人教A版新舊教材關于“數列”的比較研究

邢芬

摘要：2019年人教版新教材正式出版，新舊教材之間所具有的差異也受到了廣大教師的關注.本文通過對兩版教材關于數列章節的內容結構、例題配置、習題難度等三個方面進行比較分析，揭示其中數列內容變化的差異，研究發現新版教材在內容上更加整體化，例題數量有所增加，部分例題加入“分析”部分，課后習題難度上有所降低.并據此提出注重單元整體教學，有針對性地布置習題以及注重作業的情境創設等幾點教學建議.

關鍵詞：數列；新舊教材；比較研究

1研究背景

教材一般是根據最新的課程標準編寫的，系統地反映學科內容的教學用書.挖掘教材中的潛在知識，達到用教材教而不是教教材的狀態，這是每一位教師都應該具有的基本能力.［1］數學教材是數學課程內容最主要的一個載體，是實施好數學教學的一個基本工具，數學教材為“教”與“學”活動提供學習主題、基本線索和具體內容，是實現數學課程目標，發展學生數學學科核心素養重要的教學資源.［2］2019年人教版新教材正式出版，新舊教材之間所具有的差異也受到了廣大教師的關注.本文選取人教A版新舊教材中“數列”這一章的內容作為研究對象，對新舊兩本教材從內容結構、例題配置、課后習題難度幾方面進行比較，揭示兩版教材的具體差異，希望可以為廣大教師提供一些參考.

2新舊教材“數列”的內容比較

2.1結構重整

新舊教材關于“數列”在章節上的分布及排版發生了一定的變化，變化的具體情況如表2-1所示.

從上面所列的表格中可以看出，新舊教材關于數列的內容在順序和位置上發生了很顯著的變化.舊教材中將數列和解三角形、不等式這兩塊內容放在一起，都在必修5這本書中，這三部分的內容之間所具有的聯系并不是很緊密，不能很好地幫助學生去整體把握數學知識之間的聯系.而新教材將數列和一元函數的導數及其應用一起放在選擇性必修二當中，這兩塊內容都與必修一所學的函數內容有很大的關聯，并且相對于必修一也比較難，因此把這兩塊放在選修當中學習，另外學生在學習這塊內容時順便可以復習一下必修第一冊所學的函數內容.因此新教材的章節分布可以很好地幫助學生建立起函數的更完整的、緊密的一個大框架，有利于學生對函數進行整體把握，從而更好地學習.

新教材中將等差數列前n項和這一節內容與等差數列這一節內容合并成一大節內容，等比數列前n項和這一節內容與等比數列這一節內容合并成一大節內容.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中強調“要整體把握教學內容，要促進數學學科核心素養的連續性和階段性發展”.［3］這樣的章節分布有利于學生整體學習等差數列與等比數列，建立整體性、連續性的知識結構.其次是新增加了數學歸納法這一小節內容，但是該小節內容標了星號，作為選學內容，不作考試要求.數學歸納法是一種常見并且在高中階段會經常用到的證明方法，非常有利于培養學生的邏輯推理能力，但也是比較復雜的內容.學優生掌握前面所學內容之后，可以留出時間和精力去學習這一小節內容，然而學困生就只需盡自己的努力把前面所學內容掌握不必對后面的數學歸納法有壓力.因此教材將它列為選學內容可以讓高中階段不同學習水平的學生有所選擇.除此之外還有一點不同就是新教材將閱讀與思考的相關內容單列為一個小節的內容，這樣比較容易引起學生的重視.

2.2內容優化

2.2.1加強了數列與函數之間的聯系

新教材在一開始便通過三個不同情境下的例子引入數列的基本概念，緊接著就回顧函數的相關知識，引導學生把數列看作是特殊的函數，據此類比函數，用表格、圖像、解析式這三種不同的方式來表示數列，然后再根據函數的單調性給出了遞增數列和遞減數列的概念.這種設計的方式突出了知識之間的銜接性、連續性，既加強了與函數的聯系，又為后面的學習奠定了基礎，有利于學生對數列本質的把握，形成一個完整的知識結構.而舊教材在講數列的概念時強調了一下數列與函數的關系，后面幾乎不怎么涉及了.并且有些地方只是通過一個例子來引入，然后就直接給出相關概念，這樣不足以吸引學生的注意力，同時在內容上顯得十分單調.新教材中關于強調數列與函數的聯系是貫穿整章的，每一節中都以文字的形式突出強調數列與函數之間的聯系.

2.2.2加強了與現實生活之間的聯系

本章的每節內容都加入了與現實生活密切聯系的例子.例如，等差數列的概念是由四個例子引入的，其中就有北京天壇、衣服尺碼、銀行貸款這些與我們日常生活息息相關的事物.等比數列是由古巴比倫時期發現的泥版、《莊子·天下》中數學問題、細菌分裂的知識、銀行存款利率引入的.新教材中的例題和習題也緊密聯系著現實生活和學生已經學過的知識.例如，等比數列一節中的例11和例12這兩道題，將等比數列與生活中的垃圾處理問題和牛牧場經營管理問題結合起來.相比較之下舊教材中與生活有聯系的練習題也沒有新教材的多，使得這部分內容變得枯燥.因此新教材在這方面的強化是非常好的.在講數學新概念時，為了更好地讓學生理解，應該找一些現實生活中的例子，從而讓學生對新概念更加感興趣，激發他們學習的熱情，使學生更好地接受知識.

綜上所述，通過對比發現，新教材更加注重知識的整體化、結構化，注重知識與知識之間、知識與生活之間的聯系.

3新舊教材“數列”例題配置的比較

例題作為數學教材的重要構成部分，也作為學習數學必不可少的重要資源，它的選擇、布局、數量、設計等都影響著數學學習.新教材例題素材注重時代性，例題強調了分析的示范性.［4］本研究選取的例題是教材中標有“例1、例2、例3……”的題目.下表統計了數列這一章新舊兩版教材在對應章節的例題數量：

由表2可知，新舊兩版教材在“數列”內容上的例題數量差異較大，新教材的例題數量是30道，舊教材的例題數量只有17道.盡管新教材對章節排版進行了調整，只有四小節內容，但是例題數量并沒有減少，反而增加了許多.兩版教材的例題不僅在數量上有很大差異，而且在具體配置上也有明顯差異.在例題的處理上，原教材中在例題后直接提供了解法，而新教材的部分復雜例題在“解”之前增加了“分析”的步驟.下面結合具體的內容來談談二者的差異.

對于數列的概念這一節，舊教材有3個例題，新教材有5個例題.新教材將舊教材中的3個例題都予以保留，并在此基礎上增加了兩個例題.新教材中在回顧了函數的相關知識，引導學生把數列看作是特殊的函數，讓學生理解通項公式就是數列的函數解析式，根據通項公式就可以寫出數列各項.緊接著就設置例1，讓學生根據通項公式寫出數列各項并畫出圖象，即讓學生通過聯系函數來理解數列，從而更深刻地理解數列的概念.對于例3，教材中先對其進行了分析：要判斷120是不是該數列的項，就是要回答是否存在正整數n，使得n2+2n=120，也就是判斷上述關于n的方程是否有正整數解.然后進行了詳細的解答.這道例題的設置可以讓學生理解數列的特殊性，可以避免學生將數列與函數的概念混淆.例1和例3的增加使得整節的例題層層遞進、由淺入深.

4新舊教材“數列”的習題難度比較

鮑建生教授指出：“數學課程的難度水平在很大程度上是由其中所包含的數學題的難度所確定的.”［5］他提出了習題難度綜合模型，據此可以判斷課程的綜合難度.每個難度因素的水平劃分以及對每個水平賦予分值的具體情況均如表3所示.

根據上述框架以及鮑建生提出的計算各難度因素的加權平均值公式，本文對新教材中的40道課后習題和舊教材中的48道課后習題從這5個難度因素進行比較分析，進而比較習題的綜合難度.

4.1探究水平

對“數列”章節課后習題的探究水平進行統計分析，發現舊版教材與新版教材中屬于“識記”水平的課后習題分別有5道、4道，二者占比分別為10.4%、10%，下降了0.4個百分點；屬于“理解”水平的課后習題分別有24道、22道，二者占比分別為50%、55%，高出了5個百分點；屬于“探究”水平的課后習題分別有19道、14道，二者占比分別為39.6%、35%，下降了4.6個百分點.新教材對于識記類的題目并無太大的差異，理解類的題目數量明顯增多，探究的題目類型的數量有明顯下降.由此可見，新版教材更側重于對數學理論、方法和過程的理解，要求學生能對問題進行簡單的分解或轉化，從而對問題進行解答.對識記類的題目保留也有利于增強學生學習的信心.

4.2背景水平

對背景水平進行統計分析，發現舊版教材與新版教材中屬于“無背景”水平的課后習題分別有31道、35道，二者占比分別為64.6%、87.5%，高出了12.9個百分點；屬于“個人生活”水平的課后習題分別有4道、1道，二者占比分別為8.3%、2.5%，下降了5.8個百分點；屬于“公共常識”水平的課后習題分別有7道、1道，二者占比分別為14.6%、2.5%，下降了12.1個百分點；屬于“科學情境”水平的課后習題分別有6道、3道，二者占比分別為12.5%、7.5%，下降了5個百分點.新教材對于無背景類型的題目數量明顯增多，對于個人生活、科學情境、公共常識這三個類型的題目數量都有所下降.由此可見，舊教材的課后習題背景情境更加豐富，而新教材更側重于對數學背景的考查，情境的多樣化有待進一步提升.

4.3運算水平

對課后習題的運算水平進行統計分析，發現舊版教材與新版教材中屬于“無運算”水平的課后習題分別有12道、15道，二者占比分別為25%、37.5%，高出了12.5個百分點；屬于“數值計算”水平的課后習題分別有4道、2道，二者占比分別為8.3%、5%，下降了3.3個百分點；屬于“簡單符號計算”水平的課后習題分別有17道、14道，二者占比分別為35.4%、35%，下降了0.4個百分點；屬于“復雜符號計算”水平的課后習題分別有15道、9道，二者占比分別為31.3%、22.5%，下降了8.8個百分點.由以上數據得出新教材除了在“無運算”水平上增加了12.5個百分點之外，在其余三個水平上都有所下降，但是差異并不顯著.由此可見，新版教材對于數學運算的考查難度有所降低.

4.4推理水平

對課后習題的推理水平進行統計分析，發現舊版教材與新版教材中屬于“無推理”水平的課后習題分別有8道、5道，二者占比分別為16.7%、12.5%，下降了4.2個百分點；屬于“簡單推理”水平的課后習題分別有25道、14道，二者占比分別為52.1%、35%，下降了17.1個百分點；屬于“復雜推理”水平的課后習題分別有15道、21道，二者占比分別為31.2%、52.5%，高出了21.3個百分點.總體來說新教材在“無推理”和“簡單推理”兩個水平上都有所下降，而在“復雜推理”水平上有所上升，且差異十分顯著.由此可見，新版教材更側重于對邏輯推理能力的考查，其考查難度也是顯著高于舊教材的.

4.5知識含量

對“數列”章節課后習題的知識含量水平進行統計分析，發現舊版教材與新版教材中屬于“一個知識點”水平的課后習題分別24道、17道，二者占比分別為50%、42.5%，下降了7.5個百分點；屬于“兩個知識點”水平的課后習題分別有20道、19道，二者占比分別為41.7%、47.5%，高出了5.8個百分點；屬于“多個知識點”水平的課后習題都有4道、4道，二者占比分別為8.3%、10%，高出了1.7個百分點.總體來說新教材在“一個知識點”水平上題量降低，在其余兩個水平上數量都有所上升.但是差異都不是很顯著.由此可見，舊教材更側重于對單個知識點的練習，新教材則加強了對知識的綜合運用能力的考查.

4.6綜合難度

上述我們根據五個難度因素對兩版教材“數列”的課后習題的數量及其所占習題總數的百分比進行了比較，為了進一步了解其綜合難度水平，我們計算了兩版教材習題各因素的加權平均值.所得結果見下面的表9：

從統計結果可以發現，新版教材在探究、背景、運算這三個維度上都低于舊教材，在推理和知識含量這兩個維度上略髙于舊版教材.總體來說新教材的課后習題難度是有所降低的.從上述雷達圖的整體態勢上看，新教材的習題在五個因素上相對比較平衡，說明新教材的課后習題考查的比較全面.但是新舊兩版教材都側重于運算、推理、探究三個因素，其中特別是“運算”因素，說明數學教學是非常注重培養學生的邏輯思維能力和運算能力的.

5結果分析

5.1結構和內容上的變化

新教材在舊教材的基礎上進行了結構調整和內容優化，增加了數學歸納法，加強了數列與函數之間的聯系以及與現實生活之間的聯系，新教材更加注重知識的整體化、結構化.章建躍也提到新教材保證了數學學科的結構體系和知識的系統性，使內容的邏輯順序更加合理.［6］因此新教材在內容和結構上的變化是合理的，且有利于學生系統地學習數列這一塊知識.

5.2例題數量和配置的變化

新教材增加了例題和習題數量，素材也更為豐富.對于部分例題新教材在“解”之前增加了“分析”的步驟.對于增加“分析”步驟的設計旨在展現分析問題的過程，讓學生學會分析問題，提高分析問題的能力，更體現出例題在分析問題方面的示范性.［4］在例題之后設置分析過程也可以幫助學生提供解決問題的思路，有利于找出具體的、可行的解題方法.

5.3課后習題難度的變化

新教材的課后習題難度在探究、背景、運算三個水平上都有所降低，在推理和知識含量兩個水平上略高于舊教材，因此總體上新教材的課后習題難度有所降低.章建躍提到：“高考難度不降，絕大多數教師就不敢只講教材，都要增加一些難題讓學生練習.故實際教學中不僅增加了內容，而且提高了難度，這樣就加重了負擔.”［6］因此新教材通過降低課后習題的難度來提醒廣大教師，不要一味增加習題的難度，注重通性通法，以便減輕學生的學習負擔.

6教學建議

新教材在內容結構、例題配置、習題難度等幾個方面都有所變化，在現實教學中教師應該根據差異適時改變教學策略，使得學生更好地適應新教材，更好地進行學習.據此提出如下三點教學建議：

6.1注重單元的整體教學

新教材更加注重知識的整體化、結構化.教師在教學中也應該根據新教材所具有的特點有針對性地改變教學設計，注重單元整體教學設計，使得學生更系統地學習知識.由于基礎教育教材編寫遵循“螺旋式上升”原則以及知識結構的整體性特征，以單元為主體強調學習內容相互聯系的整體教學設計是提升課堂教學質量的有效選擇.［7］因此教師要注重單元整體教學設計，需掌握一定程度的數學學科整體結構，整體把握中學數學教學內容與目標，合理使用數學教材.

6.2有針對性地布置習題

新教材在習題設計方面注重了層次性和探索性.原教材采用分A、B兩組編制習題的方式以區分難度等級，而新教材分為“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三組習題區分難度，進一步細化了習題等級層次.復習鞏固類的題側重考查學生的知識基礎，是為了幫助學生復習本節或本章已經學習過的知識.綜合運用類的題注重對知識的理解、遷移和運用，需要學生綜合運用新知識和以往所學知識來解決.拓廣探索類的題注重拓寬學生的知識面，更多地聯系其他學科和現實生活，需要學生深入思考和探究.這樣設計讓習題更有梯度，因此教師要有針對性地布置彈性作業，更好地滿足不同發展水平學生學習的需要，讓所有的學生都能不同程度地得到發展.

6.3注重作業的情境創設

新版教材在導入部分設置了銀行存款、北京天壇、購買設備等現實情境的例題來吸引學生的學習興趣，但是新教材中的課后習題更側重于對數學背景的考查，情境的多樣化有待進一步提升.新課標強調概念產生發展的背景，要求聯系學生原有的認知基礎，根據數學概念的特點選取具有時代特點、貼近學生實際的事例創設情境，引導學生通過觀察、分析、歸納和概括，理解所學的知識.因此教師在布置課后作業時應盡量采用與其他學科或者現實生活相聯系的情境，使得課后作業更豐富多彩，激發學生的興趣，更好地完成作業.

參考文獻：

［1］崔永宏，王仲，馬紹文.人教A版新舊教材關于“解三角形”的對比研究［J］.中學數學研究（華南師范大學）：下半月，2022（1）：3.

［2］龍正武，高存明，王旭剛.高中數學教材改革的創新與實踐［J］.課程·教材·教法，2020，40（7）：86-91.

［3］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版）［S］.北京：人民教育出版社，2017：4.

［4］邵光華，張妍.人教A版高中數學新教材特色分析及使用建議［J］.課程·教材·教法，2019，39（12）：109-114.

［5］鮑建生.中英兩國初中數學期望課程綜合難度的比較［J］.全球教育展望，2002，31（9）：48-52.

［6］章建躍.核心素養導向的高中數學教材變革—《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫［J］.中學數學教學參考，2019（6）：6-10.

［7］王海青，吳有昌.基于數學單元的整體教學探索與實踐：問題驅動的視角［J］.數學通報，2022，61（3）：7.