初中數學教學中學生逆向思維能力的培養路徑

文/顏新凡

引 言

初中數學教學中，教師應充分認識到培養學生逆向思維能力的重要性。逆向思維在解題中有廣泛應用，能幫助學生有效提高學習效率，提高學生思維靈活性[1]。為更好地培養學生的逆向思維能力，教師應引導學生做好逆向思維理論知識自主學習，理解逆向思維的外在表現，順利實現培養目標。

一、借助理論灌輸培養逆向思維能力

在培養學生的逆向思維能力時，教師首先應讓學生了解逆向思維，認識到逆向思維的重要作用，以及在解題中的具體體現[2]。教學實踐中，教師應注重將培養活動融入理論知識灌輸中。一方面，在講解相關運算法則時，教師不僅要要求學生理解運算法則，牢固記憶，還應給予學生有針對性的啟發，使其能夠逆向推導運算法則，對運算法則形成清晰認識，為逆向思維的應用奠定基礎。另一方面，為使學生認識到逆向思維的重要性，教師應圍繞教學重點，積極創設相關問題情境，與學生一起分析解決問題的思路與方法，使其體會逆向思維的應用過程，體會用逆向思維解題的便利性。

例如，“冪的運算”是初中數學極其重要的知識點，也是各類測試常考知識點。在講解該部分知識時，為使學生牢固掌握運算法則，并能應用逆向思維解決相關問題，教師可創設以下問題情境，要求學生根據提示分析解答：將冪的運算運用逆向思維可得：am+n=am·an，am-n=am÷an，amn=(am)n，ambm=(ab)m。逆向運用冪的運算法則，有時可獲得良好的解題效果。接著，教師讓學生解答以下問題：

（1）若3×9m×27m=311，求m的值。

（2）已知a=255，b=344，c=533，d=622，則a、b、c、d的大小關系怎樣？（已知當a＞b＞0，n為正整數，那么an＞bn）

該問題難度并不大，分析問題的關鍵在于能否根據提示逆向運用冪的運算法則。

問題（1）：根據冪的逆運算可知9m=32m，27m=33m，則3×9m×27m=3×32m×33m=35m+1=311，則5m+1=11，解得m=2。

問題（2）：由255=(25)11=3211，344=(34)11=8111，533=(53)11=12511，622=(62)11=3611，由125 ＞81 ＞36 ＞32，可得c ＞b ＞d ＞a。

二、借助例題講解培養逆向思維能力

例題講解是初中數學教學活動的重要構成部分[3]，既要鞏固學生所學知識，又要有針對性地鍛煉學生的逆向思維能力，給學生帶來良好的解題啟發，使學生積累逆向思維解答習題的經驗[4]。逆向思維的表現形式較多，以初中數學幾何知識為例，由幾何圖形推出幾何圖形的性質可看出正向思維，而從幾何圖形性質推出幾何圖形，則屬于逆向思維。在此基礎上，教師圍繞教學內容做好課堂例題的篩選，通過例題展示由幾何圖形性質逆向構造幾何圖形的過程，能夠使學生感受整個推理過程，把握逆向思維解題的關鍵。

例如，“圓”是初中數學中非常重要的幾何圖形，涉及的性質較多。在教學中，教師會要求學生整理相關性質并牢固記憶，同時運用多媒體技術為學生講解如下經典例題：如圖1，AB是圓O的直徑，點C、D是圓O上不同于A、B兩點的點，連接OC，OD，CD，過點C作CE⊥DB，交DB延長線于點E，連接AC、AD。（1）若∠ABD=2 ∠BDC，求證：CE是圓O的切線。（2）若圓O的半徑是，，求AC的長。

圖1

（1）證明：根據同弧所對的圓心角是圓周角度數的2 倍，因為同BC弧，所以∠BOC=2 ∠BDC，因為∠ABD=2 ∠BDC，所以得出∠BOC=∠ABD，所以OC∥BD，所以∠DEC+ ∠ECO=180°，因為∠DEC=90°，所以∠ECO=90°，所以得出CE是圓O的切線。

（2）因為同BC弧，所以∠BDC=∠BAC，因為，所以，經 過 點O作OH⊥AC于H，因為tan，設OH=x，所以AH=2x，根據勾股定理可以得出，OH2+AH2=OA2，求解得出x=1，所以AC=4。

三、借助課堂訓練培養逆向思維能力

為獲得良好的逆向思維培養效果，在初中數學教學中，教師應注重將培養工作融入課堂訓練活動中，給學生提供運用逆向思維分析問題的機會，使其通過逆向思維暴露出自身的不足[5]。一方面，教師要做好初中數學題型及學生解題方式的研究，做好課堂訓練習題的針對性設計，引導學生突破思維定式，在逆向思維指引下解題。另一方面，在訓練活動結束后，教師可要求學生做好訓練總結及訓練心得交流，分析逆向思維適用的問題情境、習題類型，以便以后遇到類似問題運用逆向思維迅速突破。

例如，在完成“數軸”知識講解后，教師可設計以下課堂訓練習題，要求學生作答：如圖3 所示的數軸上，點A、B、C對應的數分別為a、b、c，若以下三個式子均成立：①|b|＜|c|；②a+c＜0；③a+b＜0，則原點的位置可能在（ ）。

圖3

A.點A的左側 B.點A和點B之間

C.點B和點C之間 D.點C的右側

學生對數軸類的問題并不陌生。多數習題要求學生根據點在數軸上的位置進行相關計算。但是該習題另辟蹊徑，給出相關參數的大小關系，要求推理原點位置。學生采用正向思維分析問題的難度較大，可以運用逆向思維從給出的選項入手，逐一驗證其是否滿足題干給出的三個式子，運用排除法順利得出正確選項：

A 項，若原點在點A 的左側，a、b、c均為正數，不滿足②③，排除。B項，若原點在點A和點B之間，a＜0，c＞0，且|c|＞|a|，a+c＞0，不滿足②，排除。C 項，若原點在點B和點C之間，可同時滿足上述三個式子。D 項，若原點在點C的右側，不滿足①，排除。因此，選擇C 項。

四、借助課堂小結培養逆向思維能力

課堂小結常用于總結課堂上講解的知識點、相關的解題方法等，幫助學生系統認識所學知識[6]。在課堂小結環節，教師應注重對學生逆向思維能力的培養，一方面，引導學生對所學知識分門別類，尤其通過聯系所學舊知識，構建新舊知識之間的內在關聯，實現對學習內容的全面認識。同時，通過相關解題技巧的總結，學生在以后解題中能少走彎路，提高解題效率。另一方面，通過對課堂例題的改編，教師可引導學生采用逆向思維分析問題，鍛煉運用逆向思維分析問題的能力。

例如，“解一元一次不等式組”是初中數學的重要知識點。通過課堂小結，學生認識到在確定不等式組的解集時，常按照“大大取較大，小小取較小，小大、大小取中間，大小、小大無處找”的法則。為培養學生的逆向思維能力，在課堂小結時，教師可對課堂例題做如下改編：若不等式組的解為-3＜x＜1，則(a+1)(b-1)的值為（ ）。

A.-6 B.7 C.-8 D.9

課堂例題講解的是給出一元一次不等式組，求不等式組的解集。在課堂小結時，教師給出不等式組的解集，要求學生求對應參數的值，以鍛煉學生的逆向思維能力。解題時，學生需先計算出a和b的值，而后將其代入要求解的式子。

五、借助日常作業培養逆向思維能力

在教學實踐中，教師應借助作業培養學生的逆向思維能力。一方面，教師結合逆向思維能力培養目標做好作業習題設計，既要兼顧基礎知識的考查，又要有針對性地鍛煉學生的逆向思維能力。另一方面，為使學生盡快找到解題思路，提高做作業的信心，教師應注重給予學生有針對性的提示。

例如，在“一元二次方程”教學完成后，為加深學生對根與系數的理解，啟發學生運用逆向思維解題，教師可為學生布置以下作業：已知實數s、t分別滿足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0，且st≠1，則22的值為（ ）。

A.-1 B.0 C.1 D.2

該題難度較大，需逆向運用根與系數的關系構造出對應的二次方程，再運用根與系數的關系解答。教師可引導學生對給出的等式進行變形，構造對應的二次方程。最終學生根據提示運用逆向思維成功計算出結果。

由t2+7t+7=0，方程兩邊同除以“t2”得到：， 由7s2+7s+1=0， 可 知s和是方程7x2+7x+1=0 的兩個根。由根與系數的關系可知。

六、借助數學測試培養逆向思維能力

在教學實踐中，教師可通過測試習題的設計，培養學生的逆向思維能力。結合自身教學經驗，教師可篩選或設計一些經典習題，在考查學生掌握所學知識牢固程度的同時，使學生運用逆向思維解答問題。不僅如此，在學生完成測試后，教師還應專門預留時間，讓學生分析自身的解題思路，嘗試運用逆向思維解題。

例如，化簡求值是初中數學中的經典題型。在數學測試中，教師可適當提升習題難度，使學生從要求解的問題出發，采用逆向思維解題。如教師可設計如下習題：已知a、b、c均為實數，且，，求的值。

該題看似難度較大，很多學生無從下手。實際上，教師可采用逆向思維從要求解的問題入手，構建要求解問題與已知條件的聯系。學生通過分析可知，需分別對式子進行取倒數處理。

結 語

綜上所述，培養學生逆向思維能力的途徑多種多樣。為達到預期的培養效果，教師既要借鑒他人的經驗，又要結合自身教學經驗尋找適合自身的方法，不斷總結經驗教訓，做好成功經驗的推廣及優化，將細節考慮到位，使學生的逆向思維能力得到有效提升。