基于IMU體對角線旋轉的雙軸旋轉方案

查 峰, 位秋碩, 何泓洋, 李 豹

(海軍工程大學電氣工程學院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

慣導系統具備自主性強、可靠性高的特點,可以使載體航行更加隱蔽,因此常常被應用于潛艇、無人潛航器等軍事裝備[1-4]。由于缺少外部信息的校正,以及慣導系統自身器件誤差以及工作環境的影響,導航誤差隨時間累積,經過長時間的航行,載體的導航誤差將不可忽視[5-9]。目前主要采用提升慣性器件精度和旋轉調制技術兩種手段提高慣導系統精度[10-13]。其中,旋轉調制技術是減小導航誤差經濟且有效的方式[14-18]。旋轉慣導系統利用慣性測量單元(inertial measurement unit, IMU)規律性旋轉以調制系統常值和慢變誤差,因此旋轉方案是決定系統精度提升的關鍵因素[19-25]。目前,常見的單軸、雙軸旋轉慣導系統均以IMU的某一個或兩個方向慣性器件敏感軸作為旋轉軸,通過改變旋轉軸的旋轉速度、方向、次序來設計不同的旋轉方案。該方案簡潔直觀,空間關系簡單,易于實現。Levinson[23]在20世紀80年代提出了旋轉調制的概念。文獻[25]在國內較早開展旋轉方案研究,針對單軸旋轉系統,研究了四位置旋轉方案,并針對其主要誤差特性進行了研究和分析。針對雙軸旋轉系統,提出了改進八位置和十六位置旋轉方案。文獻[6]在此基礎上針對速度誤差累積問題,提出一種改進的十六位置旋轉方案。文獻[26]針對十六位置旋轉方案中轉角過大問題,提出一種三十二位置的旋轉方案。文獻[27]針對刻度系數誤差與IMU運動的耦合效應,提出一種綜合誤差抑制的旋轉方案,減小了一個周期內的速度誤差累積,取得理想效果。文獻[28]針對雙軸旋轉方案進行了深入研究,為了解決光纖陀螺刻度系數穩定性較差且不宜采用傳統旋轉方案的問題,提出一種外環水平結構雙軸光纖慣導系統的旋轉方案。此外,文獻[29]設計了一種四十八位置的雙軸旋轉方案,不僅可以用于誤差調制,還可以用于慣導系統的自標定。上述旋轉方案研究均是基于旋轉軸與慣性器件敏感軸同向的前提。由于旋轉軸與慣性器件敏感軸同向,因此在繞某一軸旋轉時,該軸向上的慣性器件相關誤差難以得到調制。文獻[30]提出一種改進的單軸旋轉方案,使旋轉軸與IMU天向軸呈一定角度,以解決天向器件誤差不能調制的缺陷,有效提高了單軸旋轉系統的精度。在該方案中,由于器件誤差未知,旋轉軸夾角確定相對困難,在一定程度上限制了補償效果。

本文提出一種基于IMU體對角線旋轉的雙軸旋轉方案。方案不再以慣性器件敏感軸為旋轉軸,而選取IMU 3個正交慣性器件的體對角線為水平旋轉軸,選取與該軸正交的垂向軸為另一旋轉軸。通過改變水平和垂向旋轉軸的旋轉速度、方向和次序實現雙軸旋轉。由于旋轉軸與慣性器件均不同向,因此在旋轉的任意時刻,3個方向的慣性器件誤差均得到調制,最大程度地提高了系統精度。

1 旋轉慣導誤差模型

1.1 坐標系定義

慣性坐標系(設為i系):慣性坐標系的原點位于地球的中心,z軸沿地軸指向北極,x軸在赤道平面內指向春分點,y軸與z軸、x軸構成右手直角坐標系;

導航坐標系(設為n系):選取當地地理坐標系,導航坐標系的原點位于載體質心,x軸指向東向,y軸指向北向,z軸指向天向;

載體坐標系(設為b系):載體坐標系的原點位于載體質心,x軸通過質心指向載體右方,y軸通過質心指向載體前方,z軸通過質心指向載體上方;

安裝坐標系(設為m系):3組陀螺儀、加速度計互相垂直,構成IMU,3組慣性元件分別為安裝坐標系的x軸、y軸、z軸;

旋轉坐標系(設為p系):在旋轉調制初始時刻,旋轉坐標系與載體坐標系重合。當IMU繞載體坐標系的x軸旋轉時,旋轉坐標系的x軸與載體坐標系的x軸重合,旋轉坐標系的y軸和z軸繞旋轉軸x軸以旋轉角速度轉動;當IMU繞載體坐標系的y軸旋轉時,旋轉坐標系的y軸與載體坐標系的y軸重合,旋轉坐標系x軸和z軸繞旋轉軸y軸以旋轉角速度轉動;當IMU繞載體坐標系的z軸旋轉時,旋轉坐標系的y軸與載體坐標系的y軸重合,旋轉坐標系x軸和z軸繞旋轉軸y軸以旋轉角速度轉動;雙軸旋轉調制一般選擇繞x軸和z軸旋轉。

1.2 系統誤差源定義

常值誤差(表示為ε)和隨機誤差(表示為σ):慣性器件在沒有輸入信號的情況下有輸出信號。該輸入信號以常值、隨機規律變化。

刻度系數誤差(表示為δK):將慣性器件的輸出電壓轉換為角速度或加速度時產生的誤差。刻度系數誤差矩陣表示如下:

其中:k11、k22、k33為3個陀螺儀輸出轉換為角加速度時的轉換系數。

安裝誤差(表示為δA):慣性器件的敏感軸與理想正交安裝產生的夾角,設k12、k13、k21、k23、k31、k32為6個安裝誤差角。安裝誤差矩陣如下:

其中:k12、k13、k21、k23、k31、k32為3個陀螺儀安裝時與理想安裝產生的6個未對準夾角。

1.3 旋轉慣導誤差方程

在慣性導航系統中,基于角度誤差定義的姿態誤差和速度誤差如下所示:

(1)

(2)

由慣性導航系統誤差方程可以得到傳統的旋轉慣性導航系統誤差傳播方程,如下所示:

(3)

(4)

定義式(3)中第3項(設為En)為導航坐標系下的角速度誤差,式(4)中第2項(設為Γn)為導航坐標系下的比力誤差,展開式為

(5)

(6)

2 旋轉方案的數學模型

2.1 傳統旋轉方案建模

文獻[6]旋轉方案基于旋轉軸與慣性器件敏感軸同向的前提,其具體旋轉方案可以表示為

(1) 繞Z軸正轉180°,停留ts秒;

(2) 繞X軸正轉180°,停留ts秒;

(3) 繞Z軸反轉180°,停留ts秒;

(4) 繞X軸反轉180°,停留ts秒;

(5) 繞X軸反轉180°,停留ts秒;

(6) 繞Z軸反轉180°,停留ts秒;

(7) 繞X軸正轉180°,停留ts秒;

(8) 繞Z軸正轉180°,停留ts秒;

(9) 繞X軸正轉180°,停留ts秒;

(10) 繞Z軸正轉180°,停留ts秒;

(11) 繞X軸反轉180°,停留ts秒;

(12) 繞Z軸反轉180°,停留ts秒;

(13) 繞Z軸反轉180°,停留ts秒;

(14) 繞X軸反轉180°,停留ts秒;

(15) 繞Z軸正轉180°,停留ts秒;

(16) 繞X軸正轉180°,停留ts秒。

表1 傳統16位置旋轉方案和ωp的表達式

2.2 本文旋轉方案建模

本文方案在傳統旋轉方案的基礎上,改變旋轉軸的設定,選取IMU 3個正交慣性器件的體對角線為水平旋轉軸,選取與該軸正交的為垂向旋轉軸,如圖1所示。

圖1 傾斜旋轉調制方案Fig.1 Tilt rotation modulation scheme

本文方案在文獻[6]旋轉方案的基礎上,改變IMU在雙軸轉臺上的放置方式,將IMU 3個正交慣性器件的體對角線為水平旋轉軸,與轉臺內環軸平行,與該軸正交的為垂向旋轉軸,與轉臺外環軸平行,且水平旋轉軸與IMU的3個敏感軸夾角相等,如圖2所示。旋轉秩序與文獻[6]中的旋轉秩序一致。

圖2 安裝坐標系與旋轉坐標系關系Fig.2 The relationship between installation coordinate system and rotation coordinate system

(7)

(8)

角速度誤差和比力誤差的展開式如下所示:

(9)

(10)

3 系統誤差特性分析

3.1 姿態誤差分析

首先討論由常值誤差、刻度系數誤差和安裝誤差引起的姿態誤差。

(1) 由常值誤差引起的姿態誤差:合理的雙軸旋轉調制方案都可以將常值誤差調制為零,在此不再贅述。

(2) 由刻度系數誤差引起的姿態誤差:將式(9)中含有刻度系數誤差的部分進行積分、累加,可獲得每次旋轉后由刻度系數誤差產生的姿態誤差變化幅度,如式(11)所示為一個旋轉周期內(即經過十六次旋轉后)由刻度系數誤差引起的姿態誤差。

(11)

(3) 由安裝誤差引起的姿態誤差:將式(9)中含有安裝誤差的部分進行積分、累加,可獲得每次旋轉后由安裝誤差產生的姿態誤差變化幅度,如式(12)所示為一個旋轉周期內由安裝誤差引起的姿態誤差。

(12)

將上述文獻[6]和本文旋轉方案相關數學表達式帶入式(11)和式(12)中,可得到由刻度系數誤差和安裝誤差引起的姿態誤差。假設3組慣性器件的刻度系數誤差相同,各軸向的安裝誤差相等,即設k11=k22=k33=k1,k12=k13=k21=k23=k31=k32=k2,如表2～表3所示。

表2 傳統16位置旋轉方案由刻度系數和安裝誤差引起的姿態誤差

表3 改進方案由刻度系數和安裝誤差引起的姿態誤差

將表2和表3中的刻度系數誤差和安裝誤差引起的姿態誤差幅度變化如圖3～圖4所示。

圖3 由刻度系數誤差引起的姿態誤差Fig.3 Attitude error caused by scale factor error

圖4 由安裝誤差引起的姿態誤差Fig.4 Attitude error caused by installation error

如圖3所示,兩種方案由刻度系數誤差引起的姿態誤差幅度變化一致,在北向軸上始終為零,東向軸和天向軸上的姿態誤差被調制為零均值的周期形式,從而刻度系數誤差不會出現積分并引起速度誤差積累。

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3.2 速度誤差分析

(13)

基于上文提到的載體靜止預設,fn可以表示為

(14)

式中:g為當地重力加速度。

因此,可以得到東向速度誤差和北向速度誤差:

(15)

(16)

將式(11)和式(12)相加,求取由刻度系數誤差和安裝誤差引起的姿態誤差總和,并代入式(15)和式(16),可求得東向速度誤差和北向速度誤差。為了直觀對比顯示出兩種方案的北向速度誤差幅度大小,假設3組慣性器件的刻度系數誤差相同,各軸向的安裝誤差相等。即設tr=π/ω,k12=k13=k21=k23=k31=k32=k2,k11=k22=k33=k1,簡化后的北向速度誤差如表4所示。

表4 兩種方案的北向速度誤差

從表4中可以看出,兩種方案由刻度系數誤差造成系統北向速度誤差積累的幅值變化一致,本文方案的調制效果表現在抑制由安裝誤差造成系統速度誤差的積累,如文獻[6]中由安裝誤差引起的北向速度誤差積累平均幅值為-9k2gtr,而本文方案平均幅值為(-2k2/3)gtr,在幅值大小方面本文方案的北向速度誤差較小。

為了更清晰地顯示本文北向速度誤差幅值,將上述表格列寫的由安裝誤差造成的北向速度誤差累積幅度變化用折線圖進行表示,如圖5所示。

圖5 北向速度誤差幅度大小對比圖Fig.5 Comparison diagram of error amplitude of northern velocity

數據處理結果表明:在本文提出的傾斜方案下,文獻[6]的旋轉調制方案能夠更充分地減小由安裝誤差引起的北向速度誤差累積,從而使位置誤差得到充分調制。

忽略高度因素影響,位置誤差方程為

(17)

(18)

式中:RM為子午圈曲率半徑;RN為卯酉圈曲率半徑。

由式(17)和式(18)可知,北向速度誤差的減小導致緯度誤差和經度誤差減小。

4 仿真校驗

為了驗證本文所提出的傾斜方案的數學推導分析的正確性以及試驗實際應用的效果,針對兩種方案分別進行了刻度系數誤差、安裝誤差和綜合誤差情況下的仿真實驗。具體仿真參數設置如表5所示。

表5 仿真參數設置

4.1 刻度系數誤差、安裝誤差仿真

為了驗證上述關于由刻度系數誤差和安裝誤差引起的姿態誤差分析的正確性,分別設置僅有刻度系數誤差和安裝誤差的兩種仿真條件,驗證姿態誤差與圖3和圖4所述的幅值變化是否一致。

仿真條件僅包含刻度系數誤差,具體數值如表5所示。實驗結果如圖6所示。圖6為文獻[6]旋轉方案和本文旋轉方案在一個周期內(960 s)由刻度系數誤差引起的姿態誤差對比,結合圖3,兩種方案由刻度系數誤差引起的姿態誤差幅度變化一致,所以如圖6所示,本文旋轉方案數據曲線將文獻[6]方案覆蓋。

圖6 由刻度系數誤差引起的姿態誤差對比圖Fig.6 Comparison diagram of attitude errors caused by scale coefficient errors

仿真條件僅包含安裝誤差,具體數值如表5所示(見前頁)。圖7為兩種旋轉方案由安裝誤差引起的姿態誤差對比圖。從圖7可以看出,本文旋轉方案不僅可以將北向軸姿態誤差調制為零均值的周期形式,而且還可以將東向軸和天向軸姿態誤差調制為零均值周期形式。因此,驗證了表3和圖3中數學推導的正確性。

圖7 由安裝誤差引起的姿態誤差對比圖Fig.7 Comparison diagram of attitude errors caused by installation errors

為了驗證上述速度誤差數學推導的正確性,實驗仿真條件僅包含安裝誤差。實驗結果如圖8所示,本文方案相較于文獻[6]方案速度誤差顯著減小,變化趨勢與圖5一致。

圖8 由刻度系數誤差和安裝誤差引起的北向速度誤差對比Fig.8 Comparison diagram of north velocity error caused by scale coefficient error and installation error

4.2 綜合誤差仿真

為了試驗本文方案在實際應用中的效果,在此設置實際應用中存在的主要誤差源,進行綜合誤差仿真,參數設置如表5所示。

一個周期內(960 s)由綜合誤差引起的姿態誤差和速度誤差如圖9和圖10所示。

圖9 一個周期內x軸、y軸姿態誤差對比圖Fig.9 Comparison diagram of x-axis and y-axis attitude errors in one cycle

圖10 一個周期內東向、北向速度誤差對比圖Fig.10 Comparison diagram of eastward and northward velocity errors in one cycle

長航時(120 h)內由綜合誤差引起的姿態誤差、速度誤差以及位置誤差如圖11～圖13所示。

圖11 長航時(5天)x軸、y軸姿態誤差對比圖Fig.11 Comparison diagram of x-axis and y-axis attitude errors in five days

圖12 長航時(5天)東向、北向速度誤差對比圖Fig.12 Comparison diagram of eastward and northward velocity errors in five days

圖13 長航時(5天)位置誤差對比圖Fig.13 Comparison diagram of position errors in a five days

如圖9、圖10所示,與文獻[6]方案相比,在本文方案將x軸姿態誤差調制為零均值的周期形式,結合表4,本文方案對系統x軸向姿態誤差的調制效果主要體現在對安裝誤差的調制作用。因此,北向速度誤差累積相應減小。本文方案在y軸向姿態誤差幅度抑制能力與文獻[6]方案相近,所以東向速度誤差累積幅度減小不明顯。因此,圖9和圖10進一步充分證明了上述理論推導的正確性。

由式(17)和式(18)以及上述分析,相較于文獻[6]方案,在本文方案旋轉調制下,系統北向速度誤差減小,從而位置誤差相應減小,如圖13所示。本文方案的位置誤差從文獻[6]方案的0.418 9海里/120小時減小到0.120 7海里/120小時。

5 結 論

旋轉調制慣性導航系統的誤差補償取決于旋轉方案的設置。與傳統旋轉方案不同,本文采用IMU基于體對角線旋轉的方式,不僅沒有引入新的誤差,而且使各種誤差相對減小,特別是對安裝誤差的調制效果明顯。在綜合誤差條件下,本文提出的基于IMU體對角線的旋轉方案將文獻[6]中的位置誤差從0.418 9海里/120小時減小到0.120 7海里/120小時,達到了一定的誤差抑制效果。