具有執行器飽和的切換2-D系統事件觸發控制

駱茂森，黃世沛

(溫州大學 電氣數字化設計技術國家地方聯合工程實驗室，浙江 溫州 325035)

0 引言

隨著現代工業、社會經濟和計算機技術的快速發展，越來越多的系統和信號需要用多維、多變量的思想來描述。多維系統在數字圖像處理、衛星天氣云圖分析[1]、地震多發區監測數據等方面有著極其重要的應用。這些深厚的工程物理背景使得二維系統 (two dimensional，2-D)的研究方興未艾，成為控制理論的重要研究領域之一。2-D系統是指狀態具有兩個獨立變量的系統，包括2-D連續系統、2-D離散系統和2-D連續離散系統。2-D連續離散系統包括連續動力學和離散動力學，這兩種動力學相互影響。此類系統在實踐中有廣泛的應用，如長臂采煤[2]、車輛排水[3]、運河灌溉[4]和其他實際工程領域。

在2-D系統的研究過程中發現此類系統容易受到突然變化的影響，此類現象可以用切換系統來描述。切換系統是一種重要的混雜系統，它是由一組動態連續或者是動態離散時間子系統和一條決定子系統之間如何進行切換的切換規則組成[5]。近年來切換2-D系統也引起了國內外學者的廣泛關注，且取得了一些初步的成果。例如，文獻[6]使用平均駐留時間方法建立了切換2-D離散系統的指數穩定性準則，并設計了狀態反饋控制器。文獻[7]使用多重Lyapunov函數方法和平均駐留時間方法，建立了切換連續非線性系統的漸近穩定性和指數穩定性準則。文獻[8]通過應用模式相關持續駐留時間切換方法，提出了一種適用于切換2-D離散系統的準時間相關濾波方法。文獻[9]旨在研究Roesser模型中具有時變時滯的2-D切換正非線性系統的穩定性。文獻[10]提出了一類具有多面體不確定參數和脈沖的2-D切換正系統的異步控制問題。

在很多實際控制系統中，執行器飽和是最為普遍的非線性現象之一，這是因為在系統實際運行的過程中，由于執行器元件受到自身物理限制，其輸出值往往都是有一定界限的，而不可能趨于無限大。如果不考慮執行器的這一限制就對系統進行設計，會導致系統得不到期望的輸出值甚至會釀成重大的事故。近些年，關于具有執行器飽和的2-D系統也引起了越來越多學者的研究，例如文獻[11]研究由Fornasini-Marchesini型狀態空間方程表示的具有執行器飽和的離散二維切換時滯系統的狀態反饋H∞鎮定。文獻[12]研究了一類控制輸入飽和的2-D離散時間切換時滯系統的狀態反饋H∞問題。文獻[13]介紹了一種通過模糊控制設計來處理具有執行器飽和的二維模糊系統H∞控制問題。文獻[14]研究了帶有時變延遲和執行器飽和的二維delta算子系統的鎮定問題。

需要指出的是，上述關于2-D系統的研究均是基于連續時間控制的，這樣的控制策略會使執行器頻繁更新，并導致不必要的資源浪費和執行器的損耗。有研究指出事件觸發控制[15]既能保持系統的穩定性，還能夠彌補傳統連續時間控制下造成的有限通信資源浪費的不足。文獻[16]研究由Roessor模型描述的2-D離散系統的事件觸發控制。文獻[17]針對具有干擾的離散2-D Roesser系統，提出了一種事件觸發滑?？刂?SMC)策略。文獻[18]研究了由Fornasini-Marchesini模型描述的2-D系統的事件觸發滑模控制問題。文獻[19]提出了Fornasini-Marchesini型切換2-D離散系統的事件觸發控制方案。然而，到目前為止，具有執行器飽和的切換2-D連續離散系統的事件觸發控制問題還未被研究。

基于上述分析，本文將研究具有執行器飽和的切換2-D連續離散系統的事件觸發控制問題。為了減少通信資源浪費和執行器的損耗，本文提出了一種用于執行器飽和且含有多參數矩陣的事件觸發機制。利用凸組合技術將飽和非線性控制器轉化為一組凸包內的線性控制器組合。利用多Lyapunov函數法設計了一種依賴于觸發時刻狀態的切換信號，并導出了狀態反饋控制器存在的充分條件，以保證閉環系統的指數穩定性。

1 預備知識

1.1 基本定義

定義1[20]：考慮以下系統：

(1)

(2)

(3)

定義2給出系統(1)指數穩定的定義。從定義中可看出，系統要具有指數穩定性，需要滿足LV和L∞有界的初始條件。由于系統狀態xh(t，k)與xv(t，k)是關于t與k的二元函數，定義2中的指數穩定性質要求系統狀態在t與k方向都是指數衰減的。

1.2 基本引理

(4)

ΔVi，2(xv)≤-ai，2Vi，2(xv)+bi，2Vi，1(xh)

(5)

則子系統i是指數穩定的。

證明：通過文獻[21]中定理3的證明思路，即可得到引理1。

引理1給出了2-D連續-離散系統滿足指數穩定性的充分條件，該引理將在下文中用于系統的穩定性證明。值得注意的是，式(4)意味著能量函數Vi，1(xh)在t方向上是輸入狀態穩定的，其衰減的速率取決于ai，1的大小，式(5)意味著能量函數Vi，2(xv)在k方向上是輸入狀態穩定的，其衰減的速率取決于ai，2的大小。通過調節ai，1和ai，2的大小可以調節系統衰減的速率。此外，把式(4)和式(5)兩式相加，可以得到：

-(ai，1-bi，2)Vi，1(xh)-(ai，2-bi，1)Vi，2(xv)

在上述式子中，divV(x)稱為散度。在滿足ai，1>bi，2和ai，2>bi，1的前提下，上式可保證2-D連續離散系統是指數穩定的。

1)S<0；

引理2又稱為Schur補引理，經常用于矩陣的等價變換，將非線性矩陣不等式轉換成可求解的線性矩陣不等式。

引理3[23](狀態反饋下的凸組合表示)：給定F∈Rm*n，H∈Rm*n，對于所有狀態x∈(H)={x∈Rn：|hsx|≤1，s=1，2m}，有其中hi為矩陣H的第i行，co(·)表示凸包。

引理3在很多文獻中都有應用，利用其來處理具有執行器飽和系統線性化的問題，其應用原理是將執行器飽和函數用凸組合的形式來描述，可以將難以處理的飽和執行器轉化成可以進行處理的線性化形式。該引理會在下文中用于處理本文研究的切換2-D連續離散系統的執行器飽和問題。

2 問題描述

2.1 系統介紹

本文考慮的具有執行器飽和的切換2-D連續離散系統如下所示：

Bσ(t，k)sat(u(t，k))

(6)

sat(u(t))=[sat(u1(t))，sat(u2(t))，sat(um(t))]T

其中：umax>0表示控制輸入的最大幅值。不失一般性，本文取umax=1。

Ai，11∈Rn1×n1，Ai，12∈Rn1×n2，Ai，21∈Rn2×n1，

Ai，22∈Rn2×n2，Bi，1∈Rn1×m和Bi，2∈Rn2×m

系統(6)包含水平狀態和垂直狀態，它們都是關于t與k的二元函數，有兩個維度，且一個維度是連續變量，另一個維度是離散的變量，這與通常的一維(1-D)系統是不同的。進一步地，系統中又有切換信號的存在，并且考慮了在實際中可能會出現的執行器飽和的狀況，所以系統(6)被稱為具有執行器飽和的切換2-D連續離散系統，該系統是一類重要的混雜系統，關于它在實際工程領域中的應用在引言中已做介紹。Roesser模型是常見的2-D系統模型，本文主要針對切換2-D連續離散Roesser模型展開討論。由于系統的復雜結構，以及執行器飽和的存在，該系統的穩定性分析與控制器設計具有一定的困難。如引言中所述，事件觸發控制既能保持系統的穩定性，還能夠彌補傳統連續時間控制下造成的有限通信資源浪費的不足，而該問題還未被研究。因此，本文主要討論該模型在執行器飽和狀態下的指數穩定性和事件觸發控制器設計問題。

2.2 事件觸發條件的選取

對于系統(6)，采用傳統的時間觸發方案來確定在每一個時刻的傳輸系統狀態可能會導致執行器的損耗和通信通道的冗余。其次，為了充分利用執行器飽和的性質，進一步節約資源，本文設計了一種考慮到飽和特性的事件觸發控制方案。

首先設系統上一時刻的傳輸狀態為xh(tg，kl)，xv(tg，kl)(g，l∈)，那么，只有當以下條件滿足時才能傳輸當前狀態：

其次，考慮到執行器飽和的性質，定義即將到來的水平瞬時tg+1和垂直瞬間kl+1如下：

tg + 1=tg+ minτ{τ=t-tg|e1hT(t，k)φσ(t，k)he1h(t，k)≥

δσ(t，k)(?xhT(t，k)φσ(t，k)hxh(t，k)+

(1-?)xhT(tg，kl)φσ(t，k)hxh(tg，kl))} ∧

{sat(u(t))-u(t)= 0}

(7)

kl + 1=kl+ minθ{τ=k-kl|e1vT(t，k)φσ(t，k)ve1v(t，k)≥

δσ(t，k)(?xvT(t，k)φσ(t，k)vxv(t，k)+

(1-?)xvT(tg，kl)φσ(t，k)vxv(tg，kl))} ∧

{sat(u(t))-u(t)= 0}

(8)

其中：?∈[0，1]。

值得指出的是，式(7)和(8)中的事件觸發條件是借鑒了文獻[24]中給出的關于2-D離散系統的一個事件觸發條件，與之類似的是，所有的傳輸狀態都是整個系統傳輸序列(xh(t，k)，xv(t，k))的一部分，這種處理使得事件觸發控制在原有的基礎上更加減少了信號的傳輸，使得同時在通信通道進行傳輸的信號量大大減少，進一步節約了通信資源以及減少了執行器的損耗。

在判斷事件觸發條件的基礎上，當執行器達到飽和狀態時，如果滿足了事件觸發的條件，本應該有一次新的觸發，然而此時得到的作用于下一個時間區間的控制量仍然是上一時刻飽和狀態的值。因此，在構造事件觸發方案時考慮了飽和特性的條件{sat(u(t))-u(t)=0}，只有當執行器處在未飽和狀態，且滿足事件觸發的條件時，才可以進行新的觸發，對系統進行這樣的處理可以在事件觸發的基礎上進一步減少觸發的次數，從而減少執行器的損耗和通信資源的浪費。

2.3 控制器的設計

在設計的事件觸發機制下，狀態反饋控制器可以設計為：

本文使用的事件觸發控制方案不同于傳統的時間觸發控制方案，本小節中設計的控制器是使用狀態xh(tg，kl)和xv(tg，kl)這意味著系統控制輸入只在觸發時刻更新，這既可以降低控制器與執行器之間的通信頻率，又可以減輕執行器的磨損。

圖1給出了在事件觸發控制下的閉環系統的結構圖，其中u(t，k)作為執行器的輸入，sat(u(t，k))作為執行器的飽和輸出。觸發條件滿足時，事件發生器將當前時刻的狀態量xh(tg，kl)與xv(tg，kl)傳輸至狀態反饋控制器，由于零階保持器的作用，在兩個連續的事件發生的區間t∈[tg，tg+1)與k∈[kl，kl+1)內，控制器將沿用上一個觸發時刻的狀態量，從而可以降低通信通道的擁堵和減少資源的浪費。

圖1 事件觸發控制下的閉環系統結構圖

對于一個正定矩陣P∈Rn×n和一個標量δ>0，定義橢球體Ω(P，δ)如下：

Ω(P，δ)={x(t，k)∈Rn：x(t，k)TPx(t，k)≤δ}

當x(t，k)∈L(Hσ(t，k))時，根據引理3就可以得出：

(9)

結合系統(6)和狀態反饋控制器，在t∈[tg，tg+1)，k∈[kl，kl+1)內，將(9)代入系統(6)，由引理3可以得到如下系統：

(10)

本文利用狀態反饋下的凸組合表示方法處理了系統方程出現執行器飽和的情況，將系統(6)表示成系統(10)，使得接下來的處理就與執行器沒有發生飽和時的系統的處理方法一致。

3 主要結果

3.1 穩定性分析

在本小節中，我們首先考慮系統(10)的穩定性，以下定理給出了系統(10)指數穩定的一個充分條件。

(11)

(12)

(13)

其中：

Hi=(Hi，1，Hi，2)，

(14)

構造如下的Lyapunov函數：

V(t，k)=V1(t，k)+V2(t，k)

其中：

假設在t∈[tg，tg+1)，k∈[kl，kl+1)時，子系統i被激活，i.e.，σ(t，k)=i。

當t∈[tg，tg+1)時，對Vi，1(t，k)沿著系統方程的軌跡對時間t進行求導可得：

上述式子可以寫成如下的矩陣形式：

φ(t，k)TΩi，1φ(t，k)

(15)

其中：

當k∈[kl，kl+1)時，對Vi，2(t，k)沿著系統方程的軌跡對時間k進行求差分可得：

ΔVi，2(t，k)+ai，2Vi，2(t，k)-bi，2Vi，1(t，k)=

Vi，2(t，k+1)-Vi，2(t，k)+ai，2Vi，2(t，k)-bi，2Vi，1(t，k)=

同樣的，上述式子可以表示成如下的矩陣形式：

ΔVi，2(t，k)+ai，2Vi，2(t，k)-bi，2Vi，1(t，k)=

φ(t，k)TΩi，2φ(t，k)

(16)

其中：

加入事件觸發條件之后，我們可以得到：

?(t，k)TΩi，1?(t，k)-e1hT(t，k)φσ(t，k)he1h(t，k)+

δσ(t，k)(?xhT(t，k)φσ(t，k)hxh(t，k)+

(1-?)xhT(tg，k)φσ(t，k)hxh(tg，k))-

e1vT(t，k)φσ(t，k)ve1v(t，k)+

δσ(t，k)(?xvT(t，k)φσ(t，k)vxv(t，k)+

(1-?)xvT(t，kl)φσ(t，k)vxv(t，kl))=

(17)

ΔVi，2(t，k)+ai，2Vi，2(t，k)-bi，2Vi，1(t，k)≤

?(t，k)TΩi，2?(t，k)-e1hT(t，k)φσ(t，k)he1h(t，k)+

δσ(t，k)(?xhT(t，k)φσ(t，k)hxh(t，k)+

(1-?)xhT(tg，k)φσ(t，k)hxh(tg，k))-

e1vT(t，k)φσ(t，k)ve1v(t，k)+

δσ(t，k)(?xvT(t，k)φσ(t，k)vxv(t，k)+

(1-?)xvT(t，kl)φσ(t，k)vxv(t，kl))=

(18)

其中：

(19)

(20)

ΔVi，2(xv)≤-ai，2Vi，2(xv)+bi，2Vi，1(xh)

即可通過引理1得到子系統在事件觸發條件式(7)和(8)的前提下是指數穩定的。

(13)給出了只有在(13)所示的這個收斂域中，才可以利用引理3對系統飽和執行器部分利用凸組合的形式進行處理。不等式(11)和(12)保證了系統(10)滿足引理1中條件(4)與(5)，即系統(10)的第i個子系統是指數穩定的。(14)給出了系統切換信號滿足的條件，它表明了切換發生在能量函數的最低處，保證了在切換時刻系統的能量函數是非增的，從而使得整個系統的能量函數是遞減的，以保證整個切換2-D系統的穩定性。(14)也表明了切換系統只發生在觸發時刻，可減少切換頻率，從而進一步減少切換發生所需要的資源。

3.2 事件觸發控制器的設計

(21)

(22)

(23)

其中：

那么閉環系統在事件觸發條件(7)和(8)，如下的切換信號：

本文提出了具有執行器飽和的切換2-D連續離散系統的事件觸發控制器設計方案。與連續時間控制方案相比，該方案能夠減少通信資源浪費和執行器的損耗。盡管已有相關文獻研究了2-D系統的事件觸發控制，但是這些文獻都只是針對2-D離散系統，并且未涉及執行器飽和的情況。而本文所考慮的切換2-D連續離散同時具有連續動態與離散動態，還考慮了執行器飽和，其動態行為相比于2-D離散系統來說更加復雜，穩定性分析與控制器設計更加困難。為此，本文采用凸組合技術與多Lyapunov函數法提出了一種用于執行器飽和的切換2-D連續離散系統的事件觸發控制方案。該方案包含了事件觸發條件、狀態反饋控制器與狀態依賴的切換信號的設計，且事件觸發條件更一般，不僅能保證閉環系統的指數穩定性，還能進一步減少數據傳輸次數與切換頻率。

步驟1：給定系統參數矩陣和參數δi，?，ai，1，ai，2，bi，1，bi，2。

4 仿真算例

為了驗證本文所設計的控制方案的有效性，本節將給出一個Darboux方程的仿真算例。

Darboux方程可以描述氣體吸收、水蒸汽加熱和空氣干燥的一些線性過程。該方程描述如下[25]：

c0，σ(x，t)s(x，t)+dσ(x，t)f(x，t)

其中：s(x，t)是空間x∈[0，xf]和時間t∈[0，∞)處的未知函數，u(x，t)是給定的輸入函數，σ(t，k)表示的是{1，2}中取值的在切換信號，c0，i，c1，i，c2，i和di是實系數，其中i=1，2。

定義：

令

xh(t，k)=s(k，t)=s(kΔx，t)，

xv(t，k)=r(k，t)=r(kΔx，t)，

u(t，k)=f(k，t)=f(kΔx，t)，

σ(t，k)=σ(kΔx，t)

需要注意的是，在文獻[25]中，是對Darboux方程經過處理之后，將兩個狀態變量r和s均離散化處理之后得到的一個2-D離散系統方程，本文借鑒了文獻[25]的處理方法并加以變化，繼而通過上述的處理可以將Darboux方程其中的關于x方向上的變量離散化處理，另外一個關于t方向上的變量依舊保留為連續的變量，這樣處理就可以得到一個由Darboux方程轉變而來的切換2-D連續離散系統的方程。將Darboux方程中的元素定義成所需要的形式，并考慮上述系統在實際中會出現執行器飽和的情況，則可將其寫成系統(6)的形式，其中：

qσ(t，k)=(c1，σ(t，k)c2，σ(t，k)+c0，σ(t，k))Δx，

得到系統所需要的參數矩陣之后，通過對于其中的變量進行賦值，就可以得到仿真所需要的數值矩陣。

需要注意的是，文獻[25]也研究了Darboux方程，但該文獻沒有考慮實際中存在切換以及執行器飽和的情況。而在本文中，不僅考慮了執行器飽和的情況，還考慮了切換現象的存在，因此文獻[25]所提出的控制器設計方案無法直接用于本文所研究的系統。為此，將利用本文所提出的控制器設計方法進行控制器設計。

Darboux方程系統參數設為：

c0，1=0.5，c0，2=0.5，c1，1=0.3，

c1，2=0.2，c2，1=-0.6，c2，2=-0.61，

d1=d2=0.05，Δx=0.5(N=2)

從而可以得出系統矩陣如下：

本次仿真實驗的控制目標是設計事件觸發條件(7)和(8)，控制器u(t，k)與切換信號σ(t，k)，使得閉環系統的狀態是指數收斂的。

選取如下的設計參數：

a1，1=a1，2=0.25，a2，1=a2，2=0.47，

b1，1=b1，2=0.16，b2，1=b2，2=0.14，

?=0.51

求解定理2中的線性矩陣不等式，可以得到可行解如下所示：

進而可以得到：

系統初始狀態取為xh(0，k)=0.6，k=1，2，xh(0，k)=0，k≥3，xv(t，0)=0.24，t≤0.1，xv(t，0)=0，t>0.1，圖2與圖3分別給出了閉環系統水平狀態和垂直狀態的軌跡圖。從圖中可以看出，所考慮系統的水平狀態和垂直狀態均可以收斂到零。圖4和圖5給出了系統控制輸入和切換信號的演化曲線。圖6給出了系統的事件觸發序列和事件觸發次數。從圖中可以看出閉環系統只發生了748次觸發，說明信號只傳輸了748次，并且切換信號都是發生在觸發時刻上，可以避免切換次數的頻繁發生?？刂戚斎氲姆狄捕紱]有超過最大值1。仿真結果可以表明，本文所提出的事件觸發控制方案在執行器存在飽和情況下，不僅能夠很好的保證閉環系統的穩定性，還能有效地利用系統的通信資源，從而避免不必要的浪費。從而表明本文所提出的控制設計方案的可行性與有效性。

圖2 ?=0.51時狀態xh(t，k)的軌跡

圖3 ?=0.51時狀態xv(t，k)的軌跡

圖4 控制輸入uh(t，k)的演化曲線

圖5 切換信號

圖6 ?=0.51時的事件觸發序列和事件觸發次數

圖7 ?=1時狀態xh(t，k)的軌跡

此外，我們還研究了參數?的不同取值對于該算例的可行解的影響。通過仿真求解，我們得知只有當?≥0.51時系統才有可行解，可見?的取值對于該系統的可行解有比較大的影響。表1給出了?取不同值時與觸發次數之間的關系。圖7和圖8給出了?=1時閉環系統水平狀態和垂直狀態的軌跡圖，可以看出和?=0.51時系統的狀態軌跡圖差別不大。圖9給出了?=1時系統的事件觸發序列和事件觸發次數。從表1、圖6與圖9可以看出，?=0.51時的觸發次數是最少的，當?越來越大，觸發次數逐漸變多。特別的，當?=1時，也就是本文所提出的事件觸發條件(7)和(8)就退化成文獻[24]中所給出的事件觸發條件時，觸發次數是最多，可見本文所提出的事件觸發控制的效果是優于文獻[24]中所提出的事件觸發控制的，在保證相近的系統性能時，可以進一步減少事件觸發的次數，從而進一步減少通信通道的冗余和降低執行器的損耗，由此說明了本文所提方法的優越性。

圖8 ?=1時狀態xv(t，k)的軌跡

圖9 ?=1時的事件觸發序列和事件觸發次數

表1 ?的取值與觸發次數之間的關系

5 結束語

本文針對具有執行器飽和的切換2-D連續離散系統，提出了一種事件觸發控制方案。利用凸組合技術將飽和非線性表示成一組凸包的線性組合，采用多Lyapunov函數法設計了一種考慮到系統飽和特性的事件觸發機制和與之相關的狀態依賴切換信號以及狀態反饋控制器，并以線性矩陣不等式的形式給出了控制器增益矩陣和事件觸發參數矩陣存在的充分條件。本文所提出的控制方案在保證閉環系統指數穩定的同時，可進一步減少通信資源浪費和執行器的損耗。最后通過一個仿真算例驗證了本文所提出的控制方案的有效性與優越性。在未來的工作中，將重點研究具有執行器飽和的切換2-D連續離散系統的事件觸發動態輸出反饋控制問題，以及該系統存在傳輸時延或網絡攻擊的事件觸發控制設計問題。