等設計要求難以兼顧的問題，高耐水壓強度和低密度是一對相互矛盾的設計要素。

1.2 矢量水聽器設計選型

根據薄壁殼體強度理論，在直徑、壓力相同的情況下，球形殼體的內部應力僅為圓筒形的一半，是一種更加合理的耐壓結構[5]。因此，將水聽器設計成球形殼體結構可以減輕重量，而且球形結構的水聽器在聲學性能上也具備較好的三軸一致性[6]。

根據指標要求設計的矢量水聽器結構形式如圖1 所示。聲壓通道和矢量通道分離，耐壓殼體分為上、下2 個半球形殼體，將加速度計卡緊懸空固定于中心位置，聲壓通道采用P5 材質的徑向極化壓電陶瓷管，采用空氣被襯結構，殼體外層用聚氨酯包覆水密。最大工作水壓為20 MPa，要求水聽器密度與水接近。

圖1 矢量水聽器內部結構圖Fig. 1 Internal structure diagram of vector hydrophone

半球形殼體的尺寸剖視圖如圖2 所示。R8為球形殼體半徑，V1為殼體壁厚，H2為陶瓷外半徑，H3為殼體缺口處半徑，H4為缺口處壁厚，H5為內圓面與殼體過渡段間距，V6為缺口處高度，V7為缺口上部厚度。根據以上選型及設計，其初始設計值分別41 mm，3 mm，39 mm，34 mm，5 mm，4 mm，4 mm，5 mm。根據選型及計算，水聽器各組成部分的質量如表1 所示。水聽器總重約415 g，排水量為332 g，平均密度為1.25 g/cm3，相比水的密度有較大差距。

表1 矢量水聽器質量構成Tab. 1 Mass composition of vector hydrophone

圖2 殼體結構尺寸示意圖Fig. 2 Internal structure diagram of vector hydrophone

1.3 殼體耐壓仿真

殼體在靜水壓力作用下可能發生強度失效和穩定性失效，需要通過有限元分析對其進行靜強度仿真和屈曲仿真[7]。為簡化模型，減少設計參數，忽略上殼體頂部的電纜引出小孔，上、下殼體采用相同的三維模型，在模型中省去對殼體耐壓強度沒有影響的掛點等特征。

在靜力分析模塊中建模，殼體材料采用鋁合金7 075，其0.2%屈服強度約為460 MPa，在殼體底部平面施加固定約束，球形外表面及外圓面施加20 MPa 靜壓力，求解后得到的應力云圖如圖3 所示。可以看出，殼體內部最大應力為218 MPa，主要應力在殼體的內球面過渡處，這是因為過渡處的尺寸發生突變引起了應力集中。

圖3 殼體受壓應力云圖Fig. 3 Pressure stress nephogram of shell

在上述分析結果基礎上進行線性屈曲分析，得到一階屈曲模態的變形云圖如圖4 所示。第一階屈曲載荷因子為519，由于一階屈曲因子最小，故其臨界失穩壓力為519 MPa，遠大于水聽器設計的工作壓力。因此，當工作水深不斷增大時，其可能發生的失效形式是強度失效而不是穩定性失效。

圖4 殼體線形屈曲變形云圖Fig. 4 Deformation nephogram of shell linear buckling

2 水聽器殼體優化設計

設計方案不滿足設計要求時，可以在當前基礎上進行優化，使其在滿足所有設計要求的條件下，求得某一項或幾項參數的最大值或最小值。

2.1 優化設計基本原理和方法

優化設計的原理是通過建立數學模型，運用優化方法，在滿足設計要求的情況下進行迭代計算，從而求出目標函數在約束條件下的極值，得到最終的優化結果[8]。優化設計的三要素包括目標函數、約束條件和設計變量，優化設計的數學模型為：

目標函數以設計變量表達各目標的性能，約束條件是限制設計變量取值范圍和描述其對應關系的函數式[9]，目標函數和約束條件從有限元分析中獲得結構響應，設計變量從模型中提取，根據選定的優化方法，將需要優化的尺寸定義為設計變量。

響應面法(response surface method)是一種常用的優化設計方法，其原理是通過建立一系列在范圍內的設計變量組合，建立與原設計相近的模型，進行重復試驗和篩選，得到目標函數和約束條件的響應面模型，預測非試驗點的響應值，再根據約束條件和收斂條件，求出滿足要求的設計結果[10]。響應面法只需要確定輸入條件和輸出目標，即可對模型進行自動分析求解，而無需研究輸入與輸出之間的內在聯系，其優點是模型精度高，能同時顯示預測位置的誤差和預測值[11]，并通過不斷迭代在相互矛盾的多個設計變量中求解出一組最優解。

通常情況下，響應面模型選用比較精準的二階模型，多個設計變量的二次多項式模型可以表示為：

式中：D(x)為擬合函數；x為設計變量；ε為隨機誤差；x=(x1,x2,～,xn)；α0,αi,αii,αi j為待定系數，數量為(n+1)(n+2)/2，未知參數根據最小二乘法確定，試驗點個數必須大于待定系數的數量。

2.2 優化設計建模分析

2.2.1 優化設計三要素確定

從圖1 可以看出，殼體為上下對稱的回轉結構，水聽器直徑及壓電陶瓷管尺寸選定后，圖2 中的R8、H2、H3、V6等4 個尺寸即為常量，將V1、H4、H5、V7四個尺寸定義為設計變量，允許其在設計尺寸附近一定范圍內變化，將殼體的質量設為優化目標，約束條件為殼體的最大內部應力應小于許用強度。因此，設計含有一個優化目標（質量）、4 個設計變量（V1、H4、H5、V7）和一個約束條件（最大應力）。

由1.3 的仿真結果可知，水聽器殼體可能發生的失效是強度失效，因此，在靜力學分析模塊后添加響應面模塊和優化模塊[12]。進入響應面模塊后，對響應面進行更新，系統自動得到25 組不同的設計變量組合的取點及求解結果，根據響應面分析結果，系統自動生成各設計變量在模型中的局部敏感度，以及目標函數和約束條件相對于各設計變量取值變化的響應面圖。

2.2.2 局部敏感度分析

局部敏感度用來顯示設計變量對目標函數和約束條件的影響程度，從本質上來說是目標函數和約束條件對于設計變量的偏導數，反映其對應關系。局部敏感度分析可以判斷設計變量的總體變化趨勢，為最終的優化方案提供支撐，保證設計變量與優化目標之間最大程度的匹配。響應面模型根據試驗點求解結果生成的各設計變量局部敏感圖如圖5 所示。可以看出，V1和H4與殼體質量正相關，而與殼體最大應力負相關，且敏感系數較大，這意味著其變大會導致殼體質量大幅增大，而最大應力會明顯減小，H5則剛好相反，而V7對二者均呈正相關，敏感因素較小，說明V7增大會導致殼體質量和最大應力小幅增大。設計目標是在滿足殼體耐壓強度的條件下，求得質量的最小值。為達到預期的低密度效果，從設計變量優化的方向來看，V1、H4、V7應減小，H5應增大；從敏感系數來看，V1、H4、H5的取值范圍應適當取得寬一些，V7敏感度較小，其取值范圍應適當縮小。

圖5 各設計變量的局部敏感度Fig. 5 Local sensitivity of each design variable

2.2.3 響應面分析

響應圖是通過對設計變量在上、下一定范圍內進行插值，然后對目標函數和約束條件進行求解而獲取的圖表，可以在三維坐標系中更加直觀地顯示不同設計變量對于目標函數和約束條件變化趨勢的影響。圖6 和圖7 為各設計變量與殼體質量及殼體最大應力的響應面關系。從圖中不僅可以驗證敏感度分析的結果，還可以直接讀取設計變量取特定值時的殼體質量及最大應力，對下一步確定設計變量取值范圍有指導意義。

圖6 質量與設計變量的響應面關系Fig. 6 Response surface between mass and design variables

圖7 最大應力與設計變量的響應面關系Fig. 7 Response surface between maximum stress and design variables

2.2.4 優化參數設定

為滿足水聽器的低密度要求，在保持其他部件不變時，水聽器的密度若降至1.05 g/cm3，則上、下殼體的總質量需要從232 g 減小至170 g。根據水聲換能器耐靜水壓的相關標準，換能器的最大耐壓深度應不小于工作深度的1.5 倍，殼體的耐壓安全系數應不小于1.5，設定殼體最大內部應力不大于300 MPa。根據敏感度分析結果，綜合水聽器設計尺寸、約束條件及優化目標，本設計的目標函數為Mass≤85 g，約束條件為Stress≤300 MPa，設計變量的取值范圍設定為：

2.3 求解及結果評估

在優化設計模塊中分別輸入上述設計變量、約束條件和目標函數的取值范圍。由于設計變量較多，采用直接優化法求解點數多、效率較低。為快速精確求解，選用多目標遺傳算法(multi-objective genetic algorithm)作為全局優算法求解Pareto 可行域，初始樣本設定為100 組，每代前50 組作為遺傳算法選擇樣本進行迭代，最大允許遺傳代數為20 代，系統預計需要求解1 050 組設計變量組合，設置最大允許Pareto 比例為70%，收斂穩定性為2%，進行求解計算，得到如表2 所示的3 組推薦參數組合。

表2 求解結果推薦參數Tab. 2 Recommended solution results

優化目標為在滿足殼體最大應力小于許用強度的情況下獲得最小的質量，顯然采用第一組推薦參數減重效果最為明顯。對推薦參數取整后重新計算求解，單個殼體質量為80 g，其內部應力云圖如圖8 所示，優化后殼體內部最大應力為從218 MPa 變為288 MPa，與圖3 相比，殼體內部應力分布更加均勻，應力集中效應有所降低，材料的強度得到更加充分地利用。

圖8 優化后的殼體受壓應力云圖Fig. 8 Optimized pressure stress nephogram of shell

表3 為優化前后各項參數對比，從優化結果可以看出，設計變量V1和V7的取值變小，H4的取值不變，H5則有所增大，這與前文的分析基本一致。優化后的水聽器質量為345 g，減小了17%，密度為1.03 g/cm3，接近于水下零浮力，達到了理想的水聽設計效果。

表3 優化前后參數對比Tab. 3 Parameters before and after optimization

2.4 靜水壓力試驗

為驗證水聽器樣機是否滿足耐設計工作水壓要求，在壓力釜中進行20 MPa 的靜水壓力試驗。將壓力釜緩慢加壓至20 MPa 并保持壓力30 min，保壓過程中壓力表平穩，取出后觀察，水聽器外表無明顯變化，經測試，水壓試驗后其靈敏度及指向性基本一致，表明該矢量水聽器可以滿足2 000 m 水深的工作要求。

3 結 語

本文介紹矢量水聽器設計原理與結構優化方法，運用有限元軟件對水聽器殼體耐壓強度進行仿真分析，針對水聽器的低密度要求，通過響應面優化方法對水聽器殼體的尺寸進行優化設計，完成了水聽器的試制和測試，得到結論如下：

1）隨著工作水深的增大，水聽器殼體會發生強度失效而不是穩定性失效。

2）尺寸V1和H4變大會導致殼體質量大幅增大，最大應力明顯減小，H5則剛好相反，尺寸V7則對二者的影響較小。

3）殼體尺寸優化后，水聽器的密度從原來的1.25 g/cm3降低至1.03 g/cm3，接近于水下零浮力。