最小均方自適應濾波器設計及性能影響因素分析

王秋莎,張 崢,王 磊,程子瑋,閆 鵬

(1.中國電建集團河北省電力勘測設計研究院有限公司,河北 石家莊 050031;2.國網吉林省電力有限公司長春供電公司,吉林 長春 130021;3.國網河北省電力有限公司電力科學研究院,河北 石家莊 050021)

0 引言

同步相量測量單元(Phasor Measurement Unit,PMU)是全局同步時鐘下實現電網中電壓和電流信號同步相量、頻率和頻率變化率測量的儀器。噪聲是測量信號中無法避免的問題,會造成測量信號部分湮滅,導致測量信號波形失真、信噪比降低,影響關鍵數據檢測、特征值提取等高級應用。PMU 測量的信號中通常包括大量噪聲,對PMU應用造成了較大影響。

在電力行業,當被測信號信噪比低于40 dB時,被測信號會被噪聲嚴重影響,關鍵數據及特征值將難以提取。因此,在電力行業信號測量過程中,選擇合適工具對被測信號中的噪聲進行有效處理,減少噪聲產生的不良影響,是本領域研究的重點方向。

數字濾波器是按照預先設計好的濾波算法程序,達到對測量波形信號濾波的目的。文獻[1]通過濾波獲取各模態的電壓和電流信號。文獻[2]提出基于量測量誤差協方差次優估計的自適應強跟蹤無跡卡爾曼濾波的同步相量測量算法,對突變具有更好的檢測靈敏度和更高的跟蹤速度。文獻[3]提出一種基于頻率成分在線分析的帶陷波齒的FIR 濾波器,實現濾波器中心頻率和陷波齒位置的自適應調整。文獻[4]提出基于一組線性相位有限沖激響應數字濾波的動態相量測量算法,實現動態和暫態條件下同步相量的精確測量。本文在數字濾波器基礎上提出最小均方(LMS)自適應濾波器,并對其參數變化影響進行分析,掌握其規律,對于處理同步相量測量單元采集數據具有重要作用。

1 數字濾波器設計

數字濾波器是按照預先設計好的濾波算法程序,達到對測量波形信號濾波的目的。數字濾波器依據單位沖擊響應時間特性,分為無限長沖激響應(IIR)數字濾波器和有限長沖激響應(FIR)數字濾波器[5-6]。

1.1 IIR 數字濾波器

IIR 數字濾波器是一種遞歸線性時不變因果系統,其差分方程為

式中:x(n)為輸入序列;y(n)為輸出序列;M、N為自然數,且N＞M,a i和b j為濾波器的權值系數。

從式(1)可以看出,在對輸入序列和輸出序列進行延時后,通過加權和相加運算即可得到IIR 濾波后的輸出序列。

通過z變換之后,可得

因此,IIR 數字濾波器的傳遞函數

IIR 濾波器設計實質上是尋找一組權值參數a i和b j,使其性能滿足預定的設計技術要求。

1.2 FIR 數字濾波器

FIR數字濾波器是對N個采樣數據執行加權和平均的處理,其差分方程為

式中:h(n)為濾波器的單位沖激響應。通過z變換之后,可得FIR 數字濾波器的傳遞函數為

2 LMS自適應濾波器設計

2.1 基本原理

在工程中,一般無法掌握信號和噪聲統計特性。此時,自適應濾波技術在不需要輸入信號先驗知識的前提下,能夠獲得極佳的濾波性能,因而具有很好的應用價值,由參數可調的數字濾波器和自適應算法組成,其原理如圖1所示。

輸入信號x(n)通過參數可調數字濾波器后產生輸出信號y(n),將其與期望信號d(n)進行比較,形成誤差信號e(n)。自適應濾波器的權值系數依據誤差信號e(n),采用選取的自適應算法反復調整,使輸出信號y(n)無限接近期望信號d(n)。濾波器系數權值更新通過自適應濾波算法實現,計及x(n)、d(n)、e(n),通過選取的算法對濾波器的權值系數進行迭代更新,獲得新的權值系數,實現對未來信號的自適應處理,能夠使濾波器的輸出趨向于d(n) 。常用的算法準則為最小均方誤差準則,由此產生對應的自適應濾波技術為LMS自適應濾波器[7]。

2.2 計算方法

LMS算法通過最小均方誤差準則實現,通過動態調節權值系數使濾波器的輸出信號y(n)與期望響應信號d(n)之間的均方誤差E[e2(n)]最小。為求解該最小優化問題時,LMS算法采用隨機梯度下降算法,在每次迭代時濾波器的權值矢量沿著梯度的負方向進行更新。倘若要得到精確的梯度矢量,需要知道信號的自相關矩陣R =E[x(n)xT(n)]和互相關矩陣P=E[d(n)x(n)],必須根據已有數據對梯度矢量進行估計。

LMS算法的關鍵技術是通過單次采樣的平方誤差代替均方誤差,即e2(n)替換E[e2(n)],達到簡化梯度估計的目的。一般情況下,LMS自適應濾波器采用橫向濾波器結構,其計算原理如圖2所示。

假設n時刻的輸入信號向量表達式為

式中:M為濾波器階數,為固定值,根據具體需求確定。

濾波器權向量的計算方法為

則實際輸出信號的計算方法為

n時刻參考信號d(n) 與實際輸出信號間的誤差e(n) 計算方法為

LMS算法采用x(n) 與d(n) 的特定關系,不斷改進自適應濾波器權系數,使均方誤差達最小化,達到最優濾波的目的。設誤差平方為

則均方誤差定義為

式中:P為原始信號和參考信號互相關矩陣,P=E[d(n)x(n)];R為參考信號自相關矩陣,R =E[x(n)xT(n)]。

對均方誤差求w(n) 的導數

并令式(12)中梯度向量為0,經求解可得到使代價函數最小的濾波器權值系數

將式(13)帶入到均方誤差中得到使其成立的最小均方誤差為

最陡下降算法通過控制權值沿著均方誤差最小的梯度方向移動,即

式中:μ為自適應算法步長。由于自相關矩陣R和期望信號互相關矩陣P難以獲取,因此最陡下降算法在自適應濾波環節中不常使用。LMS算法通過瞬時平方誤差e2、R和P的瞬時估計值估計梯度向量。R和P的瞬時估計值為

梯度向量的瞬時估計值為

權值更新公式為

為使算法收斂,步長μ應滿足

式中:λmax為輸入信號X(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-M +1)]T自相關矩陣的最大特征值。

通過不斷迭代權系數w(n)變化,最終趨近于最優解,使實際輸出信號y(n)與參考信號d(n)的誤差接近0。

3 算例分析

3.1 LMS濾波器應用及效果

含有次同步振蕩(SSR)歸一化后的電流波形數據如公式(20)所示,各變量參數值如表1所示。

設置LMS濾波器的階數M=15,步長參數μ=0.005。經LMS濾波器后的波形數據和頻譜、以及采用輸出誤差隨迭代次數所表示的學習曲線如圖3所示。

圖3 LMS濾波器應用的效果

3.2 參數變化影響分析

3.2.1 步長參數μ

圖4顯示了在相同的濾波器階數M =15下,步長參數μ=0.000 1、0.001、0.05、0.5時,LMS濾波后的時域波形圖和學習曲線。

圖4 步長參數μ 對LMS濾波器性能的影響

由圖4可見,步長參數μ對收斂速度、跟蹤速度、穩態誤差等指標影響作用明顯。步長參數μ過小,會使算法收斂的很慢,且濾波效果不佳。適當較小的步長參數μ(如圖4 的μ=0.001 和0.05),盡管收斂速度不快,但會獲得較小的穩態誤差從而提高算法的精度,對于時變系統來說較小的步長參數μ也會導致跟蹤速度減小。此時可適當提高步長參數μ來提高濾波器的跟蹤速度,會帶來較大的穩態誤差,降低算法的精度。但是,步長參數μ不宜過大(如圖4 的μ=0.5),會造成LMS濾波算法的不穩定,導致不能實現濾波的目標。因此,需要根據實際應用場景,選取合適的步長參數。

3.2.2 濾波器階數M

將步長參數設置為μ=0.05,改變LMS濾波器階數M=3、15、25、35,圖5顯示了LMS濾波后不同階數的時域波形圖和學習曲線。

圖5 濾波器階數M 對LMS濾波器性能的影響

由圖5可知,當濾波器階數M過小或過大時,均不能很好地對噪聲進行有效抑制。只有當自適應濾波器的階數與噪聲通道的傳遞函數F(z)的階數一致時,才能有效地抑制噪聲。而當濾波器階數小于F(z)階數時,輸入通道的噪聲將無法與參考通道的噪聲抵消,會導致最小均方差變大;當濾波器階數大于F(z)的階數時,會引起失調變大。因此,只在濾波器階數等于F(z)階數情況下,自適應濾波器性能最佳。

3.2.3 信噪比

將步長參數設置為μ=0.05,LMS濾波器階數設置為M=15,改變信噪比RSN的數值,分別為20 dB、10 dB、0 dB、-10 dB,圖6顯示了LMS濾波后的時域波形圖和學習曲線。

圖6 信噪比R SN對LMS濾波器性能的影響(M=15)

由圖6可見,當信噪比降低時,LMS算法的性能將急劇惡化。進一步地,嘗試增加濾波器階數M=25時,RSN=20 dB、10 dB、0 dB、-10 d B,圖7顯示了LMS濾波后的時域波形圖和學習曲線。

圖7 信噪比R SN對LMS濾波器性能的影響(M=25)

由圖7可見,增加濾波器階數并不能帶來濾波效果的改善。因此,當信噪比降低時,需考慮采用其他的濾波方法。

4 結論

LMS算法具有算法簡單、易于實現、復雜度低,能夠抑制旁瓣效應的優勢。本文闡述了LMS濾波器基本原理,通過算例,分析了步長參數、濾波器階數、信噪比變化對LMS 濾波器收斂速度、系統跟蹤速度和穩態誤差等指標的影響,得出其變化規律,對于處理同步相量測量單元采集數據具有重要作用。

LMS算法進一步可以應用于新能源寬頻振蕩風險評估、儲能系統荷電狀態估計、變壓器局部放電監測等領域。此外,LMS算法具有收斂速度快、穩定性高、結構簡單等優勢,在需要干擾對消的軍事、醫療、科研生產等領域,均具有廣泛的應用前景,例如天線陣列旁瓣對消、雷達干擾對消、降低設備電源干擾等。