大學生數學認知結構發展特點的探析

馬艷園

摘? 要：數學認知結構是內化了的數學知識結構，“數學理解”是學習者獲取數學知識的基本途徑，對數學認知結構的發展有著積極的推進作用。從學習者數學理解的心理過程來看，“實變函數”的課程內容高度抽象，理解難度較大，在這個過程中，大學生數學認知結構的發展特點為：個體差異性、機械記憶下的積累、數學認知結構的各個子系統發展步調不一致。在新舊認知結構相互作用下，按照螺旋式的方式不斷發展。

關鍵詞：數學認知結構；數學理解；精致；個體差異性；螺旋式的發展

中圖分類號：G642? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2023）14-0143-04

“實變函數”的課程內容抽象程度較高，理解難度較大，本校數學專業學生在學習過程中存在諸多問題，譬如數學概念的學習偏重工具性理解，對概念本質屬性的認識比較淺顯；不重視隱性知識的學習；知識與知識之間的聯系比較薄弱等，比如，對黎曼積分與勒貝格積分之間的區別理解不到位。這些問題從不同層面影響了學生數學認知結構的構建。

一、大學生數學認知結構的發展過程

我國著名數學教育學家曹才翰、蔡金法在所著的《數學教育學概論》（1989）中首次明確提出了數學認知結構的概念［1］，并對數學認知結構的內涵、特點進行了分析。他們認為，數學認知結構是學生頭腦里的數學知識按照自己的理解深度、廣度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯想等認知特點，組合成的一個具有內部規律的整體結構［1］。

在對“數學理解”的研究中，赫伯特和卡朋特（Hiebert & Carpenter）認為，“一個數學的概念或方法或事實被理解了，如果它成為個人內部網絡的一個部分。”［2］李士锜認為，“學習一個數學概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當的有效的認知結構，并使之成為個人內部的知識網絡的一部分，那么才說明是理解了。”［2］

不管是對數學認知結構的研究還是對“數學理解”的研究都表明，學生數學認知結構的發展依賴于對數學知識的理解，即學生通過理解數學知識構建自身頭腦中知識網絡——數學認知結構。因此，“數學理解”能夠有效促進數學認知結構的形成，是數學認知結構發展的基本途徑。

學生數學認知結構的發展過程如圖1所示：

學習者對新知識的學習是一個循序漸進，由淺入深的理解過程。通常在初學階段，對新知識的理解往往一知半解，甚至對新知識有錯誤認知。這些情況下形成并發展起來的數學認知結構是不完善的，學習者需要對數學認知結構進行精致。精致是對原有認知結構的重組，或者是對原有認知結構缺陷進行補修［3］。對數學認知結構的精致，會出現多次循環，直到學生對數學知識有了深層次的理解，數學認知結構在理解逐漸深刻的進程中變得更加完善。

在對數學認知結構的精致過程中，學習者必須對自身的認知過程進行積極的監控，明確理解上的不足，才能做出有針對性地查缺補漏，及時調整認知策略，對數學認知結構進行有效的精致，從而獲得對新知的正確理解。

下面文章將從“數學理解”的角度，在“實變函數”的學習過程中，對本校大學生數學認知結構發展過程中呈現出的一些特點作深入研究。

二、大學生數學認知結構的發展特點

在“數學分析”的基礎上，“實變函數”對知識進行了衍生和拓廣。無論是數學符號還是數學思想方法，抽象程度更高。例如線段的長度，平面幾何圖形的面積和立體圖形的體積，其本質都是對“點集”的度量，對一般點集的度量即為“實變函數”中的“測度”。對“度量對象”的推廣，學生的認知需要打破常規的“幾何實體”的限制。在方法上，“實變函數”處理問題的一種重要方法是分析語言與集合語言之間的轉換，學生需要明確不同語言在描述同一數學知識時的異同。“實變函數”中的另一個重要思想是利用簡單函數列逼近可測函數，學生需要從函數列的點點收斂來理解簡單函數列收斂于可測函數的內涵。

“實變函數”中的學習對象以及課程中的數學思維方式都變得更為抽象，對學生的數學理解能力的要求也越來越高。在這種高要求下，學生需理解數學知識的過程中數學認知結構的發展變化具有什么特點？

（一）數學理解的個體差異性

不同學生在面對同一個數學情境時，會有不同信息理解、分析、處理方式［4］。因此，學生通常是按照自己對知識的理解深度，結合自己的認知方式去構建知識體系，這就使得學生頭腦中數學認知結構的發展帶有明顯的個體差異性。

例如勒貝格（Lebesgue）可測集的學習。

定義1［5］：設E？奐Rn，若對于任意點集T？奐Rn，都有

m*（T）=m*（T∩E）+m*（T∩Ec）

則稱E為L可測集，這時E的L外測度m*E即稱為E的L測度，記為mE，其中T為實驗集。

學習過程中，部分學生能夠利用定義1證明一個點集是勒貝格可測集，但卻不清楚定義1中的實驗集T的意義是什么？學生的證明更多的是一種機械性模仿。這部分學生的頭腦中，對可測集的理解偏重于工具性理解。工具性理解表現為理解事實性知識是什么，未完全認識，乃是一種機械記憶［6］。他們對可測集的知覺更多是在符號上的形式推導。另一部分學生會去思考實驗集T的意義，這部分學生更加注重概念本質屬性的學習，在教師的引導下，學生能夠從內側度與外側度相等的條件下理解T的含義；能夠明確在卡式條件下，用外側度定義的勒貝格測度能夠滿足測度公理，因此，他們對勒貝格可測集的認知不僅僅是停留在符號的形式推理層面。學生對數學概念的不同認知，體現了個體頭腦中構建的數學認知結構具有差異性。

（二）數學認知結構中的各個子系統發展步調不一致

數學知識分為：陳述性知識、程序性知識、過程性知識［7］。喻平教授的研究表明，在數學學習過程中，通過對陳述性知識、程序性知識、過程性知識的理解，學生頭腦中分別獲得了關于陳述性知識的圖式、構建了產生式系統、形成了關系表征和觀念表征。這三種知識的學習結果構成了數學認知結構的三個子系統，其中陳述性知識圖式的構建是學習的基礎，三個子系統相互作用、相互影響。

在學習中把陳述性知識轉化為程序性知識往往需要經過大量的練習，而過程性知識則隱性地融會貫通于整個學習過程中，要求學生不斷體驗、反思才能構建起深刻的關系表征和觀念表征。因此，陳述性知識圖式的構建相對更快而程序性知識的產生式系統和過程性知識的體驗性知識系統的發展則相對滯后。

“實變函數”的學習中，相對于陳述性知識的圖式，程序性知識的產生式系統和過程性知識的關系表征和觀念表征系統的發展緩慢更為突出。經過一個學期的學習，學生對“實變函數”中的一些基本概念以及相關性質有基本的理解，但是在做題過程中，仍然感覺到很多“實變函數”中的題目難，甚至對此束手無策。

（三）機械記憶學習下的累積

在“實變函數”學習中，學習材料難度系數的逐漸增加，教師通常采用“結果型”的教學方式，直接把定理或性質的結論介紹給學生，再進行證明，把問題的條件、結論以及推導過程都講述清楚，同時引導學生與原有認知結構中相關知識建立非人為的實質性聯系，明確新舊知識之間的異同。但在實際學習過程中，學生的理解力往往達不到教材的難度系數要求的程度。當學生對抽象知識的理解遇到障礙時，容易出現機械性的記憶學習，對相關知識點的學習更多情況下是停留在對結果的記憶這一層面上，即學習的表面化。對知識的本質屬性或者是數學符號的意義、知識之間的異同等沒有更深入地探索，對知識的構建是一種機械記憶下的積累。前面勒貝格可測集的學習過程中，在學生不理解實驗集T含義的情況下，利用定義證明一個集合是否是可測集，就是一種機械性的模仿。

例如可測函數的學習。

定義2［5］：設f（x）是定義在可測集E？奐Rn上的廣義實質函數，若對于任意的有限實數t，點集｛x∈E ∶ f（x）> t｝ 是可測集，則稱f（x）是E上的可測函數，或稱在E上可測。

調查中發現，部分學生能夠用定義2證明函數f（x）是E上的可測函數，但是不清楚定義2中的任意有限實數t的意義是什么？與勒貝格可測集的學習相同，學生的證明更多的是一種機械性模仿。

例如，法圖（P.Fatou）引理的學習。

定理2［5］：（P.Fatou引理）若｛fn（x）｝ 是在上的非負可測函數列，則

在調查中，大部分學生能夠正確敘述法圖引理。但是沒有足夠的反思：法圖引理中的結論為什么只考慮函數列的下極限？學生對法圖引理的應用也是一種機械性遷移。

通過強行記憶而積累發展起來的數學認知結構中，學生對每個知識點的理解一知半解，知識之間缺乏有機聯系，此時的數學認知結構這棟“知識大樓”是被一堆堆“磚頭”雜亂無章地堆積起來的。

（四）原有認知結構和新認知結構的相互作用

認知心理學研究表明，在新知學習過程中，學習者通常會在原有數學認知結構中尋找新知識生長的固著點，以此幫助理解新知識。在這種認知心理活動中，若學生能夠正確找到固著點，并且正確把握新知識與固著點之間的異同，那么固著點對新知識的學習有積極促進作用，反之則會對新知識的理解產生障礙。比如，新知識與某些舊知識之間建立起主觀的而非客觀事實的聯系；原有的數學思維對新知識理解的局限等。

例如黎曼積分的對象是區間上“基本連續”的函數，勒貝格積分的對象是可測集上的可測函數。黎曼積分的主要思想是分割定義域，而勒貝格積分的主要思路是對函數值域進行劃分［5］。事實上，分割函數值域后所得到的點集不一定是一個區間，函數的定義域也不一定是互不相交的有限個區間，而可能是一個分散且雜亂無章的點集以及并集［5］。在此，黎曼積分中“連續的”概念被打破。從黎曼積分的思維方式過渡到勒貝格積分的思維方式，黎曼積分中“連續”的思想往往會對學生理解勒貝格積分的思想產生障礙。需要學生打破原有的思維格局，對新思想、新方法認真揣摩，才有利于勒貝格積分的學習，從而促使新數學認知結構獲得更好的發展。

（五）螺旋式的動態發展

斯賓塞等人的APOS理論證實了學習者對數學概念的理解是在一個循環的過程中不斷深化。他們的理論里闡述了在數學概念學習中存在一個APOS循環，他們研究假設數學知識是個體在解決所感知到的數學問題過程中獲得的，在這個過程中，個體依序建構了心理活動（actions）、程序（processes）、和對象（objects），最終組織成用以理解問題情境的圖式結構（schemas）［2］。在“活動”階段個體對數學概念有初步的了解，并得到初步的“程序”，當個體遇到更為復雜的概念的外延時，又會回到“活動”階段，開展進一步的學習，完善數學概念的“程序”，經過多個循環后，個體才會形成完整的數學概念即“對象”［2］。

“實變函數”課程中的數學知識體系具有嚴密的邏輯性，教材按照知識之間嚴格的邏輯次序進行編排。學生把這套具有嚴格邏輯性的數學知識結構內化入自身認知結構的過程中，由于學習材料符號化、抽象化，加之學生認知能力的限制、機械記憶的學習等，使得學生對數學知識的理解并非一蹴而就，而是在一個不斷“重復”理解的過程中，由淺入深，逐步提高對數學知識的認知。

數學理解的循環動態特性，反映出數學認知結構具有螺旋式動態發展的特點，即個體對數學知識進行循環理解，認知由低層次向高層次發展，隨著認知活動的逐步深入和個體理解水平的不斷提升，機械記憶的知識點能夠重新獲得理解，學生變得豁然開朗，知識融會貫通，個體的數學認知結構被不斷精致，逐步達到更為精確和完善的程度。

“實變函數”里的許多概念、性質、定理等都需要反復理解，從而促進數學認知結構的不斷精致。例如，學生要反復研讀教材上關于可測集建立的歷史過程，不斷反思，才能夠漸漸體會到勒貝格可測集定義中實驗集T的含義。學生需要在葉果洛夫定理、里斯（Riesz）定理等相關定理和性質的證明過程中，反復理解“分析語言”和“集合語言”之間相互轉換的意義。學生需要對《數學分析》和“實變函數”中的相關知識點不斷地進行對比學習，才能真正掌握知識的本質屬性、知識之間的異同，實現知識的“穩定性”和“可辨別性”，從而形成良好的數學認知結構。

三、結語

“實變函數”盡管課程內容較為抽象，但是作為數學專業的一門基礎課，不僅對學生數學思維能力的提升有重要意義，而且是學生后續專業學習的基礎。因此，在“實變函數”的學習過程中，良好數學認知結構的形成，有利于提高學生數學抽象的能力、開闊學生的數學視野、提升學生的數學素養。教師對學生數學認知結構的發展特點有科學的認識，就能夠幫助教師實施有效的教學方法于“實變函數”教學中，啟發學生積極思考，對數學知識有深刻的理解，從而構建良好的數學認知結構。在目前已有的研究中，課題式教學法［8］，“三教—教思考、教體驗、教表達”［9］的教學方法，以問題驅動為中心的教學方法［10］等，對學生在認知結構構建過程中的知識理解、思維發散、問題解決等方面都有著積極的促進作用。

參考文獻：

［1］ 喻平，連四清，武錫環. 中國數學教育心理研究30年［M］. 北京：科學出版社，2011：202+204.

［2］ 鮑建生，周超. 數學學習的心理基礎與過程［M］. 上海：上海教育出版社，2009：116+129.

［3］ 喻平. 數學教育心理學［M］. 南寧：廣西教育出版社，2004：151-152+162.

［4］ 尚亞明，熊斌. 數學問題提出的過程性研究評述［J］. 數學教育學報，2021，30（05）：66-71.

［5］ 程其襄，張奠宙，魏國強，等. 實變函數與泛函分析（第四版）［M］. 北京：高等教育出版社，2019：43+54.

［6］ 李春雷，于鳳來. 數學理解水平的劃分［J］. 數學教育學報，2022，31（04）：68-73.

［7］ 曹才翰，章建躍. 數學教育心理學（第三版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2017：95.

［8］ 曹廣福. 實變函數課題式教學研究［J］. 數學教育學報，2021，30（02）：32-37.

［9］ 唐海軍，嚴虹，任旭. 數學合作問題解決視野下的“三教”探析［J］. 數學教育學報，2021，30（05）：72-79.

［10］ 沈威. 問題驅動與思想挖掘：“可積條件”教學示范課的個案研究［J］. 數學教育學報，2021，30（02）：38-41.

（薦稿人：余麗，宜春學院副教授）

（責任編輯：淳潔）