數學知識“源”與“流”的實踐探究
——例談小學數學前置性探究學習單的設計思路

☉呂 晶

“源”是指數學問題的本質，數學學科有一套嚴謹的數學體系，知識和知識之間存在關聯。學生從本質上把握數學問題，能夠找到解決問題的方向；“流”是指延伸數學問題，學生需要從解決數學問題中延伸到新知識、新方法、新思維。將“源”和“流”整合在一起，學生就能夠有效地完成前置性的學習。

一、找準知識的“源”與“流”，有利于知識的承前啟后

學生學習到的數學知識是不斷擴展的。如果教師引導學生結合以往的知識，逐漸延伸學習，學生便會覺得新知識是可以理解的。以往學過相關的知識是數學知識的“源”，當下學到的知識是新知識的“流”［1］。下面以學習《認識負數》為例來具體闡述。

（一）初步感知

初步感知，就是讓學生結合自己的感覺來預判。部分學生在學習數學時有一種錯誤的認知，他們認為自己只有學習了新理論，才能解決新問題；反之，沒有學習新理論就不能解決問題。他們沒有意識到數學學科來源于生活，它與生活有相通之處。學生需要結合自己的直覺、生活經驗對數學問題進行簡單的預判。當學生發現可以通過生活經驗和直覺完成預判后，他們會產生學習成就感。如此題：請觀察以下的數，分析哪些是正數、哪些是負數：-8、3.6、0、-5.5、+100、-90。引導學生遷移以前的知識來分析問題，學生學習過自然數、正整數和0 相關知識，觀察數字的特征，學生很快發現前面帶著“-”的數都是陌生的數，它們都可能是負數。這是結合舊知發現新知的教學方法。

（二）歸納知識

學生可以結合具體的案例，來歸納案例中共同的特征，在歸納和總結的過程中，學生能夠發現新知，并對新知的特征有一個簡單的概念。教師引導學生從案例中歸納新知的過程，就是培養學生科學思維、提升思維水平的過程。學生在歸納知識的過程中，可以感受到學習數學的過程可以不必是被動接受新知的過程，而可以是主動思考、獲得新知的過程。如：正數和負數在表示上有什么區別？引導學生觀察新知，歸納總結它們的共同特征。學生發現負數的特征就是在以前學過的自然數前增加一個“-”號。在教學中培養學生歸納總結的思維能力，學生發現憑借思維就能夠發現及學習到新知，他們能夠產生學習自信心。

（三）聯系生活

如果學生對知識的理解僅限于理論的層面，那么學生可能不能理解知識的實際意義。為了讓學生理解知識的內涵，教師需要引導學生發現新知在生活中的應用，然后結合生活問題來理解新知。通過引導學生聯系生活，學生也會發現新知在生活中的應用，學習新知是有價值和意義的，學好新知能幫助自己優化生活。如：結合你自己的生活談談對負數的理解，你生活中有負數嗎？從數感出發說說負數？剛開始學生不知道如何聯想生活中的負數。教師引導學生從生活中常用的正數問題出發，思考正數中有沒有負數的運用。通過思考，學生發現在記帳本時有正數也有負數，在統計溫度時有正數也有負數。結合這些生活的案例，學生意識到負數一定比正數小。

（四）辨析概念

有時學生在學習時，沒有意識到一些易混淆的概念，教師需要讓學生從辨析這些概念出發，進一步梳理概念的形成。對于部分學生而言，他們難以獨立完成概念的辨析，學生可以在學習時和同學探討，各自說明自己的想法和意見，學生發現了學習難點以后，他們可以在課堂上重點關注這一知識點，從而使教師的課堂教學能提高效率。

（五）規范知識

當學生完成了知識探索以后，教師需要引導學生應用以往的知識框架來建立新知識的框架，學生通過遷移學習，能夠發現知識和知識之間的關聯，他們能夠從學習舊知識的基礎上理解新知識，從而降低了知識理解的難度。如：結合正數的定義、寫法、讀法歸納出負數的定義、寫法、讀法，引導學生梳理知識，結合以往學習的正數知識框架，來分析負數的定義、寫法、讀法，將負數知識體系納入到數字分類的體系中。建立了全新的知識框架以后，學生就能應用這套框架來詮釋與辨析數學問題。

二、看準知識的“源”與“流”，引導學生類化研究方法

以往的學習成果，就是學生的“源”，而結合以往的學習成果來探索新知，就是學生的“流”，做好“源”與“流”的銜接，學生會發現數學知識的內涵是存在延伸性的，在學習時，只要發現知識的內容就能做到“一理通、百理通”［2］。下面以學習《運算律》為例。

（一）優化問題引導，發現問題本質

在引導學生學習新知以前，教師需要通過設計問題讓學生發現以往學習的舊知本質是什么。教師引導學生回顧舊知，學生可以通過教師的引導發現自己的知識結構是否完善。幫助學生打好學習基礎，是教師引導學生學習新知的重要環節。如下圖1：

圖1

問1：看到圖1，你能不能說說這是個什么數學問題？你生活中有這樣的數學問題嗎？

引導學生把數學問題與生活聯系起來，讓學生遷移以往學過的數學知識，把數學問題編寫成應用題。這是引導學生應用數學語言呈現數學問題本質的方法。

問2：請分析應用題中的已知條件和未知答案，畫出線段圖，列出算式。

教師引導學生應用數學語言、圖形、數學模型來分析生活中的數學問題，使數學問題的本質理解得更加深刻。

（二）借助探究經驗，鼓勵探究新知

在引導學生學習新知識時，教師需要引導學生基于以往的舊知經驗來理解現在面對的是一個什么數學問題，然后在以往的學習基礎上應用數學語言完成新知的描述。過去學生在探究舊知時，曾經完成過探究學習，積累過探究經驗，教師需要引導學生基于以往的探究經驗來探究新知。如下圖2：

圖2

問1：參看圖2，結合圖1 的學習，你能不能夠說說這圖2 中反映了什么數學問題？能探索出一個什么數學規律？

引導學生回顧圖1 中兩個問題的學習，通過遷移學習，發現數學問題的本質就是?＋25 ＝60；35 ＋?＝60。

問2：請結合你的學習經驗推測，將加法的兩個因子交換，和會不會發生變化呢？

教師引導學生在理解數學問題本質的基礎上進行推測。學生應用假設的方法，得出結果，學生在假設的過程中會產生學習好奇心，自己的假設結果是對的嗎？學生的疑問驅使學生進行學習。

問3：你能不能應用生活中的教學用具來完成計算呢？請結合以往的學習經驗用教學用具來說明算理。

學生得到假設以后，教師要鼓勵學生應用教學用具探索。在教師的引導下遷移以往的實踐，以團隊合作的方式開展探索活動，在探索的過程中，學生通過實踐，從算理的角度理解了加法交換律。這一環節是引導學生在具象化的環境中，結合自己的學習經驗解決具象化問題的環節。

問4：你覺得會出現以上規律，原因是什么呢？

教師引導學生交流自己探索得到的規律，不同層次的學生發現的規律可能不一樣。層次較低的學生只能夠應用學到的算理說明35 ＋25 ＝60 這個案例中，把加法因子交換以后，結果不變的原因。而層次較高的學生則可以結合算理總結出a ＋b ＝b ＋a背后的原理。還有一些學生甚至能結合自己的興趣及學習水平把它延伸到減法、乘法、除法探索中。學生回答的問題反映出他們的學習層次，教師鼓勵學生取長補短，共同提升學習層次。而教師可以從前置學習單中了解學生的層次，把它作為課堂上小組合作分層的依據，并針對學生的層次進行有針對性的引導。

三、找準知識的“源”與“流”，幫助學生開展實踐活動

教師在教學中可以引導學生應用以往的實踐經驗，這是知識的“源”，來解決當下的數學問題，這是學生需要延伸的“流”。學生在正式學習新知之前完成實踐學習，能夠探索出大量的新知［3］。下面以《長方形的周長》教學為例來具體闡述。

（一）任務設計

教師需要緊扣教學要求設計任務，教師需要在設計任務時，引導學生結合以往的學習經驗和實踐經驗分析任務的本質。如：畫出學校操場的平面圖，請參看這個平面圖形是什么形狀，結合以往測三角形的經驗，你知道它的周長計算方法嗎？教師引導學生分析數學問題的特征，分析數學問題的指象，雖然學生沒有學習過解決問題的理論，但是學生學習過以往類似的數學問題，學生可以借助以往的學習經驗來嘗試解決問題。而學生的嘗試性學習可以成為后續學習知識的依據。

（二）質量控制

以往學生在完成任務時，曾經掌握過數據質量控制的方法，教師需要在任務單中特別強調數據質量的控制。一方面是為了讓學生重視質量控制這個問題；另一方面也是為了讓學生從質量控制的角度著手，發現多種測量方法，從而使他們能夠在學習的過程中發揮想象力，應用多元視角來思考如何解決問題。例如，在計算的過程中，你覺得你能精確地測量出較長的直線距離嗎？請說說看你控制測量精度的方法。引導學生在思考問題的時候，從成本和精度兩個角度思考，自己能不能夠得到更多解決問題的方法，這些解決問題的方法和優勢是什么。例如，有一些學生會提出應用計步來估算操場的長與寬，也有一些學生應用在操場上插標竿，然后疊加計算每段標竿長度的方法完成計算。

（三）促進交流

學生在學習的過程中，如果充分交流，取長補短，那么他們的思維能力能夠得到提升，教師需要引導學生在完成任務的過程中，與他人交換任務完成的情況，發現自己的學習不足。例如，你與自己的同學交流過測量的結果嗎？你看到了幾種測量周長的方法？能不能說說這些測量方法的優勢和不足？在教師的引導下，學生交換了測量的結果，學生在交換的過程中分析如何評價測量的質量。學生從花費的時間、使用的人力、需要的設備、數據的精度來評價。有些學生看到了自己的數據與真實的數據差距太大，即意味著自己的數據質量控制存在著問題，自己需要重新測量；有些學生則看到了自己的數據精度雖然很高，卻在學習中動用了父母的力量，而假如沒有父母的力量介入，自己又如何完成任務，這些學生也開始了反思。

（四）呈現成果

學生需要結合自己的實踐說明理論。學生之間存在差異，有些學生只能夠結合具象化的實踐案例來簡單說明理論；而有些學生則通過發散聯想，思考下一步探索的方向。學生的實踐成果依然是教師調整教學方案、在課堂上予以針對性引導的依據。例如，結合你的實踐成果，說明長方形的周長應當如何計算？你還從實踐中發現了什么其他的知識嗎？請說明你的探索步驟。引導學生應用歸納總結的方法把具象化的數學式子變成抽象化的數學模式；引導學生遷移以往的學習框架，來形成新知的框架；引導學生辨析新知和舊知的聯系與不同。有一些學生通過這一次的實踐說明了長方形周長的計算方法就是測量出它的四條邊，然后讓長和寬相加；有一些學生則應用字母總結出測量公式：C ＝2（a＋b）；還有一些學生則發現長方形的周長增長與長和寬的增長是存在規律性的。此時學生開始分析，周長的增長與長和寬的增長存在哪些關系。

四、總結

前置性學習任務單就是要在明確教學目標的基礎上，借助學生的知識基礎、學習經驗、思維水平來嘗試性地完成新知學習，這是“源”與“流”的思考。結合這一前提，教師需要了解前置性學習單設計能否引導學生快速啟動學習程序，能否在進入學習狀態后有方法、有步驟地完成學習，以便為課堂學習打下良好的基礎。