談數列問題中求最值項的常用策略

武笎

摘要：數列中的求最值項的問題，需要有扎實數列的知識和函數中求最值的方法，還要具備熟練的分析問題方法和變換處理能力.本文對之分類進行了解析.

關鍵詞：數列；最值項；求解方法

數列問題是高考數學中的必考問題，可涉及到選擇題和填空題，以及解答題.尤其是近年來的解答題中，每一張試卷都有數列題，雖然考題難度有所降低，但由于此知識點的特殊性與復雜性，根據每年的考生情況的統計，總體得分率還是不夠理想，沒有顯示出必須完全掌握的特點，其中比較特別的是，與其它知識綜合運用的地方還不能徹底解決，本文中介紹的求數列問題中的最值項的問題就是如此.所謂的數列中的求最值項的問題，就是尋找滿足一些式子取到最大值或最小值時，要求的自然數n的取值，此類問題的解決不但需要有扎實數列的知識、函數的方法和不等式的性質等知識基礎，還應該具備對數列問題有熟練的分析變換和變形處理能力.下面通過對幾個典型例題的分析求解，著重介紹數列求最值項的常用方法，希望對讀者朋友有所幫助.

1作差相減

例1已知數列an的通項公式an=-2n3+24n2+18n+2，（n∈N*），求數列中取最大值時的項.

解析：因為an+1－an=－2（n+1）3+24（n+1）2+18（n+1）+2－（－2n3+24n2+18n+2）=2n（21－3n）+40，則當1≤n≤7時，an+1－an>0，即an+1>an；當n≥8時，an+1－an<0，即an+1

點評：通過探尋相鄰兩項的差，根據差式何時差開始取正數（或負數）來判斷出哪一項是最大（或小）項，這是根據數列特點的求最值項的通用方法，對此，我們應該熟練掌握，并且運用自如.

例2數列an中，a1=8，a4=2，且滿足an+2－2an+1+an=0（n∈N*）.（1） 求數列an的通項公式；（2） 設bn=1n（12－an）（n∈N*），Tn=b1+b2+…+bn，若存在整數m使對一切自然數n都有Tn>m32成立，求m的最大值.

解析：由an+2－2an+1+an=0可得an+2－an+1=an+1－an，所以數列an為等差數列，又a1=8，a4=2，不難求得an=10－2n，從而bn=1n（12－an）=12n（n+1）=121n－1n+1，所以Tn=b1+b2+…+bn=n2（n+1），下面再證對于n∈N*，Tn為單調數列，因為Tn+1－Tn=12（n+1）（n+2）>0，故Tn+1>Tn，故Tn為單調增數列，則T1=14為最小值.由Tn>m32恒成立，則需m32

點評：數列中求數列的最大項的問題，大多都是通過判斷數列的單調情況來解決，也就是通過求相鄰兩項的差來判斷，這是一個重要的解題技巧，也是數列問題本身特點所具有的，需要由此形成熟練解題經驗.

2建立不等式組

例3已知數列an的通項公式an=（n+2）·67n，求此數列中取最大值時的項.

解析：假設第n項為取最大值的項，則an≥an－1

an≥an+1.，即（n+2）·67n≥（n+1）·67n－1

（n+2）·67n≥（n+3）·67n+1

即6（n+2）≥7（n+1）

7（n+2）≥6（n+3），解得n≤5

n≥4，即4≤n≤5，又n∈N*，所以n=4或n=5，故數列an中a4與a5均為最大項，且a4=a5=6574.

點評：此方法是根據數列最大（或小）值的定義列出不等式組，然后再求解這個不等式組，得到了數列最大項，此法也很常用.注意有的時候可能有多個最大（小）項，而這些項的值應該是相等的.

例4某魚塘幾年內一次性放養若干條魚，第1年每條魚的平均魚重的增長率為300%，以后每年的平均魚重增長率都是上一年的13，而且每年魚的條數要減少5%，問魚塘哪一年魚的總重量最大？

解析：設放養后第n年，每條魚的平均重量為an，第n年魚塘存活bn條魚，則an+1=an（1+31－n），bn+1=bn（1－5%），令an·bnan+1bn+1，求得n≥4，則a1b1a5b5>a6b6……，故第4年總重量最大.

點評：此題是一個實際應用題，通過設計兩個數列，分別表示“平均魚重”“魚塘存活的條數”就將第n年“魚塘的總重量”表示出來了，然后利用不等式組的遞推，找到了總重量取最大值的項.

3利用數列的增減性

例5在等差數列an中，若前n項和記為Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0，當n為何值時，Sn最大？

解析：由a3=12，S12>0，S13<0，容易知道此數列為單調減數列，又由于S12=6（a1+a12）=6（a6+a7）>0，得a6+a7>0，而S13=132（a1+a13）=13a7<0，得a7<0，由數列的單調性知a6>0，a7<0，即當n=6時，Sn=S6為最大.

點評：由于數列的相關表達式可以看成是以正整數n為自變量的函數關系，故而一些函數中的性質，如增減性、周期性，在數列中也存在，但應該根據數列中自變量為正整數的特點，進行正確理解和使用.

例6已知首項為32的等比數列an的前n項和為Sn，且－2S2、S3、4S4成等差數列.試求Sn+1Sn的最大值.

解析：設等比數列an的公比為q，因為－2S2、S3、4S4成等差數列，所以S3+2S2=4S4－S3，即S4－S3=S2－S4，可得2a4=－a3，于是q=a4a3=－12.又a1=32，所以等比數列an的通項公式為an=32×－12n－1=（－1）n－1·32n.于可求得Sn=1－－12n（n∈N*），所以Sn+1Sn=1－－12n+11－－12n=2+12n（2n+1），n為奇數，

2+12n（2n－1），n為偶數.通過觀察此表達式，可以得到，當n為奇數時，Sn+1Sn隨n的增大而減小，所以Sn+1Sn≤S1+1S2=136.當n為偶數時，Sn+1Sn隨n的增大而減小，所以Sn+1Sn≤S2+1S2=2512.故對于n∈N*，有Sn+1Sn有最大值136.

點評：有一些數列是具有單調性或部分單調的，在解題中如果能及時根據結構特點，挖掘到單調性的信息，就能順利找到數列的最大值或最小值項，并能順利的求出最值，那么挖出其增減的方法有很多，其中本解法中的通過觀察得到的只是一個特例，在解決小題時，比較實用，在解答題中，還應該通過其他推理方法得到證明后，才能應用.

4利用二次函數性質

例7一個首項為正數的等差數列an，它的前3項和與前11項和相等，問此數列前幾項和最大？

解析：設首項a1>0，依題意有a1+a2+a3=a1+a2+a3+…+a11，則a4+a5+…+a11=0，由等差數列的性質知，a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8，可得a7+a8=0，即a1+6d+a1+7d=0，所以d=－213a1<0，故Sn=na1+12n（n－1）d=－113a1［（n－1）2－49］，則當n=7時，Sn=4913a1最大.

點評：如果一個數列表達式是一個二次函數類型，它應該體現出二次函數的特點，利用二次函數的性質，解決數列問題就是一個重要的選擇，必須要抓住此解題機會，讓其發揮應有的解題功能.

例8若數列an的前n項和Sn=n2－10n（n∈N*），求數列nan中數值最小的項.

解析：由于Sn=n2－10n，所以當n≥2時，an=Sn－Sn－1=2n－11；當n=1時，a1=S1=-9也適合上式.所以an=2n－11（n∈N*）.記f（n）=nan=n（2n－11）=2n2－11n=2n－1142－1218，此二次函數圖象的對稱軸為直線n=114，但n∈N*，經驗證知，當n=3時，f（n）取最小值，所以數列nan中數值最小的項是第3項.

點評：本解法及時抓住數列中函數的特點，利用二次函數求最值的方法，通過找到所對應的拋物線的頂點，然后再根據n為自然數的特點，確定出待求的最值項，此處是一個解題關鍵點，必須得到重視.

5利用基本不等式

例9設正項等比數列an的前n項和為Sn，若S7－S5=3（a4+a5），試判斷4a3+9a7取最小值的情況.

解析：可設正項等比數列an的公比為q（q>0），由于S7－S5=a7+a6=3（a4+a5），可得，a7+a6a5+a4=q2=3.所以4a3+9a7=4a3+9a3q4=4a3+1a3≥4，當且僅當4a3=1a3，即a3=12時等號成立.于是4a3+9a7的最小值為4.

點評：由于此數列是正項等比數列，這是滿足了運用基本不等式解題的一個條件，而接下來的事就是如何挖掘“積為定值與等式成立”的機會，這些都與求常規的函數最值相似，但應注意自變量為正整數的特別條件.

例10設等差數列an的公差是d，其前n項和是Sn，若a1=d=1，問n為何值時，Sn+8an有最小值？并求出這個最小值.

解析：由于數列an是等差數列，公差為d，且a1=d=1，則an=a1+（n－1）d=n，所以Sn=n（n+1）2，所以Sn+8an=n（n+1）2+8n=12（n+16n+1）≥12（2n·16n+1）=92，當且僅當n=16n，即n=4時取等號，所以Sn+8an的最小值為92.

點評：本解法抓住Sn+8an化簡后表達式的特點，將它看成常規的函數式，然后用基本不等式來解決的.但如若在問題的取等號條件中，對應的n不是自然數，也可以利用此法判斷n取值的范圍，然后用特殊值驗證，從而找出待求的最大值或最小值.

6運用求導解決

例11已知等差數列an的前n項和為Sn，且Sm－1=－2，Sm=0，Sm+1=3（m≥2），問當n為何值時，nSn取得最小值？

解析：由于Sm－1=－2，Sm=0，Sm+1=3（m≥2），可知am=2，am+1=3，設等差數列an的公差為d，則d=1，因為Sm=0，所以a1=－am=－2，則an=n－3，且Sn=n（n－5）2，所以nSn=n2（n－5）2.設f（x）=x2（x－5）2（x>0），則f′（x）=32x2－5x，令f′（x）=0，注意到x>0，得到f（x）的極小值點為x=103，由于n∈N*，且f（3）=－9，f（4）=－8，所以待求最小值項為3且最小值為f（3）=－9.

點評：通過將數列類比成對應的函數，再運用求導等手段求出的函數的取最值點，從而得到數列的最值項，同樣須注意比較極值點附近相鄰兩個項的大小后才能確定最終的答案，這是與普通函數求最值的最大區別之處.

還有些問題，在直接求解遇到困難時，考察有關關系式的特點，通過及時的構造函數，利用導數的性質和解題觀念來研究此特殊函數的特點，進而通過討論求得數列前n項和的最大（最小）值，也是一種很重要的探求數列最值問題的方法，此處不再舉例.

上面是通過典型例題的分析，介紹了求數列中最值項問題的常用方法，雖然不是十分全面，但基本題型與解題方法都給予了展示.其解題特點是：把握住數列關系式可以看成一個特殊函數式的關鍵信息，在求數列關系式的最大值或最小值時，除了運用數列自身特點和性質的方法外，一些函數求最值的方法都可以試著用，在遇到最值點不是自然數時，通過驗證取最值點附近的自然數就可以確定最值情況了，這就是處理這個特殊函數重要舉措.