探析高考真題，明晰備考方向
——對2023年全國乙卷數(shù)學(xué)試題的評析

劉海濤 萬 勝

(1.安徽省蕪湖市第一中學(xué) 2.新青年數(shù)學(xué)教師工作室)

2023年教育部考試中心共命制了六套數(shù)學(xué)試卷(全國甲卷、乙卷的文科、理科試卷和新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷),其中內(nèi)蒙古、江西、河南、陜西、甘肅、青海、寧夏、新疆等地區(qū)使用了全國乙卷.高考結(jié)束,筆者與這幾個地區(qū)的師生交流,他們反映試卷難度總體平穩(wěn),比預(yù)期略低,學(xué)生考完也信心滿滿.《中國高考評價體系》指出:通過設(shè)置真實(shí)的問題情境,考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識分析、解決問題的能力,允許學(xué)生從多角度作答,使“死記硬背”“機(jī)械刷題”“題海戰(zhàn)術(shù)”的收益大大降低,引導(dǎo)學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)從“解題”向“解決問題”、從“做題”向“做人做事”轉(zhuǎn)變.今年的全國乙卷數(shù)學(xué)試題在注重能力和素養(yǎng)考查的同時,深化了對德育的考查,與2022年全國乙卷相比,難度相當(dāng),但結(jié)構(gòu)上更加新穎,更加注重對學(xué)生“四基”“四能”的考查,整體看試卷兼具基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.下面筆者以2023年全國乙卷中部分試題為例,深度探析高考真題,剖析高考試題的命題特色,總結(jié)規(guī)律,明晰高考備考方向.

1 特色試題賞析

1.1 立足基礎(chǔ)，考查通性通法

《中國高考評價體系》指出:高考圍繞學(xué)科主干內(nèi)容,加強(qiáng)對基本概念、基本思想的考查,杜絕偏難怪題和繁難試題,引導(dǎo)教學(xué)重視教材,夯實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ),給學(xué)生提供深度學(xué)習(xí)和思考的空間.2023年全國乙卷數(shù)學(xué)試題注重基礎(chǔ)知識和基本方法的考查,試題的命制圍繞高中數(shù)學(xué)的基本知識與基本概念展開,如文科卷的第1,2,3,4,5,6,7,13,14,15,22,23等題,理科卷的第1,2,3,4,13,14,22,23等題,均來源于教材例題、習(xí)題的改編,只要學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí),考場上做這些題定會得心應(yīng)手.

點(diǎn)評

該題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標(biāo)中極角和圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義、直線與圓(圓弧)的位置關(guān)系等知識,均是對基本知識與基本概念的考查,解題方法也是通性通法.

1.2 注重綜合，考查知識的融會貫通

《中國高考評價體系》指出:素質(zhì)教育是內(nèi)涵豐富的全面發(fā)展教育.高考要求學(xué)生能夠觸類旁通、融會貫通,這既包括同一層面橫向的交互融合,也包括不同層面縱向的融會貫通.理科第10題是集合、數(shù)列、三角函數(shù)的綜合題,對集合的概念、三角函數(shù)的周期性進(jìn)行了深入的考查,可以通過三角函數(shù)的周期性求解,也可以用數(shù)形結(jié)合思想方法求解.理科第12題對直線與圓的位置關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)、向量數(shù)量積、三角恒等變換、三角函數(shù)的最值等基本知識進(jìn)行了綜合考查,需要結(jié)合圖形解題.

點(diǎn)評

解答該題的核心在于能夠正確作出示意圖,方法1著眼于向量數(shù)量積公式中的夾角,以∠OPC＝α為變量將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題.方法2注意到OD⊥PD這一隱含條件,由此可知動點(diǎn)D的軌跡為一段圓弧,再結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義,找到的最大值.不同的思維深度得到不同的解法,花費(fèi)的解題時間也不同,給不同層次的學(xué)生展示的機(jī)會,考查了學(xué)生對知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.

1.3 關(guān)注應(yīng)用，考查素養(yǎng)與能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》指出:在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中,學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)來源于生活,又服務(wù)于生活,與實(shí)際生活相結(jié)合的數(shù)學(xué)試題一直是高考的熱點(diǎn),文科、理科第17題取材于橡膠生產(chǎn)的實(shí)際情境,比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),借助假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,利用樣本平均數(shù)和方差作為工具進(jìn)行統(tǒng)計推斷,屬于統(tǒng)計學(xué)知識在實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用,考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力.

例3(文科、理科第17題)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進(jìn)行10次配對試驗(yàn),每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品,隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i＝1,2,…,10),試驗(yàn)結(jié)果如表1所示.

表1

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果,則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高).

點(diǎn)評

該題考查了學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力以及將現(xiàn)實(shí)情境抽象為數(shù)學(xué)問題的能力.解題時需借助所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識,計算出樣本平均數(shù)與方差,根據(jù)題設(shè)比較兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的影響,有效考查了學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識分析、解決問題的能力.

1.4 強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新，考查思維的靈活性

《中國高考評價體系》指出:素質(zhì)教育中的智育和以往教育理念中的智育最大的不同在于其對創(chuàng)新性的強(qiáng)調(diào).理科第20題(文科第21題)看似是一道常規(guī)的定點(diǎn)問題,但不同于往常的動直線、動圓過定點(diǎn),而是動線段的中點(diǎn)為定點(diǎn),是一道體現(xiàn)創(chuàng)新性的試題.該題通過命題創(chuàng)新,創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境、新穎的題目條件、新穎的設(shè)問方式,考查學(xué)生思維的靈活性.

點(diǎn)評

該題從不同的角度思考可以得到不同的解法,可以有效發(fā)散學(xué)生的思維,不同的解法在運(yùn)算程序和運(yùn)算量上有很大的差別,所以要求學(xué)生能夠根據(jù)問題的題設(shè)條件,選擇合理的運(yùn)算程序,簡化運(yùn)算步驟,從而得到簡捷的解答過程.此外,該題蘊(yùn)含著一般化的幾何背景,將其進(jìn)一步推廣可得如下命題.

命題1已知橢圓C的方程為(a＞b＞0),左頂點(diǎn)為A(－a,0),上頂點(diǎn)為B(0,b),過點(diǎn)D(－a,b)的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,線段MN的中點(diǎn)為上頂點(diǎn)B.

命題2已知橢圓C的方程為(a＞b＞0),左頂點(diǎn)為A(－a,0),上頂點(diǎn)為B(0,b),過點(diǎn)D(－a,b)的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),直線BP,BQ與x軸的交點(diǎn)分別為M,N,線段MN的中點(diǎn)為左頂點(diǎn)A.

命題3已知橢圓C的方程為(a＞b＞0),左頂點(diǎn)為A(－a,0),點(diǎn)D為直線x＝－a上任意一點(diǎn),過點(diǎn)D作橢圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,過點(diǎn)D的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),直線AB,AP,AQ的斜率分別為k,k1,k2,則k1＋k2＝2k.

2 高考備考建議

2.1 重視“四基”，發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

在高考備考中,要重視鞏固基礎(chǔ)知識、落實(shí)基本技能、感悟基本思想方法、積累基本活動經(jīng)驗(yàn),如將教材中的基本概念、基本知識等按照函數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計等模塊進(jìn)行梳理,形成知識網(wǎng)絡(luò)體系;按照解題思想,根據(jù)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、整體思想、分類討論等將高考常考題型進(jìn)行分類,總結(jié)求解常規(guī)題型的通性通法,注重教材知識的生成過程,善于運(yùn)用“本原”法解題.這樣,我們才能切實(shí)有效地提高復(fù)習(xí)效率,發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2.2 重視解題，更要重視解決問題

《中國高考評價體系》指出高考要從“解題”向“解決問題”,從“做題”向“做人做事”轉(zhuǎn)變,這就要求我們在高考備考中關(guān)注時事,關(guān)心政治,注重對數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng),能夠從真實(shí)的問題情境中抽象出數(shù)學(xué)模型,靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識分析、解決問題,避免“死記硬背”“生搬硬套”“機(jī)械刷題”“題海戰(zhàn)術(shù)”.

2.3 重視真題，關(guān)注高考試題變化

高考試題凝聚著命題人的心血與智慧,是經(jīng)過命題者反復(fù)考量與打磨的,對高考的備考具有導(dǎo)向性與啟示性.我們在復(fù)習(xí)備考中要重視對高考真題的收集、整理、歸類、溯源、拓展,明確其考查的內(nèi)容、方向、要求,感受高考題的變化趨勢與基本態(tài)勢.此外,我們應(yīng)關(guān)注教育與考試部門發(fā)表的有關(guān)考試的最新信息,掌握最新的考試動態(tài),研讀官方文件與指導(dǎo)性材料,如《中國高考評價體系》《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》等,以便科學(xué)、高效地進(jìn)行備考.

(完)