抓住轉(zhuǎn)化 以不變應萬變

王奇彥

(昆山市實驗中學,江蘇 蘇州 215300)

數(shù)學思想是數(shù)學教學的精髓,培養(yǎng)學生的抽象思維和推理能力是初中數(shù)學課程的核心目標.在教學過程中,長期滲透數(shù)學思想,才能收到良好的教學效果.本文以初中數(shù)學教學內(nèi)容為載體,淺談筆者在教學中培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化思想的幾點體會.

1 在知識體系建構(gòu)中滲透數(shù)學思想方法

數(shù)學教材中的概念、法則、公式、性質(zhì)等知識都是有“形”的,而數(shù)學思想方法卻隱含在數(shù)學知識體系里,是無“形”的,關(guān)鍵是教師如何去發(fā)現(xiàn)、發(fā)掘教材中蘊含的思想方法.轉(zhuǎn)化思想作為最活躍、最常用的數(shù)學思想方法,在數(shù)學教學中進行推廣是必須的[1].

古往今來,數(shù)學知識從來都不是孤立存在的,而是一脈相承、緊密聯(lián)系的.數(shù)學知識和數(shù)學思想方法又是密不可分的,后者附著于前者而存在.初中生掌握的知識比較零散,初中數(shù)學教學更要幫助學生建構(gòu)思維體系,學會進行數(shù)學思考.筆者在教學過程中注重學生思維體系的構(gòu)建,注重學生解決問題策略的多樣化,并滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法.

例如,在用“邊邊邊”證明三角形全等的教學中,筆者讓學生根據(jù)已知條件畫出相應的三角形,教師在觀察學生作品的同時,提出問題:“我發(fā)現(xiàn)大家畫的三角形的大小和形狀都非常接近,是不是一樣的呢?”請部分學生看看其他同學所畫的三角形,回答老師的疑問,答案是肯定的.

另外,筆者請學生思考:采用什么方法可以說明大家畫的三角形是全等的呢?學生暢所欲言,有的說采用“邊角邊”的方法證明,有的說采用“角邊角”的方法證明,有的說采用“角角邊”的方法證明,也有的說利用疊合法,把幾位同學的三角形剪下來,看能否完全重合來判斷全等.對以上這些方法,教師應充分肯定和重點說明.之后,師生共同總結(jié)利用“邊邊邊”證明三角形全等的方法,完成證明過程的書寫,初步形成對本知識點的建構(gòu).最后,提問學生:“剛才我們探究三角形全等的判斷條件‘邊邊邊’的證明方法時采用了怎樣的數(shù)學方法呢?”學生舉手發(fā)言,師生共同總結(jié)出運用了轉(zhuǎn)化法、歸納法以及演繹推理等數(shù)學思想方法.

通過這樣的教學活動,學生有效掌握了數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能,提升了其合作交流、主動探索的能力,學生的思維體系不斷建構(gòu)和完善,學生有能力發(fā)散性地思考問題,交流數(shù)學知識背后的數(shù)學思想方法.將證明“兩個能夠完全重合的三角形稱為全等三角形”轉(zhuǎn)化為只要證明“兩個三角形三邊對應相等”即可,將實際情況可能無法操作的定義轉(zhuǎn)化為方便可行的判定定理.這就是轉(zhuǎn)化思想的魅力之處.當然,轉(zhuǎn)化不是解決數(shù)學問題的唯一方法,上述案例中還蘊涵了其他的思想方法.

2 化難為易——蘊涵在反比例函數(shù)中的“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化

恩格斯指出:數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學.初中生的抽象思維還不夠完善,在解決反比例函數(shù)與其他知識相結(jié)合的綜合性數(shù)學問題時,教師應嘗試用形象思維幫助學生理解與分析問題,在“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化中,完成對此類問題的探究.

圖1 例1題圖

教學中,學生讀完題目后,感覺無從下手.以下是筆者的教學實錄和體會.

教師:本題求什么?

學生1:k.

教師:k是什么?

學生2:反比例函數(shù)的比例系數(shù).

教師:同學們之前是怎么求的?

學生3:已知反比例函數(shù)圖像上一點的橫、縱坐標或滿足反比例函數(shù)解析式的一組x和y的對應值.

教師:一定要知道x與y各是多少嗎?還是知道某種關(guān)系就可以了?

學生4:不一定,因為反比例函數(shù)的第三種表達式是xy=k,只需求得一組x與y的積即可.

教師:其他同學贊同嗎?其他學生表示贊同.

通過提問逐步啟發(fā),學生明白了k的值等于符合反比例函數(shù)解析式的一組x與y對應值的乘積,將求k的問題轉(zhuǎn)化成了求一組x與y對應值乘積的問題,這是求解本題的關(guān)鍵之一.

教師:同學們能從題設中看出什么隱含的條件?

學生5:由AO=AB可知△ABO是等腰三角形.

學生6:△ABO的面積為12,為利用這一條件,需作△ABO的高.求三角形的面積需要作高.

學生7:點D是AB的中點,想到過點A作△ABO的高,過點D作x軸的垂線段DE,分別交x軸于點C和E.教師板書添加輔助線,如圖2所示.

圖2 添加輔助線后的圖形

教師:這樣添輔助線能幫助我們解決問題嗎?

3 實際問題數(shù)學化,在轉(zhuǎn)化中增強學生的數(shù)學應用意識

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》在基本理念中指出:“數(shù)學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具,能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進行計算、推理和證明,數(shù)學模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象.”重視數(shù)學知識的應用,加強數(shù)學與實際的聯(lián)系,是其強調(diào)的重點之一.在解決實際問題時,教師要引導學生重在分析,把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型,培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力[2].

例2 某氣球內(nèi)充滿了一定量的氣體,當溫度不變時,氣球內(nèi)氣體的氣壓P(kpa)是氣體體積V(m3)的反比例函數(shù),其圖像如圖3所示.

圖3 例2題圖

(1)你能寫出這個函數(shù)的解析式嗎?

(2)當氣球內(nèi)的氣壓大于140 kpa時,氣球?qū)⒈?為了安全起見,氣體的體積應不小于多少?

在本題的探討中,學生看到題設就知道是反比例函數(shù).有學生能準確地說出圖像是比例系數(shù)k>0時,反比例函數(shù)圖像位于第一象限的一支曲線.學生自然將其與反比例函數(shù)這一數(shù)學模型聯(lián)系在了一起.

教師:第一問怎么求?

教師:為什么這樣代入點A的坐標求出的k就是反比例函數(shù)的比例系數(shù)?

學生1:因為點A在反比例函數(shù)的圖像上,它的橫、縱坐標是滿足解析式的一組x與y的對應值.

教師:你們覺得呢?學生表示贊同.

教師:第二問有沒有關(guān)鍵詞,應該怎么做?

學生2:問題中含有“大于”“不小于”兩個關(guān)鍵詞,用不等式解決.

教師:其他同學跟他想法一樣嗎?有學生贊同.

教師:大家自己試著求一求.

學生3:按照題設列出的是不等式,還沒有學過.其他同學也遇到了困難.

教師:如圖3,y表示氣壓,從圖像上看,“氣壓大于140 kpa”表示哪一段函數(shù)圖像呢?體積呢?

學生4:從圖像上看,“氣壓大于140 kpa”表示縱坐標大于140 kpa時對應的部分函數(shù)圖像,即圖中所畫水平直線上方的部分函數(shù)圖像.為了安全,氣體的體積應該不小于水平直線與反比例函數(shù)圖像交點的橫坐標.

師生共同得出,水平直線與反比例函數(shù)圖像交點的橫坐標就是題目要求的安全體積的最小值.教師引導學生總結(jié)將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,用數(shù)學知識解決實際問題的思維過程,如圖4所示.

圖4 解決實際問題的基本思維過程

本案例中,學生與教師共同探討,交流互動,遇到困難時能迎難而上,探尋正確的方法.最后還能總結(jié)實際問題與數(shù)學問題之間的關(guān)系,豐富了學生數(shù)學學習的維度,讓學生經(jīng)歷數(shù)學交流與反思的過程,總結(jié)轉(zhuǎn)化的數(shù)學思維方式,逐步建構(gòu)起數(shù)學思維體系,將數(shù)學知識真正運用于實際生產(chǎn)生活中.

正如著名的數(shù)學家喬治·波利亞所云:“完善的思想方法猶如北極星,許多人通過它而找到正確的道路.”在平時教學中,我們要努力挖掘數(shù)學知識中所蘊涵的轉(zhuǎn)化思想及其它數(shù)學思想,把握運用數(shù)學思想解決問題的機會,增強學生主動運用數(shù)學思想的意識,提高學生的數(shù)學能力,提升學生的數(shù)學素養(yǎng),促進學生的全面發(fā)展.