巧用“點差法”破解圓錐曲線中點弦和切線問題

摘 要：“點差法”是圓錐曲線中一類非常重要的方法，代點作差，模式化強，計算量少，能很好地優化解題過程.高中階段用“點差法”來解決有關圓錐曲線上一點的切線問題易于理解，且能更好地理解數學的本質，欣賞到數學之美.

關鍵詞：點差法；中點弦；切線

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）19-0060-03

收稿日期：2023-04-05

作者簡介：唐金波，男，湖南省衡陽人，碩士，中學一級教師，從事數學教學研究.

在處理直線與圓錐曲線相交所得弦的中點和切線的相關問題時，我們經常會用到“點差法”：設弦的兩個端點坐標x1，y1和x2，y2，代入圓錐曲線的方程后，把所得的兩個方程相減，得到弦的中點坐標與弦所在直線斜率的關系，使問題得到解決.此方法巧妙地將中點坐標公式和斜率公式“珠聯璧合”，設而不求，代點作差，減少了計算量，模式化強，優化了解題過程，對解決此類問題有很好的效果［1］.

3 總結反思

“點差法”是一種非常典型且簡單易學的方法，但它仍然不是圓錐曲線中的通解通法.從上述例題的解答過程可以看出， 當遇到中點弦、切線等條件時， 我們可以嘗試該法.

對于聯立直線與圓錐曲線方程的通法，該法過程簡潔、計算量小，能進一步提高解題效率.對于圓錐曲線上一點的切線問題也能很好地解決，是高中階段非常好用、易用、實用的好方法.但是該法仍然具有其局限性， 我們在平時的學習過程中， 要結合自身掌握知識的程度和對知識本質理解的程度，選擇最優的解題方法.要學會從不同的解法中汲取不同的數學思想，加深對數學本質的理解，從而提高自身的數學核心素養.

參考文獻：

［1］

蘇立標.圓錐曲線的秘密［M］.杭州：浙江大學出版社，2021.

［責任編輯：李 璟］