“結(jié)構(gòu)化”認(rèn)知呈現(xiàn)，“后建構(gòu)”課堂提升

劉玉 周同全

一、教學(xué)目標(biāo)

復(fù)習(xí)三角函數(shù)知識點，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)；利用三角函數(shù)解決實際問題。

二、教學(xué)重點

判斷一個三角形是否可解。

三、教學(xué)片段

1.情境再創(chuàng)設(shè)，促進認(rèn)知結(jié)構(gòu)化

師：同學(xué)們每天到教室都要爬樓梯，我們前面學(xué)過，可以用數(shù)學(xué)中的什么量來表示樓梯的陡峭程度？

生1：可以用斜坡與水平面的夾角來表示。角度越大，樓梯越陡。

師：最近我們還學(xué)過哪個量可以用來表示坡的陡峭程度？

生2：三角函數(shù)。

師：具體是哪一個三角函數(shù)？

生3：正切。正切值越大，角度就越大，坡也就越陡。

師：說得非常正確。今天，我們一起來回顧三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與實際生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界。

2.概念再梳理，促進知識結(jié)構(gòu)化

問題1：沿著一條上山直道行走，每前進100m，上升的高度為50m。（1）這條直道的坡度為? ? ? ? ? ? ? ? ；（2）求坡角的正弦、余弦；（3）坡角度數(shù)為? ? ? ? ? ? ? ? 。

師：解決這個問題，我們首先要做什么準(zhǔn)備工作？

生4：畫圖，求出另一條直角邊的長度。

師：請同學(xué)們畫好圖，并由第一小組同學(xué)來回答。

生5：坡度是坡角的正切，即[BCAC]，等于[33]。

生6：坡角的正弦是[ACAB]，等于[12]。

生7：坡角的余弦是[ACAB]，等于[32]。

生8：坡角是指斜坡與水平面的夾角，因為坡角的正弦為[12]，所以坡角是30°。

師：很好，我們來看第二題。

問題2：如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=20，sinA=[35]，過點C作CD⊥AB于點D。

師：BC的長度怎么求呢？

生9：直接利用三角函數(shù)來求。因為在Rt△ABC中，AB=20，sinA=[35]，所以BC=12。

師：借助直角三角形，我們可以用三角函數(shù)求線段長。tan∠ACD該如何求呢？

生10：借助Rt△ACD，求出AD、CD即可。

師：AD、CD分別如何求？

生11：可以利用勾股定理先求出AC，然后用等積法求出CD，再用勾股定理求出AD即可。

師：有沒有同學(xué)有其他想法？

生12：因為∠B和∠ACD相等，所以可以求∠B的正切，這樣只要求出AC就可以了。

師：兩位同學(xué)給出了兩種不同的方法，也就是說我們求一個角的三角函數(shù)值，可以直接求，也可以找一個與其角度相等的角替換。比如本題，我們用的是同角的余角相等。那么，兩種方法分別在什么時候用呢？

生13：我覺得當(dāng)一個角的三角函數(shù)不易求時，可以將其轉(zhuǎn)化成相等的角來求。

師：那你能想到的轉(zhuǎn)化方式有哪些？

生14：同角的補角相等；由平行線得角相等；同弧所對的圓周角相等。

師：還有補充的嗎？

生15：全等、相似中，對應(yīng)角相等。

師：同學(xué)們考慮得非常全面，這都得益于你們平時的積累和反思。現(xiàn)在，我們再來看第三個問題。

問題3：如圖3，為測量建筑物AB的高，現(xiàn)在地平面上取一點C，測得A點的仰角為45°，再向前走20m，取一點D，D在BC延長線上，測得A的仰角為30°，已知測量儀高1.5m，求AB的高。

師：哪個角是45°？哪個角是30°？

生16：∠AEG=45°，∠AFG=30°。

師：能直接求出AB嗎？

生17：不能，要分成兩段，即AG和BG。

師：AG能直接求出嗎？

生18：不能。我們可以設(shè)AG為x，通過三角函數(shù)表示出EG和FG，進而表示出EF，這樣就能構(gòu)建關(guān)于x的方程，從而求出AG。

設(shè)計意圖：從簡單問題入手，讓學(xué)生體會解決三角函數(shù)問題必須借助直角三角形；利用不同方法求解，提高學(xué)生的解題技巧，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和直觀想象力；回顧一些基本圖形、解決策略，利用觀察、畫圖、計算等，使核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正在課堂中發(fā)生。

3.方法再運用，促進技能結(jié)構(gòu)化

師：以上問題我們都是借助現(xiàn)成的直角三角形來解決的。如果在非直角三角形中，我們又該如何解決呢？請大家看題。

問題4：如圖4，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=[18]，求BC。

師：BC不在直角三角形中，如何求呢？

生19：可以構(gòu)造直角三角形。

師：如何構(gòu)造？

生20：過點C作AB的垂線CH，把BC放在直角三角形BCH中求。

師：能求嗎？我們講過，解直角三角形要知道除直角外的兩個元素，而且至少要有一條是邊，條件告訴了我們tan∠B=[18]，那BH或CH能求嗎？

生21：不能。可以過點A作AH⊥BC。

師：能說說你的理由嗎？

生21：這樣可以把∠B放在Rt△ABH中，∠C的補角是30°，在Rt△ACH中，我們可以先求AH、CH，再求出BH，從而求出BC。

師：那請同學(xué)們順著他的思路求BC。通過分析、求解這題，你對于求非直角三角形中的線段，得到了哪些經(jīng)驗？

生22：要把非直角三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形。

師：怎么轉(zhuǎn)化？

生23：過頂點作對邊的高。

師：任何頂點都可以嗎？

生24：不能破壞題中的特殊角。

師：怎么才能做到不破壞？

生25：過非特殊角的頂點作高。

師：你認(rèn)為哪些角是特殊角？

生26：30°、45°、60°。

師：還有嗎？

生27：還有已知三角函數(shù)的角和一些鈍角，如120°、135°、150°。

師：這些角怎么用呢？

生28：我們可以用它們的補角。

師：剛才同學(xué)們分析得非常到位。對于非直角三角形，我們有了處理的策略，那在四邊形中又該如何求線段的長度呢？

生29：轉(zhuǎn)化成三角形……

設(shè)計意圖：教師通過提出問題串，提升學(xué)生的解題技能，讓學(xué)生明確解斜三角形需要知道三角形的三個元素（至少有一條是邊），培養(yǎng)學(xué)生的模型思想和轉(zhuǎn)化思想。

四、教學(xué)反思

課堂是師生共同完成的一項勞動，而這項勞動成功與否，師生關(guān)系是關(guān)鍵。體驗式學(xué)習(xí)是以“后建構(gòu)主義”理論為指導(dǎo)的，其成效尤其顯著。但是，在實踐中，教師常常不能很好地把握課堂教學(xué)時間，不能讓學(xué)生自由地表達(dá)意見。因此，教師需要運用各種教學(xué)手段構(gòu)建一個高效的數(shù)學(xué)課堂，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，從而提高課堂效率。此外，在課堂上，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生進行思維分析，剖析典型問題，使學(xué)生積累經(jīng)驗，以解決問題。教師在選擇“材料”，創(chuàng)設(shè)體驗場景時，要注重學(xué)生思維的深度生長。

教育是一個長期奮斗、不斷優(yōu)化的認(rèn)知過程。因此，在今后的教學(xué)發(fā)展中，教師要不斷地尋求有效的教學(xué)策略，主動建構(gòu)學(xué)生的主體意識，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

（作者單位：1.江蘇省江陰市夏港中學(xué)；2.江蘇省無錫市太湖格致中學(xué)）

本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“基于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的初中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)實踐研究”（課題編號：D/2021/02/688）；江蘇省現(xiàn)代教育技術(shù)研究2022年立項課題“信息技術(shù)背景下的初中后建構(gòu)課堂教學(xué)策略研究”（課題編號：2022-R-100847）階段性研究成果。