Wolfram Alpha在常微分方程教學過程中的應用

摘要：常微分方程作為一門重要數學類專業課，具有理論性和應用性強的特點。由于該課程教學偏向于理論，學生在傳統的教學模式中容易混淆并感到枯燥乏味。Wolfram Alpha是一款計算知識引擎，囊括了符號運算、科學計算和圖像繪制等功能。該文試圖通過引入Wolfram Alpha到課程教學中，以求解析解和數值解為例，讓復雜的教學過程簡單化，調動學生的動手能力，提高學生興趣，使學生容易掌握知識難點，體會到數學方法的魅力所在。

關鍵詞：Wolfram Alpha 常微分方程 解析解 數值解

中圖分類號：G642;O1-4? ? 文獻標識碼：A

Application of Wolfram Alpha in the Teaching Process of Ordinary Differential Equation

ZHAO Zhiguo

（Henan Institute of Technology， Xinxiang， Henan Province， 453003 China）

Abstract： As an important mathematical course， Ordinary Differential Equation has the characteristics of strong theory and application. Since the teaching of this course is biased towards theory， students are easily confused and bored in the traditional teaching mode. Wolfram Alpha is a computational knowledge engine that includes the functions of symbolic computing， scientific calculation and image drawing. With finding analytical solutions and numerical solutions as and example， this paper attempts to introduce Wolfram Alpha to the teaching of ODE to simplify the complex teaching process， mobilize students practical ability， improve students interest in learning， and enable students to easily master knowledge difficulties and experience the charm of mathematical methods.

Key Words： Wolfram Alpha; Ordinary Differential Equation; Analytical solution; Numerical solution

常微分方程作為數學類專業學生需要學習的一門專業核心課[1-4]，其理論方法是隨機微分方程和偏微分方程等后續課程學習的基礎，并且已經被應用到自動化、物理、力學、神經科學、經濟和金融等學科領域中。為了能夠跟隨時代的發展，培養出高質量的應用型人才，有必要參照一流本科專業的建設要求對常微分方程課程進行教學改革。在實際問題解決中，如新冠肺炎感染模型感染人數預測、人口增長模型預測、神經元電生理模型動作電位產生機制和機械系統等效力學模型的動態仿真等，都需要對建立相應模型的解的特性進行分析。常微分課程主要針對不同方程模型進行分析，獲得相應解的性質[1-4]，從而為實際模型分析提供數學方法。在常微分方程教學內容中，存在有幾個難點：第一，方程類型多，方法復雜，同一方程可以用不同方法求解，學生容易對方程和方法混淆，不能深入理解解的性質；第二，對于解的特性，如存在性和唯一性，證明過程繁冗，不能夠充分理解證明的原因和目的；第三，部分方程無法取得解析解，需要采用數值計算方法來展示解的結果，而常微分方程主要為理論課，缺乏實踐工具，課堂內容不能完整給出。

Wolfram Alpha是著名數學軟件開發公司——沃爾夫勒姆公司開發的新一代計算知識引擎，有網頁版和手機版。該引擎具有符號運算、數值計算、統計分析和圖像繪制等功能，具有方便易用、操作簡單和可遠程運算的優點。Wolfram Alpha的這些優點，使得在常微分方程課程理論教學中無需計算機就可以引入動手實踐，可以極大地提高學生的學習效率，進一步保證教學內容的完整性，提高教學質量。除此之外，Wolfram Alpha的Step-by-step solution（分步計算功能）功能可以詳細展示每一步的計算方法和過程，為學生課下計算練習提供了方便。本文選取常微分方程高等教育版（王高雄主編）教材中常見方程類型，討論Wolfram Alpha在這些方程教學過程中的應用。

1 利用Wolfram Alpha獲取線性方程的解析解

對于一階常系數線性方程，可以使用多種方法，例如常數變易法、化為恰當微分方程和拉普拉斯變換等方法[5-6]。利用Wolfram Alpha不僅可以求得方程的解析解，還可以利用step-by-step solution功能可展示具體解法的過程。除此之外，Wolfram Alpha還提供多種解法。下面將以非齊次方程為例，使用Wolfram Alpha選擇不同方法來求解。在Wolfram Alpha中輸入y=2x+y，給出了方程類型，即一階線性常微分方程，除此之外，給出了方程的通解。

對于該方程，Wolfram Alpha提供了多種方法，包括看作線性方程求解、化為恰當方程求解和拉普拉斯變換求解，點擊Step-by-step solution可以選擇求解方式，并顯示出每一步過程。

1.1 當作線性方程求解

將原方程當作線性方程求解時，Wolfram Alpha的具體步驟如下：

令 ，方程等式兩端乘以，得

替換，得

根據逆乘積運算法則，上式變為

兩端同時積分，得

計算得

，為任意常數。

1.2 拉普拉斯變換求解

采用化為恰當微分方程求解時，Wolfram Alpha的具體步驟如下：

2 利用Wolfram Alpha獲取非線性方程的解

2.1 非線性方程的解析解

在常微分方程中，大部分非線性方程解析解不能夠求出，利用Wolfram Alpha可以獲得部分非線性方程的解，如下面方程

這里是雅可比橢圓函數。

2.2 非線性方程的數值解

Wolfram Alpha除了可以解出線性方程和一些非線性方程外，還可以數值解出一些非線性方程，如滿足初始條件的數值解，在Wolfram Alpha中輸入Runge-Kutta method， y'' = -2x^2 ysiny， y（0） = 2， y'（0）=1， from 0 to 20， h = .05，將采用龍格庫塔方法，以0.05的積分步長數值積分獲得區間的數值解，如圖1所示。除了獲得相應的數值解之外，Wolfram Alpha還提供了對于數學軟件Mathematica的程序代碼。學生可以直接復制該代碼到Mathematica軟件來運行，這對于學生學習和應用Mathematica有很大的幫助。

由于在傳統課堂中，只能夠講解方程的解析解，對于解到底是什么模樣，學生也不清楚，以及解在模型中的意義也就不知道了。Wolfram Alpha的繪圖功能展示出的結果更有助于學生理解，學生對于理解解的意義。除了解非線性方程外，對于線性方程，Wolfram Alpha不僅可以給出解析解和數值解，還可以對解進行比較，獲得解析解和數值解的誤差。例如：于，方程采用4階龍格庫塔方法、步長0.25來計算獲得數值解。輸入代碼為Runge-Kutta method， dy/dx = -2xy， y（0） = 2， from 1 to 3， h = .25。解析解與數值解的誤差圖在圖2中給出。除了這些，Wolfram Alpha還給出了不同數值方法求解方程的誤差和效率，如圖3所示。這不僅可以讓學生清楚解析解和數值解的差異，也讓學生能夠理解數值解的方法，為以后的數值方法學習打下基礎。

通過在課堂上使用Wolfram Alpha軟件，可以獲得方程的解析解、數值解以及和解有關的信息，尤其是將這些信息圖標展示，使學生更容易理解，達到事半功倍的效果。可以說Wolfram Alpha軟件的使用，可以很好地擴展課堂內容，提高課堂效率，讓抽象的知識形象化，是現代化教學必不可少的軟件。

3 Wolfram Alpha課堂教學的應用及意義

常微分方程課堂中主要講解的是方程的解和方程解的性質。方程類型繁多，解題方法較多，解的性質如存在性和唯一性，證明繁瑣。在傳統板書教學過程中，會受到課程性質和課堂時間的限制，不能夠充分講解內容[1-4]。學生在學習完該課程，只能夠掌握簡單類型題目的解題方法，對為何要學習方程的解不清楚。相對于專業計算軟件Matlab和Mathematica[1-6]，Wolfram Alpha是計算知識引擎，雖然不能夠計算大型運算，但可以通過網頁或體積較小的手機軟件來實現，具有方便易用的特點，可以求解常微分方程課程中的所有方程，滿足日常教學需求。除此之外，Wolfram Alpha還可以給出不同方法計算的每一步過程，不僅可以使學生扎實掌握所學知識，還可以拓展學生的思路。借助于Wolfram Alpha的繪圖和數值計算功能，可以演示解的特點，尤其是解的存在唯一性這一重點難學的內容。在課堂教學中引入Wolfram Alpha，可以改變傳統教學的枯燥模式，使學生對所學內容的實際應用意義有所認識，從而提高學生的學習興趣，并且可以改變學習方式，增強學生獨立自主學習的能力，有助于學生打下堅實的基礎，拓展學生的思路，為后續課程的學習和實踐打下基礎，對于培養出高質量的應用型人才具有重要意義。

參考文獻

[1] 師向云， 周學勇. 基于Matlab 的常微分方程輔助教學設計[J]. 四川職業技術學院學報， 2020， 30（5）： 111-115.

[2] 劉相國， 楊曉偉， 王冬銀. 基于MATLAB的《常微分方程》教學研究[J]. 西安文理學院學報（自然科學版）， 2020， 23（2）： 124-128.

[3] 李政， 李希敏. MATLAB在常微分方程課程教學中的應用[J]. 桂林師范高等專科學校學報， 2022， 36（2）： 100-103.

[4] 孫亞輝， 楊勇歌. MATLAB在常微分方程教學中的應用[J]. 教育教學論壇， 2020（42）： 239-240.

[5] 趙亞琪， 范進軍. MATLAB在常微分方程上的應用[J]. 山東師范大學學報（自然科學版）， 2019， 34（3）： 253-261.

[6] 布仁滿都拉. 常微分方程教學與MATLAB的有效結合[J]. 現代計算機， 2019（24）： 50-53.