基于極點配置和橢球分析的傳感器故障檢測

張文瀚 王振華 沈 毅

現(xiàn)代控制系統(tǒng)變得越來越復雜,相應地,控制系統(tǒng)的安全性和可靠性就顯得尤為重要.但是,實際系統(tǒng)運行時發(fā)生的各種故障會降低其可靠性甚至破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性從而造成嚴重的安全事故.因此,為了提高控制系統(tǒng)的可靠性和安全性,故障診斷技術(shù)在過去30 年中得到了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注,取得了很多優(yōu)秀的研究成果[1-5].一般來說,故障診斷技術(shù)主要分為3 個部分: 檢測、隔離和估計.故障檢測的目的是確定控制系統(tǒng)中是否發(fā)生故障;故障隔離則是在檢測到故障后確定其位置與類型;而故障估計則是用于得到故障的幅值信息.

故障檢測作為故障診斷的第一步,對于提高控制系統(tǒng)的可靠性和安全性具有十分重要的意義,因此得到了廣泛的研究.在目前的故障檢測方法中,基于模型的故障檢測方法是一種較為深入的研究方法,涌現(xiàn)了很多研究成果[6-9].基于模型故障檢測方法的主要思想是借助系統(tǒng)的數(shù)學模型和輸入輸出值設(shè)計一個故障檢測觀測器,該觀測器可以生成殘差信號,用于指示是否發(fā)生故障.從其思想可以看出,該方法的檢測性能主要取決于系統(tǒng)數(shù)學模型和輸入輸出信號的準確性.但是,實際控制系統(tǒng)中總是存在著各種各樣的不確定因素,如模型不確定性、過程擾動和測量噪聲等,這些因素會降低基于模型方法的故障檢測性能.為了解決這一問題,近年來很多學者開始研究基于模型的魯棒故障檢測方法[10-12].基于模型的魯棒故障檢測方法要求觀測器生成的殘差能夠同時滿足對擾動與噪聲的魯棒性和對故障的敏感性[13].為了實現(xiàn)這一性能,基于H-/H∞的故障檢測觀測器設(shè)計受到了研究者們的廣泛關(guān)注.特別地,文獻[14]中給出了一種基于迭代線性矩陣不等式和多目標優(yōu)化的H-/H∞故障檢測觀測器設(shè)計算法.針對離散時間Takagi-Sugeno 模糊系統(tǒng),文獻[15]通過使用廣義Kalman-Yakubovich-Popov 引理設(shè)計了一類有限頻H-/H∞模糊故障檢測濾波器,可以實現(xiàn)對傳感器和執(zhí)行器故障的檢測.文獻[16]中設(shè)計了一種H-/H∞觀測器來檢測存在參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng)的故障.針對非線性奇異系統(tǒng),文獻[17]設(shè)計出了一種新型的有限頻H-/H∞故障檢測觀測器結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)具有更多的設(shè)計自由度,從而提高了故障檢測的性能.需要說明的是,上述方法全都是使用H∞范數(shù)來實現(xiàn)殘差對擾動與噪聲的魯棒性.注意到H∞范數(shù)是用于描述信號能量之間的增益關(guān)系,而實際信號的能量往往都是無界的,故使用H∞范數(shù)來描述殘差的魯棒性并不十分適合[18].考慮到信號雖然能量是無界的但都滿足峰值有界,因此采用描述信號峰值之間增益關(guān)系的L∞范數(shù)來設(shè)計殘差對擾動與噪聲的魯棒性更加合理.特別地,文獻[19]設(shè)計了一種H-/L∞觀測器來檢測參數(shù)時變系統(tǒng)的執(zhí)行器故障.針對Lipschitz 非線性系統(tǒng),文獻[20]設(shè)計了一類有限頻域上的H-/L∞故障檢測觀測器.通過使用L∞范數(shù)分析技術(shù),文獻[21]提出了一種基于區(qū)間觀測器的故障檢測方法.雖然L∞范數(shù)在故障檢測領(lǐng)域有所應用,但與H∞范數(shù)相比,相關(guān)成果并不多.同時,目前大部分方法都使用H-因子來衡量殘差對故障的敏感性,同樣需要考慮故障能量有界,這一假設(shè)很難在實際應用中得到滿足,需要進行改進.

另一方面,在故障檢測觀測器設(shè)計完成以后,還需要對生成的殘差進行評價以生成合理的閾值來進行故障檢測.但是,目前的大部分方法都只選用固定的常值閾值來檢測故障,若常值閾值選取不當則容易造成虛警現(xiàn)象[22-24].雖然文獻[19-20]通過使用L∞范數(shù)分析技術(shù)得到了動態(tài)的故障檢測閾值,可以有效消除虛警現(xiàn)象,但是其存在閾值初值過大的問題,這會在一定程度上影響檢測性能[25].為了解決上述問題,學者們開始研究基于集員估計技術(shù)的動態(tài)閾值設(shè)計方法,這類方法的主要思想是基于集員估計技術(shù),利用特殊的幾何體如平行多面體、中心對稱多面體、橢球等來包含系統(tǒng)每一時刻的所有無故障殘差以得到動態(tài)的殘差閾值集合;然后,通過判斷實際殘差是否被該閾值集合包含即可實現(xiàn)故障檢測.這類方法不存在虛警問題且檢測性能優(yōu)于文獻[19-20]中的結(jié)果.近年來,中心對稱多面體由于其求取線性映射和閔科夫斯基之和的簡便性受到了學者們的關(guān)注,涌現(xiàn)了一類利用中心對稱多面體描述殘差閾值集合進而實現(xiàn)故障檢測的方法.基于自適應觀測器和中心對稱多面體技術(shù),文獻[26]設(shè)計了針對非線性系統(tǒng)的執(zhí)行器故障檢測方法.文獻[27] 基于中心對稱多面體提出了一種輸入設(shè)計方法,并將其應用到參數(shù)時變系統(tǒng)的故障檢測中.文獻[28]在多目標觀測器設(shè)計的基礎(chǔ)上利用中心對稱多面體和區(qū)間分析技術(shù)解決了線性時不變系統(tǒng)的傳感器故障檢測問題.文獻[29]將H-/H∞故障檢測觀測器與中心對稱多面體殘差評價結(jié)合來檢測控制系統(tǒng)的執(zhí)行器故障.針對受到未知擾動和噪聲影響的事件觸發(fā)系統(tǒng),文獻[30]設(shè)計了一種基于H-/L∞觀測器與中心對稱多面體殘差評價的故障檢測方法.雖然上述方法利用中心對稱多面體實現(xiàn)了較好的故障檢測性能,但中心對稱多面體在其應用過程中維數(shù)會不斷增長,容易造成維數(shù)災難.同時,這些方法均需要計算高維的中心對稱多面體來保證故障檢測精度,計算量消耗巨大.盡管這些計算量可以通過降維操作進行降低,但也會在一定程度上降低檢測性能,難以很好地兼顧檢測精度和計算效率[31].

除了中心對稱多面體,橢球也是集員估計方法中常用的幾何體,在控制系統(tǒng)狀態(tài)估計領(lǐng)域受到了學者們的廣泛關(guān)注與研究[32-37].特別地,近些年來有學者借助其光滑邊界的幾何性質(zhì)和凸優(yōu)化技術(shù)研究基于橢球的故障檢測方法.針對線性變參數(shù)系統(tǒng),文獻[38]通過判斷包含上一時刻系統(tǒng)狀態(tài)的橢球集與測量數(shù)據(jù)生成的超平面是否相交來檢測系統(tǒng)故障.通過引入適應度函數(shù)和輔助信號,文獻[39]設(shè)計了一種基于殘差橢球凸優(yōu)化技術(shù)的主動式故障檢測方法.針對離散時間線性切換系統(tǒng),文獻[40]通過給定的輸入輸出數(shù)據(jù)來計算無故障情況下的系統(tǒng)參數(shù)橢球集,并判斷該橢球集與切換子系統(tǒng)參數(shù)集合是否相交來檢測故障.文獻[41]通過在線求解線性矩陣不等式確定狀態(tài)預測橢球和校正橢球并判斷兩者的交集是否為空集,實現(xiàn)了對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的故障檢測.雖然上述文獻中的方法能實現(xiàn)較好的故障檢測性能,但大都依賴于實時求解凸優(yōu)化問題或線性矩陣不等式,這需要消耗很大的計算量,不利于實際系統(tǒng)的線上實現(xiàn).同時,判斷橢球與超平面或橢球與橢球是否存在交集需要求解多組代數(shù)方程,在一定程度上會降低故障檢測方法的運算效率.實際上,除了利用凸優(yōu)化技術(shù)或線性矩陣不等式方法來進行橢球故障檢測,還可以借助基于線性映射與閔科夫斯基之和運算的橢球分析技術(shù)來確定殘差閾值集合以進行故障檢測.特別地,橢球的線性映射與閔科夫斯基之和計算過程可以轉(zhuǎn)換為簡單的矩陣運算且計算過程中橢球維數(shù)不會發(fā)生改變,無需計算高維橢球來提高精度,計算量需求少[42].考慮到基于檢測觀測器設(shè)計和中心對稱多面體殘差評價的方法難以良好兼顧檢測精度和計算效率,而現(xiàn)有的橢球故障檢測方法又大都采用凸優(yōu)化或線性矩陣不等式技術(shù),運算效率較低,本文旨在結(jié)合故障檢測觀測器設(shè)計和基于線性映射與閔科夫斯基之和運算的橢球殘差評價技術(shù),設(shè)計一種能良好兼顧性能和計算效率的故障檢測方法.

基于上述討論,本文針對具有未知擾動與測量噪聲的線性離散時間系統(tǒng),提出了一種基于極點配置和橢球分析的傳感器故障檢測方法.首先,將傳感器故障視為增廣狀態(tài),將原始系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個等效的新線性系統(tǒng).然后,利用極點配置和L∞技術(shù)設(shè)計故障檢測觀測器,使得生成的殘差滿足故障敏感性和未知擾動魯棒性.最后,使用橢球分析方法來評價殘差,生成動態(tài)的無故障殘差橢球以實現(xiàn)故障檢測.本文的研究方法采用了基于極點配置的故障敏感性評價因子和基于L∞范數(shù)的魯棒性分析技術(shù),將傳統(tǒng)H-/H∞技術(shù)需要信號能量有界的假設(shè)放松至信號峰值有界,具有更好的適用性.此外,基于橢球的殘差評價方法只需要簡單的矩陣運算,計算量需求小,具備良好的計算效率,易于實際系統(tǒng)實現(xiàn).

1 符號說明與相關(guān)概念

符號說明.Rn和Rn×m分別表示n維歐氏空間及n×m維矩陣構(gòu)成的集合.In表示n×n維的單位矩陣,0 表示具有適當維數(shù)的零向量或零矩陣.對于給定矩陣XRn×m,X?代表矩陣X的偽逆.對于給定矩陣YRn×n,Y-1,tr(Y)和det(Y) 分別代表矩陣Y的逆、跡以及行列式.對于對稱矩陣Rn×n,P?0(P ?0)表示矩陣P為正定(負定)矩陣.

本文中還將使用如下的定義、性質(zhì)和引理.

定義1.對于離散信號xRn,其L∞范數(shù)定義為

定義 2.對于兩個集合M和N,它們的閔科夫斯基和運算定義為

其中,⊕表示閔科夫斯基和運算符號.

定義 3[43].一個n維空間中的非退化橢球E(c,X)定義為

其中,向量cRn稱為橢球E(c,X) 的中心,矩陣X ?0Rn×n稱為橢球E(c,X) 的形狀矩陣,決定了橢球E(c,X) 的形狀和體積.

注 1.雖然式(2)中橢球的定義得到廣泛使用,但是該定義只能描述非退化形式的橢球,即X ?0的情形.事實上,退化形式的橢球在很多實際問題中也應當被考慮到.為了不失橢球描述的一般性,本文引入了如下的橢球定義.

定義 4[44].一個n維空間中的橢球E(c,M) 可視為一個n維空間中單位球的線性映射,定義如下:

其中,cRn稱為橢球E(c,M)的中心,Rn×n稱為橢球E(c,M) 的形狀矩陣.

注 2.注意到式(3)中橢球的定義不要求形狀矩陣M?0,故可同時描述退化與非退化形式的橢球,具有更好的描述普適性.特別地,在描述非退化形式的橢球時,定義3 與定義4 是等價的且XMMT關(guān)系成立.不失一般性,本文中的橢球采用式(3)中的定義形式.

性質(zhì) 1[44].對于橢球E(c,M)中的每個元素x進行yKx+b的線性映射可得到一個新橢球,且有

其中,bRn和KRm×n為已知的向量和矩陣.

性質(zhì) 2[44].對于給定的N個橢球E(ci,Mi),i1,···,N,它們的閔科夫斯基和運算滿足

注 3.不同的參數(shù)α1,···,αN會產(chǎn)生不同形狀和體積的橢球E(cm,M(α)).為了保證橢球閔科夫斯基之和運算的精度,可選擇不同的優(yōu)化準則來求取參數(shù)α1,···,αN,以得到優(yōu)化的橢球E(cm,M(α)).常用的優(yōu)化準則為橢球的體積和半軸長平方和,分別對應最小化橢球形狀矩陣的行列式和跡.在這兩種優(yōu)化準則下,優(yōu)化參數(shù)α1,···,αN具體形式為[44]:

從式(6)～ (8)中可以看出,求解最小化體積橢球的參數(shù)過程十分復雜,耗費很大計算量,不利于實際系統(tǒng)實現(xiàn).與之相比,求取最小化半軸長平方之和橢球的參數(shù)計算量較小,實時性較好,因此本文選用橢球的半軸長平方之和作為優(yōu)化準則來求取最優(yōu)的閔科夫斯基之和橢球E(cm,M(α)).

引理 1[45].對于矩陣XRa×b,Rb×c,Ra×c.如果 rank(Y)c,則方程XYZ的通解為

其中,SRa×b為任意矩陣.

2 問題描述

考慮如下存在傳感器故障的線性離散時間系統(tǒng)

本文假設(shè)系統(tǒng)(10)的狀態(tài)變量初值和受到的過程干擾與測量噪聲均為未知但有界的,即

為了檢測故障fk,本文將其視為增廣狀態(tài),則可得到如下的增廣狀態(tài)向量

并構(gòu)造出如下的增廣系統(tǒng)

顯然,上述狀態(tài)增廣過程并未采用任何假設(shè),所以系統(tǒng)(13)與原系統(tǒng)(10)完全等價.因此,若系統(tǒng)(13)檢測到故障,則表明原系統(tǒng)(10)發(fā)生了故障.所以,原系統(tǒng)(10)的傳感器故障檢測問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榱藢υ鰪V系統(tǒng)(13)的故障檢測.

為了實現(xiàn)上述目標,本文針對系統(tǒng) (13)提出了一種結(jié)合極點配置和橢球分析技術(shù)的故障檢測方法.首先,針對系統(tǒng) (13)設(shè)計了一個故障檢測觀測器,其產(chǎn)生的殘差能夠同時滿足對故障的敏感性和對擾動與噪聲的魯棒性.特別地,殘差對故障的敏感性通過極點配置方法來實現(xiàn);同時使用L∞技術(shù)來抑制擾動與噪聲對殘差的影響.基于設(shè)計的檢測觀測器,本文采用橢球技術(shù)來進行殘差評價并給出故障檢測結(jié)果.

3 主要成果

3.1 故障檢測觀測器設(shè)計

針對系統(tǒng)(13)構(gòu)造如下形式的故障檢測觀測器

定義估計誤差為

則由式(13)和式(14),可得如下的誤差系統(tǒng)

為了分析傳感器故障和擾動與噪聲對殘差的影響,將誤差動態(tài)系統(tǒng) (16) 拆分為如下的兩個子系統(tǒng)

其中,ed,0e0,ef,00,則有eked,k+ef,k和rkrd,k+rf,k.

假設(shè)存在一個常數(shù)ζ使得下式成立

將式(19)代入到誤差系統(tǒng)(17)中并進行迭代,可得到

從式(21) 中可看出,ζ反映了殘差對故障的敏感程度,可通過提高ζ的數(shù)值來提升殘差對故障的敏感性.

為了求取矩陣L,將式(19)改寫為

注意到式(23) 僅給出了增益矩陣L滿足故障敏感性能的通解形式,并沒有給出矩陣S的選取方法.同時,故障檢測過程中還需要使用魯棒技術(shù)來抑制未知擾動與噪聲對殘差的影響.因此,本文將引入L∞技術(shù)來保證誤差系統(tǒng)(18) 是漸近穩(wěn)定的且殘差rd,k對擾動與噪聲滿足如下的L∞性能

基于誤差系統(tǒng)(17)和(18),本文給出定理1,保證殘差滿足式(21)和式(24)中的故障敏感性能和未知擾動與噪聲魯棒性能.

則殘差rk滿足式(21)和式(24)中的故障敏感性能和未知擾動魯棒性能.特別地,當線性矩陣不等式(25)和(26)可解時,則矩陣S和L可由下式求得

證明.選取如下形式的李雅普洛夫函數(shù)

則根據(jù)誤差系統(tǒng)(18),可得

注意到WPS,LΘ1+SΘ2,則式(25)可寫為

在上式兩邊左乘右乘矩陣 Ξ和ΞT可得:

其中,矩陣 Ξ 具體形式為

當擾動wk和噪聲vk均為零時,由不等式(31)可推導出

這表明誤差系統(tǒng)(18)是漸近穩(wěn)定的.

另一方面,不等式(31)等價于

對不等式(26)運用舒爾補引理[46],可將其轉(zhuǎn)換為

根據(jù)式(18)和式(28),上式等價于如下形式

將式(33)代入上式可得上式等價于

由此可知,殘差rk滿足式(24) 中的L∞魯棒性能.□

注4.為了使設(shè)計的故障檢測觀測器(14)性能最佳,增益矩陣的設(shè)計是一個多目標優(yōu)化問題.一方面,需要使得殘差對故障的敏感性好,即ζ的數(shù)值盡可能的大;另一方面,需要抑制未知擾動和噪聲對殘差的影響,即γw和γv的數(shù)值應盡可能的小.注意到 0＜ζ ＜1,因此可在該區(qū)間內(nèi)選取線性矩陣不等式(25)和(26)有解的ζ的最大值.同時,對于給定的ζ,可通過求解下列優(yōu)化問題來確定故障檢測觀測器的增益矩陣

若優(yōu)化問題(35)可解,則觀測器(14)的增益矩陣L可由SP-1W,LΘ1+SΘ2得到.

3.2 橢球殘差評價

基于模型的故障檢測方法主要包括兩個步驟:殘差生成和殘差評價,這兩部分對于故障檢測性能都有重要的影響.但是,現(xiàn)有文獻中的大部分工作都集中在殘差生成器的設(shè)計上,只有少部分的工作涉及到殘差評價部分.在本節(jié)中,本文提出了一種基于橢球分析的動態(tài)檢測閾值生成方法,可以高效快速地實現(xiàn)對殘差的評價.需要說明的是,本節(jié)假設(shè)故障檢測觀測器已由第3.1 節(jié)中提出的方法設(shè)計完成,即增益矩陣L已知并在此基礎(chǔ)上進行橢球殘差評價.

從式(17)和式(18)中可看出,在理想狀態(tài)下,無故障時殘差等于零.然而實際系統(tǒng)中總是存在著未知擾動和噪聲,因此無故障時殘差往往不為零,但是可以使用橢球來包住所有無故障時殘差的可能值.首先,根據(jù)橢球定義將有界假設(shè)(11)轉(zhuǎn)化為如下的橢球形式

基于上述的橢球有界假設(shè),本文給出如下定理來求解包住所有無故障時殘差可能值的動態(tài)橢球.

在系統(tǒng)無故障時,存在rd,krk關(guān)系成立,即無故障時始終有從屬關(guān)系rk E(0,Rk) 成立.但是,當系統(tǒng)發(fā)生故障后,rk E(0,Rk) 的條件就無法保證.由此,本文給出了如下的故障檢測邏輯:

其中,σk為故障檢測結(jié)果指示值,σk0,系統(tǒng)正常;σk1,系統(tǒng)故障.特別地,故障檢測邏輯(38)可通過求解如下帶約束線性規(guī)劃問題來進行判斷

若規(guī)劃問題(39)有解,則rk E(0,Rk),σk0,系統(tǒng)正常;反之,則rkE(0,Rk),σk1,系統(tǒng)故障.

注5.從定理2 中可看出,動態(tài)橢球E(0,Rk) 的計算只需要簡單的矩陣運算且無需降維操作,更不涉及到凸優(yōu)化問題或線性矩陣不等式的實時求解,具備良好的計算效率.同時,對無故障殘差動態(tài)橢球生成方法的時間計算復雜度的比較與分析結(jié)果具體如下:

注6.為了理論簡便性起見,本文只考慮了擾動和噪聲所在橢球的中心為原點且形狀矩陣為常值的情況,即wk E(0,W)和vk E(0,V).事實上,本文中的殘差評價方法也可以推廣到擾動和噪聲所在橢球的中心為非原點且形狀矩陣時變的情形,即wk E(cw,k,Wk)和vk E(cv,k,Vk). 此時,定理2推廣如下.

需要說明的是,在未知擾動和噪聲所在橢球的中心為非原點且形狀矩陣時變時,無故障殘差動態(tài)橢球生成算法的計算量會略有上升,但是時間計算復雜度量級仍為 O(n3),即所設(shè)計方法依舊保持著較好的計算效率,利于線上實時應用.

4 仿真結(jié)果

本節(jié)通過一個二階RC 電路模型來驗證所提出傳感器故障檢測方法的有效性與優(yōu)越性,該二階RC 電路的原理圖如圖1 所示.

圖1 二階RC 電路原理圖Fig.1 The schematic diagram of the second-order RC circuit

二階RC 電路的動態(tài)模型可描述為

其中,U(t) 表示電路的輸入電壓,U1(t)和U2(t) 分別表示電容C1和C2兩端的電壓.

動態(tài)模型(4)可寫為如下的線性連續(xù)時間系統(tǒng)

仿真中,二階RC 電路的電子元件參數(shù)為R1R2200 Ω,C1C21 000μF,同時考慮系統(tǒng)受到的未知擾動和噪聲以及傳感器故障,再利用歐拉一步化離散方法(離散時間Ts0.05 s)將二階RC電路系統(tǒng)(40)轉(zhuǎn)換為式(10)形式的離散系統(tǒng),相關(guān)參數(shù)矩陣為

則可得廣義系統(tǒng)(13)的矩陣參數(shù)為

選取ζ0.75,λ0.5,并求解優(yōu)化問題(35),則可得到μ0.3021,γw0.3022,γv0.3346 以及觀測器增益矩陣L為

本文主要考慮兩種常見類型的傳感器故障: 突變故障和時變故障.首先,考慮如下的傳感器突變故障

傳感器突變故障檢測的仿真結(jié)果如圖2和圖3所示.圖2 中給出了故障檢測結(jié)果指示值σk的曲線,從圖2 中可看出,在傳感器發(fā)生突變故障后,本文所設(shè)計的方法可以快速地檢測到故障,具備高效的故障檢測性能.為了直觀理解基于橢球分析的殘差評價方法,圖3 中給出了采樣時刻k在95 到105 的時間內(nèi),殘差rk與殘差橢球E(0,Rk) 的仿真結(jié)果.從圖3 中可看出,rkE(0,Rk),k ≥100.根據(jù)檢測邏輯(38)可知檢測到系統(tǒng)發(fā)生故障,驗證了橢球殘差評價方法的有效性.

圖2 突變故障檢測結(jié)果指示值Fig.2 Indication of abrupt fault detection result

圖3 突變故障的殘差 rk 與殘差橢球E(0,Rk)(k=95～105)Fig.3 Residual rk and residual ellipsoid E (0,Rk) of abrupt fault (k=95～105)

仿真中,考慮如下形式的時變傳感器故障

時變傳感器故障檢測的仿真結(jié)果如圖4和圖5所示.圖4 中給出了故障檢測結(jié)果指示值σk的曲線,從圖4 中可以看出,本文所設(shè)計的方法在系統(tǒng)傳感器發(fā)生時變故障后可以快速給出準確的檢測結(jié)果,具備良好的檢測性能.圖5 中給出了采樣時刻k在95 到105 時間內(nèi),殘差rk與殘差橢球E(0,Rk)的仿真結(jié)果.從圖5 中可以看出,rkE(0,Rk),k ≥100,同樣表明系統(tǒng)發(fā)生了故障,再次驗證了橢球殘差評價方法的有效性.

圖4 時變故障檢測結(jié)果指示值Fig.4 Indication of time-varying fault detection result

圖5 時變故障的殘差 rk 與殘差橢球E(0,Rk)(k=95～105)Fig.5 Residual rk and residual ellipsoid E (0,Rk) of time-varying fault (k=95～105)

為了驗證本文檢測方法的優(yōu)越性,仿真中將本文方法與H-/H∞和H-/L∞故障檢測方法進行對比.

針對系統(tǒng)(10),設(shè)計如下形式的H-/H∞故障檢測觀測器

針對系統(tǒng)(10),設(shè)計如下形式的H-/L∞故障檢測觀測器

仿真中,H-/H∞和H-/L∞故障檢測方法也采用橢球技術(shù)來進行殘差評價,并采用如下的檢測邏輯

其中,E(0,Hk)為H-/H∞故障檢測方法的殘差橢球,E(0,Lk)為H-/L∞故障檢測方法的殘差橢球,δk和?k為兩種方法故障檢測結(jié)果的指示值.故障檢測邏輯(43)和(44)同樣通過求解帶約束的線性規(guī)劃問題來進行判斷,此處不再贅述.

不失公平性,本文方法與H-/H∞和H-/L∞故障檢測方法均采用與上述相同的仿真參數(shù).仿真中,考慮如下的傳感器微小突變故障:

仿真對比結(jié)果如圖6～ 9 所示.圖6 中給出了3 種方法故障檢測結(jié)果指示值σk、δk和?k的對比曲線.從圖中可看出,本文中的方法對傳感器的微小突變故障仍有檢測能力,H-/L∞方法雖然能檢測到故障,但漏檢率明顯高于本文方法;而H-/H∞方法則完全無法檢測到該微小突變故障.仿真結(jié)果說明本文方法具備更良好的故障檢測性能.圖7～ 9中分別給出了采樣時刻k在95 到105 時間內(nèi),本文方法的殘差rk與殘差橢球E(0,Rk)、H-/H∞方法的殘差?k與殘差橢球E(0,Hk) 以及H-/L∞方法的殘差?k與殘差橢球E(0,Lk) 的仿真結(jié)果.從圖中可看出,rkE(0,Rk),103≤k ≤105,而?k E(0,Hk),?k E(0,Lk),95≤k ≤105.這表明本文方法檢測到了故障,但H-/H∞和H-/L∞方法在此時間段內(nèi)未檢測到故障,驗證了本文方法的有效性與優(yōu)越性.

圖6 微小突變故障檢測指示值對比結(jié)果Fig.6 Comparison result of small abrupt fault detection indication values

圖7 本文方法的殘差 rk 與殘差橢球E(0,Rk)(k=95～105)Fig.7 Residual rk and residual ellipsoid E (0,Rk) by the proposed approach (k=95～105)

圖8 H-/H∞ 方法的殘差 ?k 與殘差橢球E(0,Hk)(k=95～105)Fig.8 Residual ?k and residual ellipsoid E (0,Hk) by the H-/H∞ method (k=95～105)

圖9 H-/L∞ 方法的殘差 ?k 與殘差橢球E(0,Lk)(k=95～105)Fig.9 Residual ?k and residual ellipsoid E (0,Lk) by the H-/L∞ method (k=95～105)

其中,εk為文獻[29]中方法故障檢測結(jié)果指示值,εk0,系統(tǒng)正常;εk1,系統(tǒng)故障.

仿真對比過程中,采用與上述相同的仿真參數(shù)和傳感器微小突變故障,由此可得到如圖10 所示的殘差區(qū)間分析仿真結(jié)果和如圖11 所示的故障檢測對比結(jié)果.通過對故障檢測數(shù)據(jù)統(tǒng)計后可知,在傳感器故障的100 個采樣時刻內(nèi),本文方法共在43 個采樣時刻檢測到故障;文獻[29]中方法共在30 個采樣時刻檢測到故障,說明本文中的橢球故障檢測方法可以得到比文獻[29]中方法更良好的故障檢測結(jié)果,漏檢率更低,驗證了本文方法優(yōu)秀的故障檢測性能.

圖11 本文方法與文獻[29]方法的故障檢測結(jié)果Fig.11 Fault detection results of the proposed method and the approach in [29]

為了說明本文方法計算量需求小、運算效率高的優(yōu)勢,仿真中將本文方法與文獻[41]中的橢球故障檢測方法進行對比.對比過程中,采用與上述相同的仿真參數(shù)和傳感器微小突變故障,將兩種方法在同一環(huán)境下各運行7 次并記錄算法的運行時間,由此得到如表1 所示的數(shù)據(jù)對比結(jié)果.仿真對比實驗選用了如下測試環(huán)境: Intel(R) Core(TM) i7-7700HQ CPU@ 2.8 GHz、16.00 GB 內(nèi)存、Windows10 系統(tǒng).從表1 中可以看出,本文方法運行時間更短,可得到比文獻[41]中方法更高的計算效率.這一對比結(jié)果也驗證了注5 中算法時間計算復雜度的分析結(jié)果,文獻[41]中高量級時間計算復雜度方法所需的運行時間遠大于本文中 O(n3) 時間計算復雜度的方法.

表1 本文設(shè)計方法與文獻[41]中方法的運行時間(s)Table 1 Running time of the proposed approach and the method in [41] (s)

仿真中還對比了本文方法與文獻[41]中方法的故障檢測性能,仿真對比結(jié)果如圖12 所示.通過對故障檢測數(shù)據(jù)統(tǒng)計后可知,在傳感器微小突變故障作用的100 個采樣時刻內(nèi),本文方法共在43 個采樣時刻檢測到故障,文獻[41]中方法共在27 個采樣時刻檢測到故障,說明本文方法可以得到比文獻[41]中方法更優(yōu)秀的故障檢測性能,驗證了本文方法的有效性.

圖12 本文方法與文獻[41]方法的故障檢測結(jié)果Fig.12 Fault detection results of the proposed method and the approach in [41]

5 結(jié)束語

本文針對具有未知擾動與測量噪聲的線性離散時間系統(tǒng),提出了一種新的傳感器故障檢測方法.首先,通過將傳感器故障視為增廣狀態(tài),將原始系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為一個等效的新線性系統(tǒng).基于該系統(tǒng),本文使用魯棒觀測器設(shè)計和極點配置方法構(gòu)造了一個故障檢測觀測器,使得生成的殘差能夠同時滿足對擾動與噪聲的魯棒性和對故障的敏感性,并將檢測觀測器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為易于求解的線性矩陣不等式形式.為了檢測故障,本文還提出了一種基于橢球分析的殘差評價方法,可通過判斷殘差是否被無故障殘差橢球包含來檢測故障.特別地,無故障殘差橢球生成算法所需的計算量較小,具備良好的計算效率,易于實際系統(tǒng)實現(xiàn).最后,通過一個二階RC 電路的仿真算例驗證了所提出方法的有效性與優(yōu)越性.此外,本文中所提出線性系統(tǒng)傳感器故障檢測方法可以通過線性變參數(shù)模型近似的方式推廣到非線性系統(tǒng),這將是我們下一步的研究工作.