求解拋體運(yùn)動(dòng)的極值問(wèn)題

聶應(yīng)才 楊小毓

(江西省南豐縣第一中學(xué))

拋體運(yùn)動(dòng)是以一定速度將物體拋出且物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到恒力作用的運(yùn)動(dòng)。它是典型的曲線運(yùn)動(dòng),體現(xiàn)了“化曲為直”的物理思想,運(yùn)動(dòng)規(guī)律是學(xué)習(xí)的重點(diǎn),其極值問(wèn)題是運(yùn)動(dòng)學(xué)的難點(diǎn),它綜合了運(yùn)動(dòng)合成與分解法、數(shù)學(xué)處理法等,考查了科學(xué)推理論證的科學(xué)思維。

1 速度的極值

拋體運(yùn)動(dòng)一般以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O、沿恒力方向?yàn)閥軸、與恒力垂直方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo),x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),y軸方向做勻變速直線運(yùn)動(dòng)。聯(lián)立x軸、y軸運(yùn)動(dòng)規(guī)律解決速度極值問(wèn)題。

【例1】一帶有乒乓球發(fā)射機(jī)的乒乓球臺(tái)如圖1所示,水平臺(tái)面的長(zhǎng)和寬分別為s1和s2,中間球網(wǎng)高度為h。發(fā)射機(jī)安裝于臺(tái)面左側(cè)邊緣的中點(diǎn),能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球,發(fā)射點(diǎn)距臺(tái)面高度為2h。不計(jì)空氣的作用,重力加速度大小為g。若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍內(nèi),通過(guò)選擇合適的方向,就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺(tái)面上,則v的最大取值范圍是( )

圖1

【答案】B

圖2

圖3

【點(diǎn)評(píng)】小球速度最小處,合力F與速度vmin垂直,之前合力F與速度v夾角為鈍角,速度減小,之后合力F與速度v夾角為銳角,速度增大。

2 位移的極值

根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律,列出位移表達(dá)式,結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)解決位移極值問(wèn)題。

【例2】某科技比賽中,參賽者設(shè)計(jì)了一個(gè)軌道模型,如圖4所示。模型放到0.8 m高的水平桌子上,最高點(diǎn)距離水平地面2 m,右端出口水平且高度可調(diào)。現(xiàn)讓小球在最高點(diǎn)由靜止釋放,忽略阻力作用,則小球飛得最遠(yuǎn)水平距離x是多少?

【點(diǎn)評(píng)】右端出口調(diào)低可獲得較大的平拋初速度v,但平拋時(shí)間t變短,反之右端出口調(diào)高平拋初速度v較小,平拋時(shí)間t變長(zhǎng),水平距離x不是右端出口高或低就大,而是要寫出水平距離x與右端出口高度h的函數(shù)關(guān)系,由數(shù)學(xué)知識(shí)求得當(dāng)h為某值時(shí),x最大。

圖5

圖6

3 時(shí)間的極值

拋體運(yùn)動(dòng)的分解不是唯一的,在斜面上實(shí)驗(yàn),把它分解為沿著斜面和垂直斜面這兩方向的直線運(yùn)動(dòng),能快捷解決問(wèn)題。

【例3】如圖7,傾角為37°的斜面足夠長(zhǎng),從斜面上b點(diǎn)正上方2.5 m處的a點(diǎn),以2 m/s的速率拋出一個(gè)小球,方向不定,且小球的軌跡與abO在同一豎直平面內(nèi),則小球落回斜面的最長(zhǎng)時(shí)間為(g取10 m/s2,sin37°=0.6)( )

圖7

A.0.5 s B.1 s C.1.5 s D.2 s

【答案】B

【訓(xùn)練3】例3中球落回斜面的最短時(shí)間為( )

A.0.5 s B.1 s C.1.5 s D.2 s

【答案】A

圖8

圖9

4 動(dòng)能的極值

物體做拋體運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)能會(huì)發(fā)生變化,根據(jù)動(dòng)能定義,動(dòng)能的極值實(shí)質(zhì)是速度的極值,可有時(shí)需要用動(dòng)能定理來(lái)推理判斷。

【例4】光滑水平面上有一個(gè)以O(shè)為圓心,半徑為R的圓,AB為圓的直徑,如圖10所示,質(zhì)量為m的小球進(jìn)入圓內(nèi)會(huì)受到一個(gè)平行于圓面的恒力F。小球自A點(diǎn)先后以不同的速度進(jìn)入圓內(nèi),速度方向與恒力F的方向垂直。已知?jiǎng)傔M(jìn)入圓內(nèi)時(shí)速度為零的小球,自圓周上的C點(diǎn)以速率v0穿出圓區(qū)域,AC與AB的夾角θ=60°。

圖10

(1)求恒力F;

(2)為使小球穿過(guò)圓區(qū)域后的動(dòng)能增量最大,該小球進(jìn)入圓內(nèi)時(shí)的速度應(yīng)為多大?

圖11

【訓(xùn)練4】如圖12所示,AB是豎直平面內(nèi)半徑為R的圓上水平方向的直徑。質(zhì)量為m的小球進(jìn)入圓內(nèi)會(huì)受到一個(gè)平行于圓面的恒力F,其大小等于重力大小mg,g為重力加速度。當(dāng)小球從A點(diǎn)以相同的初速度v0拋出,拋出方向不同時(shí),小球會(huì)經(jīng)過(guò)圓上不同的點(diǎn),在這所有點(diǎn)中,到達(dá)C點(diǎn)時(shí)小球的動(dòng)能最大。已知∠CAB=30°,求:

圖12

(1)恒力F的方向;

(2)小球在C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能EkC;

(3)小球在B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能EkB。

【解析】(1)小球在圓內(nèi)受到重力mg和恒力F兩個(gè)力,要使小球從A點(diǎn)以相同的初速度v0拋出,到達(dá)C點(diǎn)時(shí)小球的動(dòng)能最大,小球的合力F合做功最多,C點(diǎn)就是合力F合方向與圓相交的最遠(yuǎn)的點(diǎn),則F合方向就是由O指向C,根據(jù)平行四邊形定則和幾何關(guān)系,可知恒力F的方向是由A指向C。

【點(diǎn)評(píng)】物體做拋體運(yùn)動(dòng),求解動(dòng)能極值時(shí),應(yīng)該優(yōu)先運(yùn)用動(dòng)能定理,把求動(dòng)能的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)換成做功的極值問(wèn)題,可以不必考慮拋體運(yùn)動(dòng)軌跡,使問(wèn)題得以順利解決。

高三復(fù)習(xí)要整合物理觀念,拋體運(yùn)動(dòng)不能僅停留在只有重力作用下的運(yùn)動(dòng),提煉出本質(zhì)的恒力作用,更有正遷移性,如帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)下的拋體運(yùn)動(dòng);不能只是運(yùn)動(dòng)與相互作用分析思路,還可以用能量動(dòng)量觀看待拋體運(yùn)動(dòng)。以問(wèn)題鏈方式培育學(xué)生的核心素養(yǎng),發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)。拋體運(yùn)動(dòng)的分解不能僅是沿力方向和垂直力方向這兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng),有時(shí)還要靈活分解。加強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的意識(shí)和能力,善于運(yùn)用二次函數(shù)、均式不等式、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理中的極值問(wèn)題。