矢量圓法在高中物理解題中的應用

劉宏松

(廣西柳州鐵一中學)

科學思維作為物理學科四大核心素養之一,主要包括模型構建、科學推理、科學論證、質疑創新等要素。新課標要求學生基于觀察和實驗,建構物理模型,應用數學等工具,通過科學推理和論證,形成系統的研究方法和理論體系。因為受到應試教育的影響,部分教師在講授習題課時重視講授題目答案,輕視物理規律的形成過程,不利于學生形成良好的科學思維習慣,為了解決這一問題,本文通過介紹矢量圓法的應用,幫助學生養成注重物理規律形成過程的思維方式,促進學生核心素養的提高。

圓作為一個數學工具在中學物理涉及的較多,巧妙地應用圓,有利于把抽象的過程直觀化。若物理矢量是變化的,且其矢端始終落在一個圓周上,作出這個圓,便是矢量圓。利用矢量圓法解決一些高中物理問題時,可以直觀地顯示各個物理量的變化過程,幫助學生撥開層層迷霧,加深對物理規律的理解,啟迪學生的思維,有助于物理學科科學思維的形成和發展。下面介紹矢量圓法在高中物理的一些應用。

一、矢量圓在力學平衡問題中的應用——求合力和一個分力的夾角范圍

對于大小恒定、方向不定的矢量,為了能夠形象地描述它,我們以矢量長度為半徑作一圓,則從圓心向圓上任一點的有向線段代表矢量的一種可能值。

【例1】已知合力F=10 N,它的一個分力F2=8 N,求另一個分力F1與F的夾角取值范圍?

【分析】如圖1所示,作出合力F的力的圖示,以F的矢量箭頭為圓心,以力F2的大小為半徑畫圓。從O點向圓上一點引一條有向線段,即為分力F1的一個可能值。由圖結合數學知識可知,F1與F的夾角的最大值出現在F1與圓相切時,分力F1與F的夾角最大值滿足sinθ=0.8,夾角最小值為零。

圖1

二、矢量圓在運動的合成與分解中的應用——小船以最短位移渡河

【例2】某人劃船,船在靜水中的速度v1=3 m/s,若船在流速為v2=5 m/s的河中行駛,要使船渡河的路徑最短,則他應該怎樣控制船的航向?

【分析】理論上最短渡河路徑垂直河岸,但是因為船的靜水速度小于水流速度,導致無論船的航向如何,都不可能垂直河岸渡河。考慮到船的靜水速度大小恒定,方向不定,可以引入矢量圓。

圖2

三、矢量圓在勻速圓周運動中的應用

1.豎直面內的勻速圓周運動

【例3】如圖3,一輕桿一端固連一小球,在豎直面內繞O點做勻速圓周運動。在小球運動一周過程中,輕桿的彈力怎么變化?

圖3

【分析】對小球受力分析如圖4,小球的向心力mω2r大小恒定,方向時刻指向圓心,重力mg不變。小球的向心力mω2r的矢量將做勻速圓周運動。向心力mω2r的矢量起點形成一個圓,從圓上一點向重力矢量起點引一條有向線段即為桿的彈力F。由圖4可知,隨著向心力矢量方向繞圓心旋轉,小球通過最高點時,力F的最小值為Fmin=mg-mω2r;小球通過最低點時,力F的最大值為Fmax=mg+mω2r。

圖4

2.傾斜面內的勻速圓周運動

圖5

【分析】在很多參考答案中,都是直接給出結論,即物體在最高點時靜摩擦力最小,最低點時靜摩擦力最大,至于原因是什么,都避而不談。這樣的處理方式很不利于學生科學思維的形成,容易引起學生的困惑。本題若采用矢量圓來處理,可以形象直觀地看到不同位置摩擦力的變化情況。方法如下:以物體的向心力mω2r的矢量長為半徑作一圓,重力沿斜面的分力mgsinθ的矢量方向始終豎直向下,長度一定。

從圓上一點向mgsinθ的矢量圖的起點引一條有向線段,即為靜摩擦力f。mgsinθ與mω2r的大小關系不知道,需要分三種情況討論:

mgsinθ>mω2r mg sinθ=mω2r

由圖6、圖7、圖8可知,在最高點時靜摩擦力最小,最低點時靜摩擦力最大,三種情況的結論一致。故只要保證最低點物體與圓盤不相對滑動,即可保證在其他地方都不相對滑動。

圖6

圖7

mgsinθ

圖8

針對此題,若最低點物體與圓盤恰不相對滑動,則有

f=μmgcosθ①

f-mgsinθ=mω2r②

聯立①②解得ω=1 rad/s,此值即為ω的最大值。

四、矢量圓在簡諧運動中的應用

矢量圓法的理論分析:如圖9所示,一質點沿一半徑為A的圓周以角速度ω沿逆時針方向做勻速圓周運動,t=0時刻,質點在x軸正半軸上。在任意t時刻,質點做勻速圓周運動的向心力F=mω2r,經時間t,質點轉過的角度為θ。向心力水平分量為

Fx=mω2rcosθ③

豎直分量為Fy=mω2rsinθ④

質點的坐標:x=rcosθ,y=rsinθ⑤

聯立③④⑤得Fx=mω2x,Fy=mω2y

以圓心為原點,建立如圖9所示坐標系。考慮Fx與x的方向關系

圖9

Fx=-mω2x,Fy=-mω2y

令k=mω2,則Fx=-kx,Fy=-ky

勻速圓周運動的水平分力和豎直分力都是符合簡諧運動的回復力表達式。即證明了勻速圓周運動的水平分運動和豎直分運動都是簡諧運動。利用合運動與分運動的等時性,可以將簡諧運動的求解時間的問題轉化為勻速圓周運動求解時間的問題。下面舉例說明:

【例5】如圖10甲所示,一個勁度系數為k的輕彈簧豎直固定在桌上,現將一質量為m的小球在距離彈簧上端h處由靜止釋放,小球壓縮彈簧距離d后返回至釋放點,求該過程的時間?

圖10

【分析】以小球的平衡位置為原點,豎直向下為x軸正方向,建立一維坐標軸,小球的平衡位置處彈簧的壓縮量記為x,則

mg=kx⑥

小球自由落體階段的末速度記作v,時間為t1,則

v2=2gh⑦

簡諧運動的振幅為

由⑥式,對于小球剛接觸彈簧的時刻,小球相對平衡位置的位移為

由此可得簡諧運動的振幅

如圖10乙,為了求解簡諧運動的時間,以A為半徑作一矢量圓,小球與彈簧相互作用的時間等于勻速圓周運動的質點從M經Q到N的時間,即

小球離開彈簧后返回至最高點的時間為t3

t3=t1

五、結語

科學思維是物理核心素養的重要內容之一,在高中習題課的教學中,要幫助學生去挖掘問題的物理本質,尋找其科學規律,改善學生的科學思維能力,盡量避免被動地接受、記憶式的學習方式。這對于學生科學思維的培養將大有裨益,也容易激發學生科學探究的欲望,培養學生的科學態度與責任。