挖掘創新定義，展示向量魅力

蔡文捷

摘要：以平面向量為基礎的創新應用問題，有其特定的幾何意義和計數形式，對學生數學知識、基本思想方法與基本數學能力的要求很高.本文探究一道以平面向量為背景的新定義題，展示平面向量獨特的內涵與性質.

關鍵詞：平面向量；幾何意義；數量積

平面向量同時具有“數”的性質與“形”的特征，一直是高考中創設情境問題與創新定義的一個重要知識來源.借助平面向量的知識背景，或通過“數”的視角加以抽象或運算，或通過“形”的直觀加以設置或切入，其形式新穎，變化多端．本文以一道高考新定義題為例對此作些探索.

1問題呈現

設向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），記a*b=x1x2－y1y2，若圓C：x2+y2－2x+4y=0上的任意三點A1，A2，A3，且A1A2⊥A2A3，則|OA1*OA2+OA2*OA3|的最大值是．

此題以向量的創新運算定義為問題背景，結合向量的坐標運算與幾何意義、圓的方程與幾何性質、直線與圓的位置關系等相關知識考查學生的創新意識與創新應用．向量的創新運算定義與平面向量的數量積的坐標運算有一定有聯系與區別，學生在解決此類問題時需要合理形成類比法與知識遷移．

2問題解決

0方法1：（向量幾何意義+線性規劃法）

0解析：由圓C的方程配方可得（x－1）2+（y+2）2=5，則圓心C（1，－2），半徑r=5，

設A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），

由A1A2⊥A2A3，可得A1A3為圓C的直徑，

則有x1+x32=1，y1+y32=－2，

即x1+x3=2，y1+y3=－4，

可得|OA1*OA2+OA2*OA3|=|x1x2－y1y2+x2x3－y2y3|=|x2（x1+x3）－y2（y1+y3）|=|2x2+4y2|，

而A2為圓C上的任意一點，則當直線2x+4y+b=0與圓（x－1）2+（y+2）2=5相切時|2x2+4y2|有最大值，

由于圓心C到直線2x+4y+b=0的距離d=|2×1-4×2+b|4+16=5，解得b=16或b=－4，由于|－4|≤16，所以當b=16時，原式有最大值16．

0解后反思：利用圓上的三點所滿足的條件，結合圓的性質確定直徑A1A3過圓心C，進而構建對應的關系式，接著利用向量的創新運算定義和線性規劃將其轉化為直線與圓的位置關系問題，然后結合直線與圓相切時有最值，利用點到直線的距離公式來確定參數值，從而得以解決對應的最值問題．思路自然，方法流暢．

0方法2：（向量幾何意義+參數方程法）

0解析：由圓C的方程配方可得（x－1）2+（y+2）2=5，則圓心C（1，－2），半徑r=5，

由A1A2⊥A2A3，可得A1A3為圓C的直徑，

設A1（1+5cosα，－2+5sinα），A2（1+5cosβ，－2+5sinβ），

則有A3（1+5cos（π+α），－2+5sin（π+α）），即A3（1－5cosα，－2－5sinα），

結合創新定義，可得|OA1*OA2+OA2*OA3|=|（1+5cosα）（1+5cosβ）－（－2+5sinα）（－2+5sinβ）+（1+5cosβ）（1－5cosα）－（－2+5sinβ）（－2－5sinα）|

=|2（1+5cosβ）+4（－2+5sinβ）|=|45sinβ+25cosβ－6|=|10sin（β+φ）－6|≤16，

所以原式有最大值16，故填答案：16．

0解后反思：借助圓的參數方程，引入兩個點的坐標所對應的參數，利用A1A3為圓C的直徑來確定第三個點的坐標，進而通過向量的創新運算定義來列式，并利用三角函數的化簡，結合三角函數的輔助角公式，從而得以確定對應關系式的最值問題．利用三角函數來確定最值問題有一定的優勢，關鍵就是合理引入對應的角參，并利用三角函數的知識加以消參與變形，然后結合三角函數的圖象與性質來確定對應的最值問題．

0方法3：（特殊位置法）

0解析：由圓C的方程配方可得（x－1）2+（y+2）2=5，則圓心C（1，－2），半徑r=5，

由A1A2⊥A2A3，可得A1A3為圓C的直徑，取A1（0，0），則知A3（2，－4），

設A2（1+5cosθ，－2+5sinθ），

結合創新定義，可得|OA1*OA2+OA2*OA3|=|2（1+5cosθ）－（－4）（－2+5sinθ）|=|45sinθ+25cosθ－6|=|10sin（θ+φ）－6|≤16，

所以原式有最大值16，故填答案：16．

0解后反思：利用A1A3為圓C的直徑的性質，選取特殊位置來確定其中的兩個點，并引入圓的參數方程來確定另外一點的參數坐標，通過向量的創新運算定義來列式，合理簡化三角函數關系式的運算與化簡過程，以特殊位置中的“靜”來特殊化解決“動”的問題，實現特殊與一般思維的轉化，使得處理問題更加簡捷．

0方法4：（向量數量積法）

0解析：由圓C的方程配方可得（x－1）2+（y+2）2=5，則圓心C（1，－2），

其關于x軸對稱的圓C1的方程為（x+1）2+（y+2）2=5，則C1（1，2），

由A1A2⊥A2A3，可得A1A3為圓C的直徑，則有OA1+OA3=2OC，

可得|OA1*OA2+OA2*OA3|=|OA2*（OA1+OA3）|

=|OA2*2OC|=2|OA2*OC|=2|OA2·OC1|，

如圖1所示，顯然當OA2位于OC1的反向延長線的投影最長時（設為點Q），此時PC∥OC1，對應直線OC1的方程為y=2x，可知直線PC的方程為y+2=2（x－1），即y=2x－4，此時直線PC與圓C的交點P時，|OA2·OC1|取得最大值，

將y=2x－4代入圓C：x2+y2－2x+4y=0，可得x2－2x=0，

解得x=0或x=2，則知P（0，－4），

那么OP·OC1=（0，－4）·（1，2）=－8，

所以2|OA2·OC1|的最大值為2×8=16，即原式有最大值16，故填答案：16．

0解后反思：將向量的創新運算定義轉化為熟知的平面向量的數量積問題，然后抓住對稱以及平面幾何圖形的特征，結合平面解析幾何中直線、圓的方程的確定與關系的求解，利用投影的定義加以數形結合，進而直觀分析解決創新應用問題．此類化歸與轉化問題，是將創新定義轉化為已有知識，思路新穎，直觀形象．

3變式拓展

涉及兩點對應坐標的乘積的差的關系是一個創新特殊與新穎的表達式，與平面向量的數量積的坐標公式有一定有聯系與區別，也為問題的創新設置與巧妙破解提供一定的指導與創新．

0【變式】已知雙曲線x2a2－y2=1（a>0），雙曲線上右支上有任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），滿足x1x2－y1y2>0恒成立，則a的取值范圍是．（解略）

4教學啟示

4.1回歸本質，重視基礎

以平面向量為問題情境的創新應用中，通過巧妙設置，回歸平面向量的問題本質，利用熟悉化歸轉化為平面向量的基本概念、基本運算、幾何意義或數量積等相關的知識.總結來說，就是通過“形”的特征加以數形結合，直觀處理；通過“數”的性質加以數學運算，代數變形．但無論怎樣，都離不開平面向量的基礎知識與基本技能，從基礎中來，到基礎中去．

4.2合理聯系，類比應用

對于高考中創新變點之一的情境信息創新題，是依托已有的概念、運算法則和運算律等的基礎上定義的一種新的概念、運算、規則、性質等的問題，關鍵是抓住題目條件中對應的定義新概念、設置新運算、遷移新信息、創設新題型等信息，通過類比并結合原有數學基礎上中的定義、性質、公式、方法等視角加以創新、應用、探究，從而實現知識與能力的綜合、提升與拓展等，真正達到創新應用與深入探究的目的．