空間垂角坐標(biāo)系的創(chuàng)立與論證

摘 要：通過(guò)實(shí)踐，在空間直角坐標(biāo)系基礎(chǔ)上摸索出一種更為靈活的解題方法，且能夠?qū)⒖臻g直角坐標(biāo)系歸為它的一種特殊形態(tài)，根據(jù)它的自身特性，將其命名為“空間垂角坐標(biāo)系”.空間垂角坐標(biāo)系的論證過(guò)程，有助于啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維.空間垂角坐標(biāo)系的論證結(jié)果，有助于簡(jiǎn)化復(fù)雜立體幾何題的求解，同時(shí)有望在數(shù)據(jù)加密、深空探測(cè)等領(lǐng)域發(fā)揮作用，應(yīng)用前景廣闊.

關(guān)鍵詞：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)；坐標(biāo)系；空間垂角坐標(biāo)系

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）19-0024-03

收稿日期：2023-04-05

作者簡(jiǎn)介：陸曄鳴（1991.1-），男，湖南省新化人，本科，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

從書本中我們得知，空間直角坐標(biāo)系的定義是首先要在空間中設(shè)立一個(gè)原點(diǎn)，然后過(guò)原點(diǎn)畫出三條兩兩互相垂直的直線，每條直線選定一個(gè)方向作為正方向，三條直線就變成了可以標(biāo)注數(shù)值的坐標(biāo)軸，由此空間中任意一點(diǎn)，都可以通過(guò)投影的方式，變成具體的數(shù)值來(lái)固定方位和距離，一個(gè)原點(diǎn)與三條坐標(biāo)軸便組成了我們熟知的空間直角坐標(biāo)系［1］（如圖1）.

而本文首次提出空間垂角坐標(biāo)系，是為打破傳統(tǒng)空間直角坐標(biāo)系建立之方法，卻依然能夠?qū)崿F(xiàn)空間直角坐標(biāo)系的所有功用，并將空間直角坐標(biāo)系作為一種特殊形態(tài)納入其中.本文通過(guò)遞進(jìn)式提出觀點(diǎn)，并加以論證，最終完成空間垂角坐標(biāo)系的創(chuàng)立.

1 空間垂角坐標(biāo)系的提出1.1 提出的第一個(gè)觀點(diǎn)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，x軸和y軸保持不動(dòng)的情況下，z軸只需要保持與平面xOy垂直且z軸O點(diǎn)（Oz）始終在x軸或y軸上z⊥平面xOy∩Oz∈y∪Oz∈x，z軸就可以在該空間隨意移動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算沒(méi)有任何影響.

論證過(guò)程：此觀點(diǎn)可以通過(guò)投影予以證明，所有移動(dòng)后的z軸，都能原封不動(dòng)地投影到原來(lái)的z軸上.因此，我們得到了空間直角坐標(biāo)系的第一個(gè)變種Oxyz′（如圖2），此時(shí)的Z軸點(diǎn)O（Oz）為原點(diǎn)O的分身.

1.2 提出的第二個(gè)觀點(diǎn)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，y軸保持不動(dòng)的情況下，x軸和z軸只需要保持x軸與平面yOz垂直且x軸點(diǎn)O始終在y軸上、z軸與平面xOy垂直且z軸O點(diǎn)始終在y軸上［（x⊥平面yOz∩Ox∈y）∩（z⊥平面xOy∩Oz∈y）］，x軸和z軸就可以在該空間隨意移動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算依然沒(méi)有任何影響.

論證過(guò)程：此觀點(diǎn)同樣可以通過(guò)投影予以證明，所有移動(dòng)后的x軸和z軸，都能原封不動(dòng)地投影到原來(lái)的x軸和z軸上.此時(shí)的空間直角坐標(biāo)系Ox′yz′在樣式上與第一個(gè)變種區(qū)別不大（如圖3），x軸O點(diǎn)（Ox）、z軸點(diǎn)O（Oz）均為原點(diǎn)（O）的分身.

1.3 提出的第三個(gè)觀點(diǎn)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，z軸只需要保持與平面xOy垂直且z軸點(diǎn)O（Oz）始終在平面xOy上z⊥平面xOy∩Oz∈平面xOy，z軸就可以在該空間隨意移動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算沒(méi)有任何影響.

論證過(guò)程：此觀點(diǎn)還是可以通過(guò)投影予以證明，所有移動(dòng)后的z軸，都能原封不動(dòng)地投影到原來(lái)的z軸上.因此，我們得到了空間直角坐標(biāo)系的第二個(gè)變種Oxyz″（如圖4）.

1.4 提出空間垂角坐標(biāo)系猜想

有了前兩個(gè)空間直角坐標(biāo)系的變種作為參考，我們大膽提出第三個(gè)變種的猜想，即空間垂角坐標(biāo)系猜想.所謂的空間垂角坐標(biāo)系，就是指在空間中取三條兩兩互相垂直的直線作為坐標(biāo)軸，每條坐標(biāo)軸各自任意選定一個(gè)點(diǎn)作為原點(diǎn)，各自選定一個(gè)方向作為正方向，由此組成的坐標(biāo)系即為空間垂角坐標(biāo)系（如圖5）.

2 空間垂角坐標(biāo)系的論證過(guò)程

根據(jù)空間垂角坐標(biāo)系猜想，現(xiàn)需要對(duì)空間垂角坐標(biāo)系是否可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)完整的空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行論證，論證過(guò)程如下：

設(shè)空間中兩兩互相垂直的坐標(biāo)軸分別為x，y，z，每條坐標(biāo)軸的原點(diǎn)分別為Ox，Oy，Oz，建立空間垂角坐標(biāo)系（如圖6）.圖4 空間直角坐標(biāo)系變種Oxyz″

從設(shè)定條件中已知：x⊥y，y⊥z，z⊥x.

過(guò)點(diǎn)Ox作一個(gè)與x軸垂直的平面，設(shè)為平面a；

過(guò)點(diǎn)Oy作一個(gè)與y軸垂直的平面，設(shè)為平面b；

過(guò)點(diǎn)Oz作一個(gè)與z軸垂直的平面，設(shè)為平面c，

所以x⊥平面a，y⊥平面b，z⊥平面c.

此時(shí)，平面a中的任意一點(diǎn)在x軸上的坐標(biāo)值均為0；平面b中的任意一點(diǎn)，在y軸上的坐標(biāo)值均為0；平面c中的任意一點(diǎn)在z軸上的坐標(biāo)值均為0.

因?yàn)閤⊥平面a，x⊥y，x⊥z，

所以y∥平面a或y平面a；

z∥平面a或z平面a.

又因?yàn)閥∥平面a或y平面a，y⊥平面b，

所以平面a⊥平面b.

又因?yàn)閦∥平面a或z平面a，z⊥平面c，

所以平面a⊥平面c.

因?yàn)閥⊥平面b，y⊥z，

所以z∥平面b或z平面b.

又因?yàn)閦∥平面b或z平面b，z⊥平面c，

所以平面b⊥平面c.

綜上，平面a⊥平面b，平面a⊥平面c，平面b⊥平面c，

故平面a、平面b、平面c兩兩互相垂直.

兩兩互相垂直的三個(gè)平面，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，該公共點(diǎn)既屬于平面a，也屬于平面b和平面c，所以該公共點(diǎn)的坐標(biāo)值為（0，0，0），即我們通常所理解的坐標(biāo)系原點(diǎn).由此得出，任意一個(gè)空間垂角坐標(biāo)系，它都能夠以過(guò)坐標(biāo)軸原點(diǎn)作垂直平面的方式找到坐標(biāo)值為（0，0，0）的坐標(biāo)系原點(diǎn).三條坐標(biāo)軸均可按各自坐標(biāo)軸原點(diǎn)到公共點(diǎn)（坐標(biāo)系原點(diǎn)）的方向和距離進(jìn)行平移，進(jìn)而得到一個(gè)完整的空間直角坐標(biāo)系.此時(shí)，反觀三個(gè)坐標(biāo)軸原點(diǎn)，均為坐標(biāo)系原點(diǎn)的分身.

空間直角坐標(biāo)系及其兩個(gè)變種Oxyz′，Oxyz″的建立，都符合空間垂角坐標(biāo)系的定義，而空間直角坐標(biāo)系的定義，無(wú)法涵蓋空間垂角坐標(biāo)系.由此看來(lái)，與其說(shuō)空間垂角坐標(biāo)系是空間直角坐標(biāo)系的第三個(gè)變種，不如說(shuō)空間直角坐標(biāo)系及其變種，都是空間垂角坐標(biāo)系的特殊形態(tài)，即坐標(biāo)軸原點(diǎn)重合時(shí)的特殊形態(tài).二者之間最大的區(qū)別在于，空間垂角坐標(biāo)系考慮的首要因素是三條坐標(biāo)軸的空間垂直關(guān)系，摒棄了必須先設(shè)立坐標(biāo)系原點(diǎn)的傳統(tǒng)觀念.熟練掌握空間垂角坐標(biāo)系，對(duì)學(xué)生理解空間中的線線、線面、面面關(guān)系，解決復(fù)雜立體幾何難題（如圖7），啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維，具有重要意義.

3 空間垂角坐標(biāo)系的應(yīng)用前景

從結(jié)果來(lái)看，似乎與空間直角坐標(biāo)系區(qū)別不大，仿佛人們也更習(xí)慣于用空間直角坐標(biāo)系來(lái)解題，但從第一個(gè)變種Oxyz′到第二個(gè)變種Oxyz″以及“空間垂角坐標(biāo)系”的形成，打破了“直角”的束縛，引入了“垂角”的概念，既是對(duì)建立空間坐標(biāo)系認(rèn)知上的一次更新，也是思維上的一次巨大跨越.一般人很難想到在空間中憑空建立一個(gè)三條坐標(biāo)軸互不相交的垂角坐標(biāo)系.而事實(shí)也證明，確實(shí)如此，從作者于2008年首次在試題中建立本文中的第一個(gè)變種至今，未曾有過(guò)“空間垂角坐標(biāo)系”這一提法.

這種思維上的巨大跨越，好比螺紋應(yīng)用于螺絲釘，在當(dāng)代人看來(lái)很簡(jiǎn)單的一顆螺絲釘，卻在人類漫長(zhǎng)的歷史上遲遲沒(méi)有出現(xiàn)，直至五百年前才開(kāi)始出現(xiàn)在人們的視野，而螺紋卻在海螺身上存在過(guò)上億年.由此可見(jiàn)，這需要具備發(fā)散性思維，可遇而不可求，極其難得.螺絲釘對(duì)現(xiàn)代工業(yè)而言，所起的作用不言而喻，空間垂角坐標(biāo)系在數(shù)據(jù)加密、深空探測(cè)等領(lǐng)域也必定會(huì)有它的發(fā)揮空間.至少對(duì)教學(xué)而言，可以根據(jù)這個(gè)原理，開(kāi)發(fā)出一種新的題型，即區(qū)分兩個(gè)不同的空間垂角坐標(biāo)系收集的數(shù)據(jù)是否代表同一幾何體.

綜上所述，空間垂角坐標(biāo)系的出現(xiàn)，打破了“直角”的束縛，引入了“垂角”的概念，將空間直角坐標(biāo)系歸為空間垂角坐標(biāo)系在坐標(biāo)軸原點(diǎn)重合時(shí)的一種特殊形態(tài)，既是對(duì)建立空間坐標(biāo)系認(rèn)知上的一次更新，也是思維上的一次巨大跨越.對(duì)教學(xué)實(shí)踐而言，能夠啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維，對(duì)生產(chǎn)生活實(shí)際應(yīng)用而言，也有其發(fā)揮空間.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 田載今，薛彬.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（實(shí)驗(yàn)修訂本·必修）數(shù)學(xué)第二冊(cè)下B［M］.北京：人民教育出版社，2001.

［責(zé)任編輯：李 璟］