模型主導新方向，雙向多維促發展

張楠 王瑾

【摘? ?要】教學“分數的意義”可以從分數的現實來源和數學內部來源兩方面引導學生探究分數的本質，為其后續學習分數的基本性質、四則運算及應用奠定基礎?；趯祵W文化教學資源的理解，對“分數的意義”的數學文化元素進行了相應的挖掘和處理，遵循“數學思考—數學創造—數學欣賞—數學應用”的模式開展教學，引導學生經歷以模型為核心，與實物、符號、言語實現多維轉化的分數意義的建構過程。在雙向互動和融會貫通中，學生的主體性在深度思考中凸顯，價值感在充分交流中彰顯，體現了數學文化的育人效能。

【關鍵詞】數學文化教學；分數的意義；模型思想；德育；智育；美育

【教學思考】

“分數的意義”是人教版教材五年級下冊“分數的意義和性質”單元的教學內容。在三年級的學習中，學生已借助直觀操作的方式，初步認識了分數、簡單同分母分數的加減、分數的簡單應用等內容。本內容從分數的現實來源和數學內部來源兩方面幫助學生理解分數的意義，從而為后續學習分數的基本性質、四則運算及應用奠定基礎。

教材從歷史的角度和現實生活中等分量的需要出發，生動形象地呈現了分數的現實來源。首先，以歷史發展為背景，介紹了分數的歷史起源：古人分物、測量時會借助繩結，當某長度無法用一個完整的繩結表示時，就產生了把一個單位等分成若干份再量的需要，分數就此產生。其次，結合學生熟悉的分蘋果、月餅和餅干等實際情境，提出一個物品分給兩個人無法得到整數結果，引出分數。然后，以[14]為例，結合幾何圖形、實物等，用言語描述分數的具體含義，幫助學生理解單位“1”與分數單位。最后，在“做一做”中設置了4道基本練習題：第1題鞏固對整體和單位“1”的理解；第2題和第3題鞏固用分數表示相應實物的具體含義的方法；第4題通過分數墻的直觀呈現，認識分數組成，鞏固分數單位。

基于對數學文化教學資源的理解，筆者對本內容中的數學文化元素進行了相應的挖掘和處理。教材呈現分數產生的歷史，可以向學生滲透愛國主義思想，屬于德育資源中的價值觀。教材從引導學生根據圖形說出[14]的含義擴展到讓學生根據實物說出對應分數，使學生能從現實問題中抽象出分數，并通過言語表述其含義，從而培養學生的數感、幾何直觀、符號意識等核心素養，在此基礎上再引導學生進行單位“1”與分數單位的學習，滲透數形結合、整體的數學思想，這些可以歸結為智育資源。另外，用分數符號表示分實物的過程，展現了分數的簡潔之美，屬于美育資源。

五年級學生對分數已經有了初步認識，但他們對數學概念的理解仍以感性經驗為主，因此在教學過程中，要讓學生經歷操作、觀察、比較、概括等數學活動。基于此，筆者綜合《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的“結合具體情境探索并理解分數的意義，感悟分數單位，進一步發展數感和符號意識”這一內容要求，制訂了本內容的教學目標。

1.德育目標：（1）深挖分數產生的史料，增強學生的民族自豪感，樹立良好的價值觀念；（2）帶領學生從實際情境出發，在“發現問題—提出問題”的過程中培育嚴謹的理性精神。

2.智育目標：（1）引導學生在具體的生活情境中感悟分數的意義，理解單位“1”與分數單位的含義，體會部分與整體的關系，幫助學生習得知識技能；（2）在探究分數意義的過程中，發展學生的數感、幾何直觀、符號意識及應用意識等核心素養。

3.美育目標：（1）借助分數符號表示分實物的過程，理解分數的意義，感受數學之簡潔美；（2）借助單位“1”的思想深化分數實質，解決實際問題，體驗數學的美好，體悟數學的美觀。

【教學過程】

v教學模塊1：數學思考

借用成語猜謎游戲引入分數，激發學生學習興趣。用教材給出的歷史素材，圍繞教學目標，介紹不同國家分數的發展歷程，展現數學的文化性與歷史性。回顧相關知識基礎，基于生活背景探究分數產生的緣由，感悟分數的實際意義。由此制訂了任務1和任務2。

任務1：以成語猜謎游戲初引分數，以有關分數產生的史料再識分數。

教師用課件出示圖1。

師：大家玩過成語猜謎游戲嗎？請你們用數學上的數來表示這些成語。

生：這些成語可以用分數來表示，分別是[12]、[78]、[1100]、[910]。

師：剛才大家都根據成語猜到了相應的分數，你學過哪些分數知識？

生：我知道分數的讀法、寫法，以及分數各部分的名稱。

生：我知道同分母分數的加減法。

［核心問題1］你們知道分數是怎么產生的嗎？為什么會出現分數？

（教師播放有關分數發展歷程的視頻）

師：通過觀看視頻，你知道分數是怎么產生的嗎？

生：在進行測量、分物或計算時，往往不能正好得到整數的結果，所以就要用分數來表示。

生：印度人和阿拉伯人表示分數的方法和我們現在的表示方法非常相似。

生：我國古代勞動人民真厲害！印度人和阿拉伯人都是在我國古代勞動人民的智慧上完善分數的表示方法的。

任務2：基于已有認知感悟分數價值，感受分數的實際意義。

師：你知道哪些分數？

生：[136]、[210]、[7100]……

師：你能說說[7100]的意義嗎？

生：把一個物體分成100份，取其中的7份。

生：要平均分。把一個物體平均分成100份，取其中的7份，才是[7100]。

實施效果：以成語猜謎游戲引入，在體現學科融合的同時，成功調動了學生學習的熱情。借助視頻介紹分數的發展歷程，學生感受到了我國輝煌的數學史成就，激發了繼續探究分數的興趣。引出三年級學習分數時的分物情境，建立知識的前后聯系，幫助學生找到了分數意義的生長點。

v教學模塊2：數學創造

分數意義的學習并非只有“分實物—言語表述”這一單一走向，因此，本模塊以教材展示的言語表達為基礎進行了二度創造。以[14]為例，引導學生通過“分實物—分數表示—模型提煉”的過程，體會同一分數可以表示多種分物過程，體現模型提煉的必要性，滲透整體思想，感悟單位“1”，由此制訂了任務3和任務4。

任務3：通過實物操作，體會同一分數表示多種分物過程，初感模型思想。

師：把一張正方形紙片平均分成2份，每份用分數怎么表示？

生：[12]。

師：把一張正方形紙片對折再對折，打開后，每份是這張正方形紙片的幾分之一？

生：[14]。

師：現在請大家拿出準備的物品，通過分一分、折一折等操作表示出分數[14]。

（學生動手操作，用紙片表示[14]并分享展示，教師巡視指導）

生：把一張正方形紙片沿對角線對折兩次，平均分成4個三角形，每一個三角形是其中的[14]。

生：把一張圓形紙片平均分成4份，每份都是這張圓形紙片的[14]。

生：把8顆糖平均分成4份，每份就是這堆糖的[14]。

師：老師想在黑板上表示出分糖的過程，但是畫糖有點麻煩，有什么好辦法嗎？

生：可以用小圓圈來表示這些糖。把8顆糖平均分成4份，2顆糖是1份，用分數表示就是[14]。

師：同樣把16個正方體積木平均分成4份，每份都是[14]。通過剛才的分一分、擺一擺，你發現了什么共同點？

（小組討論分物過程中存在的共同點，教師巡視傾聽）

生：都是把物品平均分成4份，其中的1份用[14]表示。

任務4：通過實物操作提煉模型，滲透模型的簡潔美，感悟整體思想。

［核心問題2］在分物的過程中會把這些物品看成一個整體，“整體”的具體概念是什么呢？

教師課件出示：一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體。把這個整體平均分成若干份，其中的一份或幾份都可以用分數表示。

師：一個計量單位是什么意思？

生：表示1米、1千克等。

師：前面所舉的例子中，既有一個物體的[14]，又有一些物體的[14]。這些不同的表示方法有什么共同點？

生：都是把一個整體平均分成4份，每份都是這個整體的[14]。

師：這個整體，在數學上叫作單位“1”。

師：把8顆糖平均分成4份，這里的單位“1”是什么？

生：單位“1”是8顆糖。

實施效果：學生在折紙、分糖等操作活動中，直觀感受到了同一個分數可以表示不同的分物過程。在教師的引領下，實現了“實物—模型”的轉化，強化了模型意識。通過具體到抽象、特殊到一般的過程，學生感悟到“可以把一個或一些物體看作一個整體”，實現符號到言語的轉化，并通過師生交流、概括，理解單位“1”的概念，滲透整體思想，實現“習得知識技能”“發展核心素養”“滲透思想方法”的智育目標與“感受美觀”的美育目標。

v教學模塊3：數學欣賞

基于對單位“1”概念的初步理解，圍繞教學目標，使用教材分糖情境，設計分物互動活動，幫助學生深刻理解單位“1”不同，即使平均分的份數相同，每一份也會有所不同，并通過小數單位的類比，引出分數單位，強調知識的前后聯系，由此制訂了任務5和任務6。

任務5：通過實物、言語、模型多維轉化，深化模型思想，鞏固知識。

任務6：通過分物互動活動理解單位“1”，促進分數的意義的全面理解。

師：現在有一些糖，想分給A同學12塊糖的[14]，分給B同學8塊糖的[14]，你們覺得這樣分公平嗎？為什么？

生：他們分到的不一樣多，這樣不公平。

師：他們分到的都是[14]。

生：可是他們分糖的基礎不同，分到的糖數就不一樣。A同學分到3顆，B同學分到2顆。

師：分糖的基礎不同，用剛才學習的知識可以怎么說？

生：雖然都是平均分成4份，但是單位“1”不同，每份的數量就會不同。

師：有一堆糖，一共12顆，平均分成2份和3份，每份分別是這堆糖的幾分之幾？

生：[12]和[13]。

師：兩種方法分到的糖數相同嗎？為什么？

生：不同。雖然單位“1”相同，但分成的份數不同。

師：如果把這一堆糖平均分成3份，其中的2份是幾分之幾？

生：[23]。

師：[23]里面有幾個[13]？

生：有2個。

師：這讓你想起了哪些數學知識？

生：我想起了小數，小數0.5里就有5個0.1，0.1是0.5的計數單位。

師：類比小數計數單位，你有沒有一些大膽的猜想呢？

生：[13]是[23]的計數單位，[16]是[56]的計數單位。

師：分數和整數、小數一樣，也有自己的計數單位，叫作“分數單位”。誰能來說一說，什么是“分數單位”？

生：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數叫作“分數單位”。

師：[611]、[58]、[7100]的分數單位是多少？它有幾個這樣的分數單位？

生：[611]、[58]、[7100]的分數單位分別是[111]、[18]、[1100]，里面分別有6個、5個、7個這樣的分數單位。

［核心問題3］聯系我們剛剛學習的知識，能說一說分數的意義嗎？

師：你能完整地說一說分數的意義嗎？

生：把單位“1”平均分成若干份，其中的一份或幾份都可以用分數來表示。比如把10顆糖平均分成5份，每份可以用[15]表示，其中的3份可以用[35]表示。

師：誰是單位“1”？

生：10顆糖是單位“1”。

實施效果：在分物的互動活動中，學生理解了由于單位“1”不同，同一個分數符號所表示的意義也不同，并通過小數計數單位的類比，成功習得分數單位，由此對分數概念的本質屬性有了全面理解，實現了“習得知識技能”“發展核心素養”的智育目標和“體驗美好”的美育目標。

v教學模塊4：數學應用

現實生活中蘊含著大量與分數有關的問題。為了鞏固學生對本節課內容的理解，拉近數學與生活的距離，圍繞教學目標，將分數與生活相聯系，有意識地引導學生利用分數的意義解釋現實生活中的現象，由此制訂了任務7和任務8。

任務7：從生活出發，拓展分數意義的應用，夯實學生的新知。

練習1：教材“做一做”第1～3題。

練習2：猜猜哪堆蘿卜多。

任務8：回顧總結，提煉知識。

師：誰來和大家分享一下，這節課你收獲了什么？

生：我們學習了分數的意義、單位“1”和分數單位。

生：學習了什么是一個整體，發現用模型表示分物的過程會很方便。

師：除了這些可以直接解決問題的數學知識，這節課我們還感受了模型思想、整體思想以及數形結合思想等對數學學習的幫助。課上用到了很多紙片，課后同學們要合理利用它們，節約資源。

師：最后留一個思考題：古時候，有位老人得了重病，臨終前他立了一份遺囑，遺囑規定：3個兒子要按要求分配17頭牛，老大應得總數的[12]，老二應得總數的[13]，而老三只能得總數的[19]，牛要全部分完，不能殺牛分肉。請問：如何按遺囑的規定來分配？

實施效果：練習1的3道練習題為鞏固練習，使學生進一步理解了分數的意義。練習2是理解單位“1”的變式練習，使學生對分數的意義有了全面的認識。課堂總結中，引導學生從數學知識和數學思想兩方面對本節課進行回顧總結，并借助課后思考題來發散學生的思維，實現了“習得知識技能”“發展核心素養”的智育目標和“體悟數學美”的美育目標。

【教學意蘊解析】

這是一節通過“成語猜謎游戲—動手操作提煉模型—在分糖活動中理解單位‘1—歸納分數的意義”這一流程理解分數的意義的數學文化課。教師通過一系列教學活動，實現“實物—模型”的轉化，體現用幾何模型表示分數的優勢和簡潔美。

教師沿用教材的整體思路，在此基礎上對其進行二度創造，利用數學文化元素與資源，凸顯了本節課的獨特風格：（1）學生在數學活動中積累數學基本活動經驗。學生沉浸于探究活動中，在數學思考模塊，置身分數產生及演變的歷史，感受知識的產生過程；在數學創造模塊，通過折紙片和分糖等操作活動，提煉模型，感受數學的簡潔美；在數學應用模塊，解決與生活相聯系的問題，培養運用分數的意義解決實際問題的能力。（2）模型思想指引教學方向，實現了多維轉化。在探究分數的意義時，學生以模型為核心，經歷實物、模型、符號、言語多維轉化的數學化過程（實物→模型?符號、實物→模型?言語、模型?符號?言語），實現了對分數意義的全面理解。

學生在教師的引導下，由分實物操作活動建立數學模型，充分積累數學基本活動經驗，契合筆者提倡的數學文化內核。在“模型主導、雙向多維”的引領下，學生建立起了模型與符號、言語之間的雙向多維邏輯關系，實現對分數的意義的深度理解。教師給學生提供的積極主動的學習氛圍和機會，是數學文化內核效能的充分體現，有助于學生主體性的發揮。

（1.北京市順義區牛欄山第三小學

2.佛山科學技術學院）