探究若干抽象函數模型

阿麗米熱·艾尼

(新疆實驗中學)

抽象函數問題具有構思新穎、概念抽象、隱蔽性強、解法靈活多變等特點,是考查學生推理論證能力、閱讀理解能力以及抽象思維能力的有效載體,因而備受高考命題專家們的青睞.所謂抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式的特殊函數,它們的類型繁多、題型各異,其中有一類是比較多見的,即題中給出了特定的解析遞推式和運算規則,通過類比初等函數,一般可以找到滿足其條件的特殊模型.我們可以根據這個模型具有的性質,探求題目中抽象函數的有關性質,這樣就容易找到解決問題的突破點.下面通過對幾道典型例題的分析,介紹幾個含有解析遞推式的抽象函數的類型及其模型,供讀者參考.

1 特征式f(x+y)=f(x)+f(y)+b

例1已知函數f(x)對任意實數x,y都滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),且當x＞0 時,f(x)＜0,f(1)＝－2,求f(x)在區間[－3,3]上的最小值和最大值.

分析由于函數f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),容易知道函數f(x)＝kx(k≠0)滿足此式,故而可猜測f(x)是單調函數.

解設x1＜x2,則x2－x1＞0,所 以f(x2－x1)＜0,于是f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)＜f(x1),故函數f(x)在[－3,3]上單調遞減.

令x＝y＝0,則f(0)＝0,再令y＝－x,則0＝f(0)＝f(x)＋f(－x),即f(－x)＝－f(x),所以f(x)是奇函數.由于f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6,則f(－3)＝－f(3)＝6,所以f(x)在[－3,3]上的最小值是－6,最大值是6.

點評

如果認識了此抽象函數的基本類型,那么后續的解題就有了方向,可以設法模仿或接近某個結論并為之而努力,本題涉及正比例函數模型,因此需要判斷此函數的單調性和奇偶性,為后續解題做好準備.

2 特征式f(x+y)=f(x)f(y)

例2設函數f(x)的定義域是R,對任意實數x,y均有f(x＋y)＝f(x)f(y),且當x＞0時,0＜f(x)＜1,試判斷函數f(x)在R上的單調性,并求不等式f(x－2)＜f(x2－2x)的解集.

分析因為所給函數滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y),而指數函數f(x)＝ax滿足這個表達式,所以可探求函數f(x)是否具有單調性,用單調函數的定義推理判定比較方便.

點評

從給出的抽象函數的運算規則,可知此類函數與指數函數相似,故而可設法證明此函數是單調的,且函數值恒為正數,有了這個提示,就為后面判斷f(x1)－f(x2)的正負情況指明了方向.

3 特征式f(xy)=f(x)+f(y)(x＞0，y＞0)

例3已知定義在(0,＋∞)上的函數f(x),對任意x,y∈(0,＋∞)都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立,且當x＞1 時,f(x)＞0,又f(2)＝1,試問方程f(x)＝3cosx有幾個解?

分析由于函數f(x)滿足f(xy)＝f(x)＋f(y),而對數函數f(x)＝logax(a＞0,a≠1)也有相似的性質.由于對數函數一般是單調函數,故應從判斷函數的單調性入手,再分析函數圖像并通過估算求解.

由于2π＜8＜4π,所以f(2π)＜f(8)＜f(4π),又3cos2π＝3cos4π＝3,通過畫y＝f(x)與y＝3cosx的草圖,如圖1所示,易知兩個函數圖像有三個交點,即方程f(x)＝3cosx有三個解.

圖1

點評

欲判斷此方程解的個數,即要找到函數y＝f(x)與y＝3cosx的圖像交點的個數,故應依據定義判斷所給函數的單調性,并通過估算出幾個關鍵函數值所在的范圍進行判斷.

4 特征式f(xy)=f(x)f(y)

例4設定義在(0,＋∞)上的函數f(x)滿足f(xy)＝f(x)f(y),f(x)＞0,且 當x＞1 時,f(x)＞1,又f(2)＝試求不等式f(x2－3x)＞2的解.

分析由于函數f(x)滿足f(xy)＝f(x)·f(y),容易知道冪函數f(x)＝xα滿足此運算規則,不同的冪函數含有不同的單調性,而題設是求解抽象函數不等式,故需要知道此函數的單調性.

點評

判斷出一個抽象函數的單調性是“脫去”函數符號“f”的最有效的方法,而本題在函數單調性的證明過程中,根據定義并對所給條件進行了配湊,這是一個重要技巧,故而要把握好配湊的常用方法.

5 特征式f(x+y)=

點評

在對給出的解析遞推式進行研究后,判斷出此函數與反比例函數類似,這樣就獲得了此函數應為奇函數的信息,進而只需努力證明此函數為奇函數.

6 特征式f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

例6已知函數f(x)的定義域為R,對任意x,y都滿足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y),并且f(1)＝0,f(－2)＝2,f(0)≠0,試求f(2022)的值.

分析由題意很難發現f(x)的性質,在觀察給出的解析遞推式后,可聯想到三角公式,發現f(x)＝cosx滿足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y),由此猜想出f(x)是偶函數,且為周期函數.

解在f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)中,令x＝y＝0,得2f(0)＝2f2(0),又f(0)≠0,所以f(0)＝1;再令x＝0,則

可得f(－y)＝f(y),故f(x)為偶函數.

又f(1)＝0,所以

即f(x＋2)＝－f(x),所以

故f(x)是以4為周期的函數,于是

點評

通過用比較熟悉的函數模型猜想得出f(x)的某些性質,然后再有針對性地推理證明,就能夠得出正確的判斷,從而使解題少走彎路,而采用特殊值代入驗證是求解抽象函數問題的常用技巧.

所以f(x2)＞f(x1),即f(x)在(0,2)上單調遞增.又當x∈(－2,0)時,根據奇函數的性質,易知f(x)單調遞增,故函數f(x)在(－2,2)上單調遞增.

點評

通過認真研究給出的解析遞推式,并由此判斷出函數的模型特征,從而根據模型的性質,容易想到解決問題的方法.

在某些含有解析遞推式的抽象函數問題中,尋找出對應的常規函數模型是一種重要的解題技巧,因為我們可以結合該常規函數模型進一步猜測出抽象函數的基本性質,并且根據解題的需要,對此函數的相關性質進行推理證明.特別需要注意的是,所找出的模型函數只是輔助我們解題,我們不可以直接應用該模型函數的圖像和性質解題,否則是會失分的.

鏈接練習

1.定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1,時,f(x)＜0,若an＝f(n)(n∈N*),求數列的前10項和.

2.設定義在實數集的函數f(x),對任意實數x,y滿足f(x＋y)＝f(x)f(y),且當x＞0 時,f(x)＞1,若f(x)f(2xx2)＞1,求x的取值范圍.

3.已知偶函數f(x),其定義域為(－∞,0)∪(0,＋∞),對于定義域內的任意實數x,y,滿足f(xy)＝f(x)＋f(y),且當x＞0時,f(x)＞0,f(2)＝1,f(2x2－1)＜2,求x的取值范圍.

4.已知函數f(x),對任意實數x,y都滿足f(xy)＝f(x)f(y),且f(－1)＝1,f(27)＝9,當0≤x＜1時,f(x)∈[0,1).若x≥0且,求x的取值范圍.

鏈接練習參考答案

1.－100.

2.{x|0＜x＜3}.

4.{x|0≤x≤2}.

(完)