基于問題串的代數推理教學實踐

謝蓓蓓

一、教學目標

經歷探索一元二次方程的根與系數關系的過程，了解一元二次方程的根與系數的關系；初步運用一元二次方程的根與系數的關系解決簡單的問題；在觀察、實驗、猜想、歸納、證明的過程中，感悟由特殊到一般、類比、分類討論等數學思想，積累代數推理的經驗。

二、教學重難點

重點：經歷探索一元二次方程的根與系數關系的過程，加深對一元二次方程及其根的認識。難點：通過思考、交流等活動，感悟數學思想，積累代數推理的經驗。

三、教學過程

1.提出問題，明確目標

問題1 由方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根由系數a、b、c決定，反映了根與系數之間有著緊密的聯系。一元二次方程的根與系數之間的聯系還有其他的表現方式嗎？你是怎么研究這個問題的？

設計意圖：教師提出問題，明確本節課的研究內容，引導學生利用已有的經驗進行觀察和思考。

2.合情推理，發現結論

問題2 請同學們嘗試寫出一些不同類型的一元二次方程的一般形式，求出x1、x2，并觀察兩根之間的關系和a、b、c之間有何聯系？寫出你的猜想。

教師在此環節需要留出足夠的時間讓學生自主探索。學生可能有以下生成：①x2=0；②x2-4=0；③x2+x=0；④x2-2x=0；⑤x2-8x+15=0；⑥x2-2x-1=0；⑦2x2-5x+3=0；⑧2x2-4x-1=0等。

追問1：你可以用什么方式更清楚地呈現它們之間的關系？

追問2：觀察方程中的x1+x2和x1x2的運算結果，與之前的猜想有什么不同？你認為產生偏差的原因是什么？你能改進之前的猜想嗎？

追問3：新的猜想對前6個一元二次方程還成立嗎？對其他的一元二次方程也成立嗎？

設計意圖：一個嚴格的推理過程一般應包括從合情推理到演繹推理的全過程，但是以蘇科版數學九（上）教材為例，這一閉環并未形成。教材中直接呈現5個具體的方程，讓學生分別寫出方程的兩根、兩根之和、兩根之積。這樣的方式跳過了演繹推理的過程，學生直接通過具體的數值得到定理，失去了探索的價值。

學生描述自己思考和猜想的過程可能是雜亂無章的，因此，教師可以通過追問1，引導學生利用表格從無序走向有序，讓思維可視化。

學生在觀察①②③④⑤⑥時，根據a=1容易產生x1+x2=-b和x1x2=c的猜想，因此，教師可暫時保留學生猜想，讓學生繼續探索⑦⑧兩式，得到⑦中x1+x2=[52]≠5，x1x2=[32]≠3，⑧中x1+x2=2≠4，x1x2=-[12]≠-1，從而證明上述猜想并不成立，啟發學生的深度思考。

通過追問2，學生比較⑦⑧中x1+x2和x1x2的運算結果和之前得到的猜想，易發現運算結果中多出了分母2。再觀察①②③④⑤⑥和⑦⑧的區別，進而得到新的猜想：x1+x2=-[ba]，x1x2=[ca]。

追問3的提出，一方面讓學生意識到之前錯誤猜想產生的原因，另一方面也讓學生的推理更具有嚴謹性，形成思考的閉環。學生的舉例是有限的，此時教師可以利用幾何畫板等信息技術手段，讓a、b、c不斷變化，舉出更多的例子。此時學生可以直觀地發現，在誤差允許的范圍內，對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1、x2，存在以下關系：x1+x2=-[ba]，x1x2=[ca]。

3.演繹推理，證明結論

問題3 我們發現一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1、x2存在以下關系：x1+x2=-[ba]，x1x2=[ca]。你能證明這個結論嗎？

追問4：這個問題的條件是什么？結論是什么？由條件和結論你能想到什么？說說你的想法。

追問5：你能寫出證明的過程嗎？

設計意圖：這是本節課的第二個重要環節。教師引導學生從感性走向理性，從猜想走向證明，從合情推理走向演繹推理。利用追問4，教師幫助學生審清題意，緊扣條件和結論，引導學生產生盡可能多的聯想，感受代數推理和幾何推理的共通性。類比合情推理時通過計算得到結果的方法，大多數學生會利用求根公式求出x1、x2，再計算x1+x2和x1x2，從而得到結論，此為想法（1）。由上節課“一元二次方程的解法——因式分解法”的知識可知，一元二次方程ax2+bx+c=0可以寫為a（x-x1）（x-x2）=0的形式。再將a（x-x1）（x-x2）=0變形為ax2-a（x1+x2）x+ax1x2=0，通過與原方程各項系數對比得到結論，此法記為想法（2）。由條件知，x1、x2均滿足一元二次方程ax2+bx+c=0，故想到將根代入原方程，得到方程組[ax21+bx1+c=0，①ax22+bx2+c=0。②]觀察結論，根據x1+x2和x1x2的式結構，學生容易聯想到完全平方公式或者平方差公式，進而將方程組中①和②相加或相減，再進行等式變形得到結論，此為想法（3）。

如果學生想不到后兩種方法，教師可繼續追問“上節課我們知道一元二次方程ax2+bx+c=0可以寫為a（x-x1）（x-x2）=0的形式，你還有什么新的思路”以及“根據方程根的意義，得到[ax21]+[bx1]+c=0和[ax22]+[bx2]+c=0，能否進一步得到根與系數的關系”，以此引導學生從不同角度進行思考，培養思維的靈活性、多樣性。

4.跟進練習，及時反饋

練習1 若x1、x2是下列方程的兩根，請求出x1+x2以及x1x2的值。

（1）x2+2x-5=0；（2）3x2-2x=0；（3）3x2+x=1。

練習2 若方程x2-mx-2=0的一個根為1，求另一個根和m的值。

設計意圖：通過課堂練習及時反饋學生的學習效果。練習1中的（1）（2）可以直接利用本節課知識求解，（3）則需要先轉化為一般形式后才可以求解，這也是學生的易錯點；練習2中求m的值和另一根時，既可以利用本節課知識，也可以將m的值進行代入，再解方程。通過對比兩種方法，學生能夠感受到解題的多樣性，體會如何優化方法。

5.回顧反思，文化滲透

問題4 回顧本節課知識，你有哪些收獲？

追問6：一元二次方程的根與系數的關系是什么？應用一元二次方程的根與系數的關系時要注意什么問題？本節課你學到了代數推理的哪些方法？

追問7：你還有什么疑惑？

設計意圖：學生通過回顧本節課的內容，把握本節課的核心，體驗數學活動過程的探索性，發展自身歸納和概括能力。學生可能會提出疑惑：如果一元二次方程沒有實數根，那么根與系數的關系是不是就不存在了呢？教師此時可向學生介紹韋達定理，引導學生在課后閱讀韋達定理的相關內容，感受其對代數學的巨大貢獻，增強學科育人的價值。

四、教學反思

1.多種方式呈現，讓代數推理變得直觀

數學課堂是學生思維生長的場所。本節課一開始就以問題1為主線，引導學生借鑒以往的學習經驗進行思考，讓學生從特殊情況入手。在課堂教學過程中，學生所舉的例子以及書寫的方式是雜亂無章的，而教師則需要通過問題串的設置，引入表格，讓學生的描述更加規范，讓學生的思維可視化。同時，借助信息技術手段，使得運算結果得以以動態的形式直觀呈現，給學生以視覺沖擊，最終引導學生歸納并得到結論。

2.多種角度探索，讓代數推理變得廣闊

從活動經驗看，學生可以從特殊情況入手，進行合情推理，發現結論，再利用演繹推理證明結論；從學習經驗看，學生比較容易得到運算后的結論，但是比較缺乏等式變形的經驗。通過問題3中的問題串，教師引導學生關注條件和結論、式子的結構、變形的依據，從因式分解法解一元二次方程、方程根的意義、乘法公式等角度進行等式變形，讓條件與結論逐漸靠攏；從不同角度發展學生代數推理的能力，培養思維的靈活性、多樣性與廣闊性。

3.多種思想碰撞，讓代數推理變得豐滿

數學思想方法是數學的本質，是形成數學思維能力的必要因素。知識的積累固然重要，但是思想方法才是數學的內在體現。通過問題串，教師引導學生從字母到數字，再從數字到字母，體會特殊與一般的關系，增強學生的符號意識，培養學生的抽象能力。與教材平鋪直敘不同的是，問題2、問題3以及追問能夠幫助學生經歷數學結論的發現、論證的過程，讓學生能夠更有條理、更有邏輯地表達其思維過程，感悟數學的嚴謹性，體會代數和幾何推理的共通性，培養理性精神，發展核心素養。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區麒麟初級中學）

本文系江蘇省中小學教學研究第十三期課題“發展初中生代數推理能力的實踐研究”（課題編號：2019JK13-L017）階段性研究成果。