“數形結合”解簡單指(對)數不等式

袁少軍

(湖北省麻城市第二中學)

人教A 版數學教材《必修1》中介紹了一元二次不等式的解法,其中解含參數的不等式是一類重難點問題,教材也著重對該類問題進行了探究.但后續的學習中有關指數不等式、對數不等式的解法卻沒作重點研究,以至于在高二、高三導數的學習中,學生遇到有關不等式的問題時,困難重重,錯誤頻出.

1 問題的呈現

此題得分偏低,解答中出現的錯誤很多,有的同學沒有注意函數的定義域,有的同學沒有進行分類討論…… 我們先回顧一下一元二次不等式的求解過程:首先是將一元二次不等式化簡整理為ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0等)的規范形式,然后利用Δ＞0,求出對應方程的兩個根x1,x2(不妨設x1＜x2),再結合對應的二次函數圖像,在a＞0時,拋物線開口向上,最后可得解集{x|x＜x1或x＞x2},其余情形,這里不再贅述.總結起來,就是先尋找函數的零點,再結合函數的單調性和函數的圖像得出不等式的解集.

2 系數為常數的指數不等式、對數不等式的解法

例1解下列不等式:

(1)ex－2＞0;

(2)1－2lnx＞0.

解析

(1)設函數f(x)＝ex－2,則f(x)的零點為x＝ln2,易知f(x)單調遞增,則可作出f(x)的草圖如圖1所示,故所求不等式的解集為(ln2,＋∞).

(2)設函數g(x)＝1－2lnx,則g(x)的零點為,易知g(x)單調遞減,且x∈(0,＋∞),則可作出g(x)的草圖如圖2所示,故所求不等式的解集為

圖2

點評

求解此類不等式的方法很多,此處所用的方法是先求函數零點,再判斷函數的單調性,最后根據“數形結合”得出解集.

例2解下列不等式:

(1)(ex－1)(ex－2)＞0;

(2)(x－2)(ex－2)＜0.

解析

(1)方法1因為(ex－1)(ex－2)＞0,所以

方法2設函數f(x)＝(ex－1)(ex－2),則f(x)的零點為x1＝0,x2＝ln2,在每一個因式中ex的系數為正的條件下,作出f(x)的草圖如圖3所示,可得解集為(－∞,0)∪(ln2,＋∞).

圖3

方法2設函數g(x)＝(x－2)(ex－2),則函數g(x)的零點為x1＝2,x2＝ln2,在兩個因式中x和ex的系數都為正的條件下,作出g(x)的草圖如圖4 所示,可得解集為(ln2,2).

圖4

點評

方法1是通過分類討論,將之轉化成求解不等式組.方法2先將不等式進行因式分解,使每一項的系數為正,再求出對應函數的零點(即對應方程的根),然后在數軸上按大小順序依次標根,最后從右往左、自上而下依次穿根得到解集.

3 含參數的指數不等式、對數不等式的解法

此類問題多見于導數解答題中的單調性討論問題,如“指數函數與一次、二次函數聯袂的函數”,還有“對數函數與一次、二次函數聯袂的函數”.此類函數求導后的導函數常常是以下形式:(mx＋n)(aex＋b),(mx＋n)(alnx＋b).對于導函數為(mx＋n)·(aex＋b)(m,n為系數)形式的函數,我們較熟悉,此處不作討論;對于a,b為參數時,可作如下分類討論:

當a＝0時,導函數變為(mx＋n)·b,利用一次函數的性質討論即可;

當a,b同號時,若導函數中的因式(aex＋b)恒為正或恒為負,討論(mx＋n)即可;

當a,b異號時,設導函數(mx＋n)(aex＋b)的零點為x1,x2,再依據m,a的正負,對有關的不等式進行分類討論即可.

例3已知函數f(x)＝aex－x－1(a∈R),試討論函數f(x)的單調性.

解析

易知f(x)的定義域為R,且f′(x)＝aex－1.當a≤0時,f′(x)＝aex－1＜0恒成立,故f(x)在R上單調遞減.

當a＞0時,令f′(x)＝aex－1＝0,可得導函數的零點為x＝－lna,此時f′(x)在a＞0的條件下單調遞增,可作出f′(x)的草圖如圖5所示,則aex－1＞0的解集為(－lna,＋∞),故函數f(x)的單調遞增區間為(－lna,＋∞);同理,aex－1＜0 的解集為(－∞,－lna),故f(x)的單調遞減區間為(－∞,－lna).

圖5

綜上,當a≤0時,f(x)在R上單調遞減;當a＞0時,f(x)的單調遞增區間為(－lna,＋∞),單調遞減區間為(－∞,－lna).

點評

求解有關導函數的不等式時,可以通過數形結合思想得出不等式的解集,從而寫出正確的單調區間.

令f′(x)＝0,得x＝1或a.

當a＝1時,f′(x)≥0(當且僅當x＝1時,等號成立),故f(x)在(0,＋∞)上單調遞增.

當0＜a＜1時,令f′(x)＞0,則(x－a)lnx＞0,此時兩個因式中x和lnx的系數都為正的條件下,零點為x1＝1或x2＝a(x1＞x2),作出φ(x)＝(xa)lnx的草圖如圖6所示,可得出解集為(0,a)∪(1,＋∞);令f′(x)＜0,則(x－a)·lnx＜0,同理可得出解集為(a,1).

圖6

當a＞1時,令f′(x)＞0,則(x－a)lnx＞0,此時兩個因式中x和lnx的系數都為正的條件下,零點為x1＝1或x2＝a(x1＜x2),作出φ(x)＝(x－a)lnx的草圖如圖7 所示,可得出解集為(0,1)∪(a＋∞);令f′(x)＜0,則(x－a)lnx＜0,同理可得出解集為(1,a).

圖7

綜上,當a＝1時,f(x)在(0,＋∞)上單調遞增;當0＜a＜1時,f(x)的單調遞增區間為(0,a),(1,＋∞),單調遞減區間為(a,1);當a＞1時,f(x)的單調遞增區間為(0,1),(a,＋∞),單調遞減區間為(1,a).

點評

此題中導函數有兩個零點,類比一元二次不等式的“數軸標根法”,可以準確地寫出導數不等式的解集,求出單調區間.

例5已知函數f(x)＝ae2x＋(1－2a)ex－x,討論函數f(x)的單調性.

解析

函數f(x)的定義域為R,且

當a≥0時,2aex＋1＞0,故f(x)的單調遞增區間為(0,＋∞),單調遞減區間為(－∞,0).

(完)