天體圓周運動追及相遇問題方法總結和應用

沙希文 詹思楠

(佳木斯市第一中學)

天體圓周運動追及相遇問題來源于圓周運動的追及相遇問題,但是由于天體運動有自己的運動規律,涉及物理知識比較多,包括萬有引力定律、開普勒第三定律、圓周運動向心力公式等,所以問題更復雜,但是解題本質上都是相似的,在做這類問題的時候要靈活選擇方法和規律。本文分析和總結了解決此類問題的一些方法和在具體問題上的應用。

一、模型的建立和核心素養的培養

【情景】如圖1所示為兩個物體繞同一圓心O做同方向的勻速圓周運動,A物體的軌道半徑小于B物體的軌道半徑,A物體做勻速圓周運動的角速度為ω1,周期為T1,B物體做勻速圓周運動的角速度為ω2,周期為T2,其中角速度ω1>ω2,T1

圖1

圖2

(1)兩個物體相距最近為t=0時刻,則經過多長時間兩個物體A、B相距最近?

(2)兩個物體相距最近為t=0時刻,則經過多長時間兩個物體A、B相距最遠?

【解析】(1)方法一:角速度法

設經過t時間兩個物體相距最近,則

A物體轉過的角度為θ1=ω1t

B物體轉過的角度為θ2=ω2t

要想相距最近,需要滿足A比B多轉過的角度Δθ=θ1-θ2=2nπ(n=1,2,3,…)

方法二:圈數法

兩個物體相遇最近的條件為,A物體比B物體多走圈數

ΔN=N1-N2=n(n=1,2,3,…)

方法三:相對運動法

假設B物體不動,則A相對B轉動的角速度為Δω=ω1-ω2

兩個物體要是相距最近,則A物體相對B物體轉完整的圈數,設時間為t,則滿足關系為

Δω·t=2πn(n=1,2,3,…)

(2)方法一:角速度法

設經過t時間兩個物體相距最遠,則

A物體轉過的角度為θ1=ω1t

B物體轉過的角度為θ2=ω2t

要想相距最遠,需要滿足A比B多轉過的角度Δθ=θ1-θ2=(2n+1)π(n=0,1,2,3,…)

方法二:圈數法

兩個物體相距最遠的條件為,A物體比B物體多走半圈

方法三:相對運動法

假設B物體不動,則A相對B轉動的角速度為Δω=ω1-ω2

兩個物體要是相距最遠,則A物體相對B物體多轉半圈的奇數倍,設時間為t,則滿足關系為

Δω·t=(2n+1)π(n=0,1,2,3,…)

【拓展知識】如果兩個物體繞中心反向運動,從相距最近到再相距最近,方法和上面相同,就是轉過的角度或者圈數滿足θ1+θ2=2nπ(n=1,2,3,…)的關系。

二、解決“視界”問題

(一)“火星合日” “火星沖日”問題分析

【知識背景】沖日,簡稱沖,是由地球上觀察天體與太陽的位置相差180°,即天體與太陽在地球兩側,三者共線的天文現象;如果地外行星在地球軌道以外,當太陽把行星和地球分開180°時,簡稱“合日”,即地外行星和地球在太陽兩側與太陽共線。(來源于網絡)下面是以此知識為背景考查天體追及相遇問題的例題。

【例1】(2022年哈三中二模試題)我國火星探測器“祝融號”在2021年9月中旬到10月下旬約一個月的時間內發生短暫“失聯”,原因是發生“火星合日”現象,太陽干擾無線電、影響通信。“火星合日”是指當火星和地球分別位于太陽兩側與太陽共線的天文現象,如圖3。已知火星公轉的周期為T1,地球的公轉周期為T2,地球與火星繞太陽做圓周運動的方向相同。結合以上信息,下列說法正確的是( )

圖3

A.火星公轉的周期T1小于地球公轉的周期T2

B.“祝融號”火星探測器失聯過程中火星與太陽連線掃過的面積等于地球與太陽連線掃過的面積

【命題意圖】以中國航天事業為背景材料,考查開普勒定律、圓周運動物理量的比較、圓周運動追及相遇問題,問題比較綜合,難度中等。

【答案】C

【知識拓展】如果從火星合日變成火星沖日最短需要多長時間?

(二)相遇次數的判斷

相遇次數指的是在不同軌道做圓周運動的物體相距最近的時候我們說兩個物體相遇一次,相遇一次即運動快的物體比運動慢的物體多走一圈,也就是我們前面分析的問題。

【例2】如圖4所示,質點a、b在同一平面內繞質點c沿逆時針方向做勻速圓周運動,它們的周期之比Ta∶Tb=1∶k(k>1,為正整數)。從圖示位置開始,在b運動一周的過程中( )

圖4

A.a、b距離最近的次數為k次

B.a、b距離最近的次數為(k+1)次

C.a、b、c共線的次數為2k次

D.a、b、c共線的次數為(2k-2)次

【答案】D

【錯因分析】相遇次數指的是同側相距最近,但要是問的是共線次數,那就包括同側共線也包括兩側共線。同側共線為多走整數圈,兩側共線則為二分之一圈數的奇數倍。

【鞏固練習】假設有一載人宇宙飛船在距地面高度為4 200 km的赤道上空繞地球做勻速圓周運動,地球半徑約為6 400 km,地球同步衛星距地面高為36 000 km,宇宙飛船和一地球同步衛星繞地球同向運動,每當兩者相距最近時,宇宙飛船就向同步衛星發射信號,然后再由同步衛星將信號發送到地面接收站,某時刻兩者相距最遠,從此刻開始,在一晝夜的時間內,接收站共接收到信號的次數為( )

A.4次 B.6次 C.7次 D.8次

【答案】C

(三)信號傳播遮擋問題分析

衛星傳播信號時由于中間天體的遮擋導致信號中斷,此類問題和追及相遇問題很相似,唯一不同的是運動快的物體比慢的物體多走的圈數不是整圈數,而是小于一圈或者說角度不到2π,涉及空間的幾何關系,比前面講的例題難度要大一些。

【例3】我國的“天鏈一號”衛星是地球同步衛星,可為中低軌道衛星提供數據通信,“天鏈一號”衛星a、赤道平面內的低軌道衛星b,地球的位置關系如圖5所示,O為地心,地球相對衛星a、b的張角分別為θ1和θ2(θ2圖中未標出),衛星a的軌道半徑是b的9倍,且均繞地球同向運行,已知衛星a的周期為T,在運行過程中由于地球的遮擋,衛星b會進入衛星b通信的盲區,衛星間的通信信號視為沿直線傳播,信號傳輸時間可忽略,下列分析正確的是( )

圖5

A.衛星a、b的速度之比為1∶9

【命題意圖】同步衛星、低軌衛星信號傳播問題,描述天體運動物理量的比較。

【答案】BC

分析CD選項

方法一:如圖6所示

圖6

方法二:相對運動如圖7所示

圖7

【方法點評】信號遮擋問題主要是幾何關系的分析,方法和圓周運動追及相遇問題相似,其中相對運動的方法表達式比較簡潔,但是要變換參考系,思維量大一些,而圈數法或者角度方法空間幾何關系比較難分析,兩個方法的選擇各有利弊,需要根據學生的情況加以選擇。

通過幾個例題的分析我們可以看出來不同的情境和條件,但是方法都是相似的,都是需要算出兩個物體圓周運動轉過的角度或者圈數,二者的差值或者和是整數倍或者半周的奇數倍問題,相鄰兩次就是最小時間值。當涉及空間關系用相對運動變換參考系比較容易理解。