關(guān)注理性思維，檢測(cè)核心素養(yǎng)
——2023年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷評(píng)析

沈新權(quán)(正高級(jí)教師 特級(jí)教師)

(浙江省嘉興市第一中學(xué))

1 命題方向

2023年是施行新高考的第四年,今年的數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷認(rèn)真落實(shí)黨的二十大精神,堅(jiān)持立德樹人,貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針,以助力“雙減”政策的落地為導(dǎo)向,以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》為命題指南,立足《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”的命題要求,關(guān)注“新課標(biāo)、新教材、新高考”要求的統(tǒng)一性,在考查必備知識(shí)、強(qiáng)化關(guān)鍵能力、關(guān)注理性思維、檢測(cè)核心素養(yǎng)等方面下足了功夫,充分體現(xiàn)了“立德樹人、服務(wù)選才、導(dǎo)向教學(xué)”這一高考的核心價(jià)值,助力教育高質(zhì)量發(fā)展.

2 試卷特點(diǎn)

“服務(wù)選才”是高考的一大功能,2023年的數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷在確保考查高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)的前提下,突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色,凸顯了對(duì)學(xué)生理性思維能力和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的考查要求,整份試卷全面考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)分析這六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2.1 注重基礎(chǔ)，考查必備知識(shí)

2023年的數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷注重考查高中數(shù)學(xué)的必備知識(shí),注重考查高中數(shù)學(xué)的概念、公式、定理,考查高中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).試卷重點(diǎn)考查了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中的八大主干知識(shí):函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、排列組合與概率統(tǒng)計(jì).其中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)占27分,解析幾何占27分,立體幾何占22分,計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)占22分,三角函數(shù)占20分,數(shù)列占17分.同時(shí),試卷也注重了知識(shí)點(diǎn)的覆蓋率,集合、平面向量與復(fù)數(shù)這三部分內(nèi)容各占5分.

2023年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷具體考查內(nèi)容如表1所示.其中不少試題堪稱經(jīng)典,下文舉例進(jìn)行分析與說明.

表1

例1(第9 題,多選題)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則( ).

A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)

B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)

C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差

分析本題以多選題的形式考查了樣本平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差這些基本數(shù)字特征.如果學(xué)生對(duì)這些基本數(shù)字特征缺乏深刻的理解,要想得到正確的答案BD 也不是一件容易的事情.該試題在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)充分注重了對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)理解的考查.

2.2 突出重點(diǎn)，強(qiáng)化關(guān)鍵能力

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》指出:“關(guān)鍵能力是指即將進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對(duì)與學(xué)科相關(guān)的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時(shí),高質(zhì)量地認(rèn)識(shí)問題、分析問題、解決問題所必須具備的能力.”

試卷中的第4題、第11題、第12題、第16題、第19題等均以重點(diǎn)與主干知識(shí)(函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、解析幾何、立體幾何等)構(gòu)建試題的主體,這些試題既重視對(duì)高中數(shù)學(xué)通性通法的考查,又意在強(qiáng)化對(duì)信息識(shí)別與加工、邏輯推理與論證、科學(xué)探究與思維建模、語言組織與表達(dá)、獨(dú)立思考與質(zhì)疑(提出問題、開放作答、合理論證)、批判性思維等關(guān)鍵能力的考查,意味深遠(yuǎn).

例2(第12題,多選題)下列物體中,能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1m 的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有( ).

A.直徑為0.99m 的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m 的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m 的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m 的圓柱體

分析本題以正方體為載體,考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力,檢測(cè)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng).要想快速正確地解決本題,需要解決幾何體能否被整體放入正方體的“主要矛盾”.

對(duì)于選項(xiàng)A,由于正方體內(nèi)切球的直徑為1m,故A 正確.

對(duì)于選項(xiàng)B,由于正方體內(nèi)部最大的正四面體的棱長(zhǎng)是面對(duì)角線,長(zhǎng)度為,故B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C,圓柱體的底面直徑為0.01m,高為1.8m,因?yàn)檎襟w最遠(yuǎn)的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離為體對(duì)角線,長(zhǎng)為,故C錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)D,關(guān)鍵要看直徑為1.2m 的圓能否與正方體的某個(gè)截面相切,當(dāng)然這樣的截面越“大”越好.可以考慮由正方體所有棱的中點(diǎn)構(gòu)成的正六邊形EFGHIJ的截面,其棱長(zhǎng)為其內(nèi)切圓直徑為

綜上,選ABD.

2.3 強(qiáng)調(diào)探究，關(guān)注理性思維

試卷中不少探究性試題不落俗套,體現(xiàn)了新課程教學(xué)中重視學(xué)生在數(shù)學(xué)探究中學(xué)習(xí)知識(shí)、體驗(yàn)過程、培育能力、發(fā)展素養(yǎng)的嶄新教學(xué)理念.

例3(第7題)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,設(shè)甲:{an}為等差數(shù)列;乙:為等差數(shù)列,則( ).

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

分析本題以等差數(shù)列的判斷為載體考查充分必要條件的概念,考查學(xué)生在掌握等差數(shù)列定義和通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上,理解前n項(xiàng)和公式并進(jìn)行推理與計(jì)算的能力.解決問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解等差數(shù)列的判斷方法.

還有第11題、第16題、第21題、第22題等試題都突出對(duì)理性思維的考查,把對(duì)重要的數(shù)學(xué)思想(如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想以及特殊與一般的思想)的考查等統(tǒng)一到理性思維的主線上來.

2.4 揭示本質(zhì)，檢測(cè)核心素養(yǎng)

試卷中的不少試題緊扣學(xué)科本質(zhì),這些試題的思維入口寬,解題途徑多樣,如果學(xué)生掌握了這些問題的數(shù)學(xué)本質(zhì),可提高解題效率,縮短解題時(shí)間.

例4(第15 題)已知函數(shù)f(x)＝cosωx－1(ω＞0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是__________.

分析因?yàn)閤∈[0,2π],且ω＞0,所以ωx∈[0,2ωπ],令f(x)＝cosωx－1＝0,則cosωx＝1有3個(gè)根,結(jié)合余弦函數(shù)的圖像可知4π≤2ωπ＜6π,解得2≤ω＜3.

此解法本質(zhì)在于通過整體換元,把問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為g(x)＝cosx－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

例5(第22題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)的距離,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.

(1)求W的方程;

還有第17題,以同角三角函數(shù)基本關(guān)系、正弦定理、解三角形等三角函數(shù)內(nèi)容為背景,重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).在解題時(shí),學(xué)生如果眉毛胡子一把抓,沒有選擇合適的邊角關(guān)系加以突破,則容易使得解題過程過于煩瑣,影響對(duì)后續(xù)問題的解決.

再如第20題貌似是一道很平常的數(shù)列題,但如果沒有抓住等差數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于正自然數(shù)n的一次函數(shù)這一本質(zhì),將大大消耗學(xué)生在考場(chǎng)上的時(shí)間.

2.5 聯(lián)系實(shí)際，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用

為了考查學(xué)生分析、解決實(shí)際問題所必須具備的關(guān)鍵能力,2023年的數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷,設(shè)計(jì)了系列有實(shí)際背景的生活實(shí)踐情境問題,如第9題、第10題、第13題、第21題等.這些試題不僅可以很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),還可以考查學(xué)生對(duì)新概念、新知識(shí)的理解和遷移能力,以此滲透數(shù)學(xué)文化.

例6(第10題,多選題)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級(jí)其中常數(shù)p0(p0＞0)是聽覺下限閾值,p是實(shí)際聲壓.表2為不同聲源的聲壓級(jí).

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m 處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1,p2,p3,則( ).

A.p1≥p2B.p2＞10p3

C.p3＝100p0D.p1≤100p2

由①和②知p2≤p1,由③知p3＝100p0,由②×100,結(jié)合①得p1≤100p2,由②和③知10p3＝103p0≥p2.

綜上,選ACD.

這是一道利用對(duì)數(shù)函數(shù)研究噪聲聲壓水平的高考試題,該題不僅考查學(xué)生的閱讀理解能力,還全面考查了對(duì)數(shù)及其運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí).類似這樣的試題情境既有現(xiàn)實(shí)意義,也較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值.

3 教學(xué)啟示

雖然新高考已經(jīng)實(shí)施四年了,但在我們?nèi)粘５慕虒W(xué)中依舊存在著“穿新鞋,走老路”的現(xiàn)象,比如“三年課程,一年半完成”的速成教學(xué)法、“瘋狂刷題”的題海戰(zhàn)術(shù)法、“大量補(bǔ)充不講道理的高等數(shù)學(xué)結(jié)論”的二級(jí)結(jié)論死記硬背法等不良教學(xué)風(fēng)氣充斥在高中數(shù)學(xué)教育中,這些做法不僅加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),更嚴(yán)重的是削弱了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與積極性.

“導(dǎo)向教學(xué)”是高考的核心價(jià)值,因此,研究高考數(shù)學(xué)的命題方向和命題特點(diǎn)的目的之一就是更好地改進(jìn)教學(xué),更好地實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)價(jià)值.

2023年的數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷至少可以給我們帶來三點(diǎn)教學(xué)啟示.

1)把握高中數(shù)學(xué)主線,構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系

把高中數(shù)學(xué)內(nèi)容構(gòu)建成既有聯(lián)系又有區(qū)別的“預(yù)備知識(shí)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”這五個(gè)主題是新課標(biāo)的一大亮點(diǎn).在教學(xué)中,我們要引導(dǎo)學(xué)生感悟并理解這五個(gè)主題知識(shí)間的關(guān)聯(lián),在加強(qiáng)對(duì)高中數(shù)學(xué)整體性理解的基礎(chǔ)上,構(gòu)筑科學(xué)規(guī)范的高中數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系.

在教學(xué)中,教師既要有大單元教學(xué)設(shè)計(jì)的格局,又要有微專題研究的底氣,由大及小,以小見大,讓學(xué)生既見樹木,又見森林.

2)重視問題本質(zhì)的研究,實(shí)施深度教學(xué)

加拿大西盟菲莎大學(xué)艾根教授領(lǐng)銜的“深度學(xué)習(xí)”項(xiàng)目組所進(jìn)行的研究表明,知識(shí)學(xué)習(xí)的充分廣度、知識(shí)學(xué)習(xí)的充分深度和知識(shí)學(xué)習(xí)的充分關(guān)聯(lián)度是深度學(xué)習(xí)的核心理念,學(xué)生的深度學(xué)習(xí),離不開教師的深度學(xué)習(xí),因此學(xué)生深度學(xué)習(xí)的“深度”是建立在教師完整、深刻地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的基礎(chǔ)之上的.

在實(shí)施深度教學(xué)的過程中,教師要研究并把握數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生與發(fā)展過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,并把它們貫穿到日常教學(xué)中;要重視研究數(shù)學(xué)的核心概念、公式、定理和問題的本質(zhì),并能夠從高等數(shù)學(xué)的角度和觀點(diǎn)去理解高中數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與本質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成“居高臨下”思考問題的習(xí)慣.

深度學(xué)習(xí),本質(zhì)理解,應(yīng)成為我們每一堂數(shù)學(xué)課的教學(xué)追求.

3)既要重視教,更要重視學(xué),促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)

學(xué)生在學(xué)校接受教育的時(shí)間是有限的,如何在有限的時(shí)間內(nèi),讓學(xué)生享受到學(xué)校教學(xué)的魅力? 那就是有限的學(xué)校教學(xué)所帶給他的無限的發(fā)展可能性.因此,我們的高中數(shù)學(xué)教學(xué)除了引領(lǐng)學(xué)生掌握其成長(zhǎng)過程中所必備的知識(shí)和關(guān)鍵能力,更重要的一項(xiàng)任務(wù)是要促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),需要我們?cè)趥鹘y(tǒng)的教學(xué)方式的基礎(chǔ)之上,探索多樣化的課堂教學(xué)方式:如何培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力? 如何培養(yǎng)學(xué)生自主探索、合作交流等意識(shí)? 如何豐富校本作業(yè)的形式,提高作業(yè)的質(zhì)量,提升學(xué)生完成作業(yè)的自主性和有效性?

促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),需要教師改進(jìn)教學(xué)方式,教師要善于抓住關(guān)鍵的教學(xué)與學(xué)習(xí)環(huán)節(jié),根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)習(xí)任務(wù)采用不同的教學(xué)方式,優(yōu)化教學(xué),增強(qiáng)教學(xué)的實(shí)效.

(完)