規范敘寫與邏輯推證并重

王杰

摘要：幾何是一門結構嚴謹的學科，幾何證明大題也是當前中考的必考題.然而不少一線數學教師總是抱怨學生在做這一類題時出現“會而不對，對而不全”的現象，學生對此也很苦惱.究其原因，主要是在答題過程中：幾何語言書寫不規范、邏輯推理不嚴謹等.針對這一現象，本文談談如何幫助學生提高幾何證明大題的正確率．

關鍵詞：幾何證明；規范敘寫；邏輯推證

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中指出，推理能力是初中階段數學核心素養之一，推理能力有助于逐步養成重論據、合乎邏輯的思維習慣，形成實事求是的科學態度與理性精神.［1］然而中學生的幾何推力能力存在一定的缺陷，主要原因是幾何語言的掌握和書寫不規范、邏輯推理過程不夠嚴謹等.下面將以一道經典試題為例，從試題分析、證法評析、典型錯誤以及教學啟示這四個方面淺談幾點看法.

1試題與分析

如圖1，已知AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC、EF相交于點M，且AM=CM.

（1） 求證：AE∥CF；

（2） 若AM平分∠FAE，求證：FE垂直平分AC.

本題為幾何證明題，題設條件為平行、一組角相等以及一個中點.第（1）小題證明另一組平行線，第（2）小題證明垂直平分線.主要考查平行線的性質和判定及等腰三角形的判定和性質等基礎知識，考查想象能力、邏輯推理論證能力及轉化思想方法.題目考查知識點廣泛；設計常規樸實，由易而難；語言表述簡明扼要，思路明朗，有利于學生上手，屬于承上啟下的常規題.

2證法與評析

本題看似樸實無華、平淡無奇，但其證明方法已將基礎知識、基本方法、基本技能和數學素養融為一體.本題是對最基礎、最重要知識點的單獨考查，關注通性通法，淡化特殊的技巧，涉及的恰是幾何學習中的關鍵問題.因而對學生敘寫的規范性和邏輯推理論證能力要求明確而具體.

第（1）問證法單一，下面著重分析第（2）問，以下是常見的幾種證明方法：

（1） ∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠DCA，

又∠BAE＝∠DCF，

∴∠BAC -∠BAE＝∠DCA-∠DCF，

即∠EAM＝∠FCM，

∴AE∥CF．

（2） 證法一： ∵AM平分∠FAE，

∴∠FAM＝∠EAM，

又∠EAM＝∠FCM，

∴∠FAM＝∠FCM，

∴△FAC是等腰三角形，

又AM＝CM，

∴FM⊥AC，即EF 垂直平分AC．

證法二：∴∠FAM＝∠FCM，（同證法一）

∴FA=FC，

又AM＝CM，

∴F、M分別是直線AC垂直平分線上的點，

∴直線FM垂直平分AC，即EF 垂直平分AC．

證法三（思路）：先證△AEM≌△CFM（ASA）得AE=CF;再證FA=FC得AE=AF;進而證△AFM≌△AEM（SAS）得∠AMF=AME，再利用平角定義得出∠AMF=90°，進而推出EF垂直AC，即EF 垂直平分AC.

第（1）小題從學生答題情況來看，大多數學生熟練掌握并且靈活運用了這幾個定理，只有少數學生因寫錯關鍵詞的字母而丟分；第（2）小題證法一，由第（1）問的平行和角平分線推出△FAC的兩底角相等，再判定是等腰三角形，然后利用等腰三角形的三線合一的性質推出結論；證法二是利用兩點確定一條直線，證明 F、M分別是直線AC垂直平分線上的點，進而推出結論；證法三通過全等得出角等，再利用平角的定義得出垂直，從而得證.從閱卷情況來看，此問學生答題情況不太好，主要問題就是證明過程不規范、邏輯推理混亂.

3典型錯誤分析

這道題目，不偏不怪，非常基礎，但是學生在答題中普遍存在“會而不對，對而不全”的現象，究其原因，主要是敗在一些“小問題”上.下面就從學生容易出錯的幾個方面進行分類剖析，挖掘失誤的根本原因，從而有助于學生在高考中減少這些錯誤的產生.

3.1敘寫不規范

閱卷過程中發現：解答思路正確，邏輯鏈條明晰，但由于不注意準確表達和規范書寫而被扣分的學生不在少數，很是令人扼腕.

3.1.1字母、符號使用混亂

學生答題過程中的字母錯、符號錯比較普遍，成為答題整體失誤的根源.個別學生答題時，E、F混寫、各種字母看錯；平行、垂直、等號符號亂用.這些情況著實令人惋惜，但又不能簡單地歸結為粗心，多半是平時不良的解題習慣和態度所致.

3.1.2表述不嚴謹，嚴重跳步

第（2）小題的證法一有幾個得分點很多學生因表述不嚴謹而丟掉分數：第一，在證明△FAC是等腰三角形時很多同學這樣寫， ∵AM平分∠FAE，∴∠FAM＝∠EAM=∠FCM.他們誤認為第（1）小題有了∠EAM=∠FCM，第二小題要用時可以不寫，這是不對的，因為第（1）小題中已經寫的條件、結論，在第（2）小題中引用時必須交代清楚，這樣才能保證推理的連續性、嚴謹性，另外由角平分線只能得到兩個角等，不能直接得到三個角等.第二，在利用三線合一時，個別同學沒有寫“AM=CM”，認為題目中已有的少寫無影響.第三，在用證法三時，直接由△AFM≌△AEM（SAS）得∠AMF=AME=90°，跳過了平角定義這一步.由此可以看出，在解答幾何題中，丟分往往在“舉手投足”之間，表述若不嚴謹，一不小心就會造成“會而不得分”的結果，實屬遺憾之至.

3.2邏輯混亂

閱卷中還發現，導致證明錯誤的主要原因不僅在于知識，更重要的在于邏輯.很多答題能力差的學生在解答過程中表現出邏輯較混亂，比如：循環論證、主觀臆斷、沒有條理的羅列，因果關系倒置等等，進而導致“一步錯步步錯”的現象發生.

3.2.1主觀臆斷

憑直覺判斷或缺乏論證就下結論是學生常犯的錯誤，這也是學習幾何的大忌.例如，第（1）小題只證明了AE∥CF，很多學生把由圖看出的結論直接拿來當條件使用，憑空添加條件AF∥CE;其次，第（2）問已知AM平分∠FAE，不少同學直接認為AM平分∠FCE，以此來證明AE=CE；此外，一些同學證明△AEM≌△CFM得出EM=FM（即M是中點），再由AM平分∠FAE，得出AM⊥EF，看似沒問題，實則是在利用“等腰三角形三線合一”的逆命題，而這個命題不是定理不可以直接拿來用，這也反映了學生對題目理解不透徹、對概念定理不熟悉、邏輯不清晰、急于求成等問題.

3.2.2虛假理由

部分學生對于幾何相關概念、定理并未真正理解、掌握，因此在幾何證明時，往往會任意推廣引申定理，進而得出有利于論題成立的“假”判斷，并將其作為論證的根據，導致證明出現誤差甚至錯誤.這樣的證明違反了邏輯上的充分理由律，“虛假理由”是初中生證明過程中出現頻率較高的錯誤.例如，第（2）問證法二，很多同學證明了FA=FC后，∴EF 垂直平分AC．這個證明方法從表面看沒有什么漏洞，但是由FA=FC只能得出F是直線AC垂直平分線上的點，而過點F的直線有無數條，AC的垂直平分線不一定是EF，犯了“虛假理由”的錯誤.

3.2.3循環論證

循環論證是證明題中最容易出現的、也是最隱蔽的邏輯性錯誤.每個邏輯段由條件和結論構成，條件是已知或已證（前面邏輯段的結論）的語句，結論則是由公理或定理推理而得的新判斷，而循環論證就是把待證的結論當作了推理的條件.看似正確的證明過程實際上就是“雞生蛋、蛋生雞”的往復論證.其實，這種循環論證的背后也反映出學生對問題理解不深刻，基礎不扎實，推理論證能立薄弱.

4對幾何教學的幾點思考

熟知定理、證明規范、邏輯推理嚴謹是學生得分的關鍵.那么如何在幾何教學中做到這幾點，從而避免學生犯上述不必要的錯誤呢？可以從以下三個方面入手：

4.1立足課本，回歸基礎知識

從試題解答暴露出的問題可以看出學生的基礎掌握不扎實，而不是技巧應用困難.幾何中涉及的概念、性質、定理較多，知識點之間的聯系也比較緊密.基礎不扎實的學生，在考試極度緊張的環境下，很容易因知識掌握不牢而導致邏輯混亂、表述不嚴謹.因此，在平時的教學中，無論是概念、命題教學還是解題訓練，都必須緊緊圍繞基礎知識去展開.在平時的練習中要注意歸納和概括，幫助學生梳理知識形成系統，對幾何的知識點準確把握，掌握對一類題目的常規解法，熟記定理中的每一個條件，切勿為追求進度效率而忽視部分學困生，也切勿過于追求解題技巧而忽視課本基礎知識.

4.2規范表述，合理劃分步驟

在幾何教學中，很多數學老師只注重畫圖分析、培養學生解題能力與技巧，卻往往忽視了對學生答題規范性的培養和訓練，久而久之，學生就誤認為題目只要解出來、證出來就行，過程怎么表述也就無所謂，最終導致學生在考試中“會做而不得分”. 因此，合理劃分步驟、規范表述在幾何教學中非常重要.比如，在平時訓練時，教師要教學生學會劃分解題步驟，理清邏輯段之間的順序，并且對有效得分點做重點訓練，使學生明確哪些步驟是可省的，哪些是一定不能省的，在做題時盡量按得分點、按步書寫，嚴格訓練；再比如，為了避免出現“筆誤”，教師在平時批閱作業和試卷時，一定要嚴格要求學生，不姑息字母、數值、數學符號等一些看似不起眼的錯誤，這樣學生逐漸就會意識到規范證明的重要性，意識到唯有解題規范，思維的軌跡才能顯現清楚，做到“言之有理，落筆有據”.

4.3縝密思考，強化推理論證

養成“縝密思考，嚴格推理論證”的習慣應當作為幾何教學的關鍵和落腳點.然而，在學習過程中，學生很容易出現邏輯上的錯誤，因為這類錯誤往往隱蔽性強，而且不易察覺，比如循環論證、主觀臆斷、因果倒置等.那么如何才能做到縝密思考，嚴格論證，推理嚴謹呢？可以考慮采用“曝光法”.即教師在平時改作業時，把學生的典型邏輯錯誤曝光在黑板上，讓學生發現錯誤，糾正錯誤，并給出正確的解題步驟，最后讓學生反思“如何避免這類錯誤”.久而久之，學生就會潛移默化地在尋找證據時采取嚴肅認真的態度，養成嚴格論證的習慣，進而強化學生的推理論證基本功.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.