精心設(shè)計(jì)問題，讓知識(shí)自然生長(zhǎng)

朱明明

同構(gòu)作為一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，在解決一些數(shù)學(xué)壓軸試題時(shí)大顯身手，以其精巧的結(jié)構(gòu)同化構(gòu)造化繁為簡(jiǎn)，起到“四兩撥千斤”的效果．因此，同構(gòu)方法也越來越引起廣大師生的重視．然而，筆者發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)實(shí)踐中，大多老師往往給出若干種固定的同構(gòu)模型，把同構(gòu)方法作為一種變形技巧要求學(xué)生掌握，讓學(xué)生通過套用現(xiàn)成的同構(gòu)模型去解題．這種做法雖然有一定的效果，但由于學(xué)生并未真正理解知識(shí)源頭與生成過程，在遇到陌生問題時(shí)學(xué)生往往手足無措，一籌莫展．筆者在教學(xué)中探索通過精心設(shè)計(jì)問題，讓“同構(gòu)”知識(shí)通過學(xué)生的自主活動(dòng)自然生長(zhǎng)，使學(xué)生在同構(gòu)知識(shí)研學(xué)的過程中思維達(dá)到應(yīng)有的深度，收到了較為理想的教學(xué)效果．現(xiàn)將教學(xué)案例記述如下，與同行共同探討．

1.從簡(jiǎn)單問題入手，讓學(xué)生感受同構(gòu)方法魅力

先看兩道大家熟悉的問題（投影）：

通過本題分析引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在指對(duì)共存型的恒成立問題中巧妙地使用同構(gòu)法，能夠大大地簡(jiǎn)化解題過程、回避繁瑣的計(jì)算．思路1先根據(jù)指對(duì)式的一致性（互化）進(jìn)行變形后，發(fā)現(xiàn)式子中局部的一致性，進(jìn)而進(jìn)行同構(gòu)；思路2和3則是先通過局部運(yùn)算對(duì)式子進(jìn)行整理，然后再利用指對(duì)式的一致性進(jìn)行變形得到同構(gòu)形態(tài)．同構(gòu)法重在觀察，巧在構(gòu)造，質(zhì)在轉(zhuǎn)化．從某種意義上來講，指對(duì)的跨階同構(gòu)最根本的思想是轉(zhuǎn)化與化歸，從局部的運(yùn)算、變形，到適當(dāng)?shù)呐錅悾罱K達(dá)到轉(zhuǎn)化成“同一結(jié)構(gòu)”的目標(biāo)．

同構(gòu)作為一種“巧妙”的解題方法，實(shí)則通過分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，揭示式子間的內(nèi)在聯(lián)系，挖掘其中蘊(yùn)藏的同型與共性，并通過構(gòu)造相同（或相似）的結(jié)構(gòu)模型實(shí)現(xiàn)問題的求解，從而同構(gòu)法在解方程（不等式）、證明不等式、比較大小、數(shù)列乃至解析幾何等方面都有著廣泛的應(yīng)用．本節(jié)課從教材習(xí)題出發(fā)，從簡(jiǎn)單的問題入手，讓學(xué)生在感受同構(gòu)的方法魅力的基礎(chǔ)上將問題進(jìn)一步深化，讓學(xué)生在仔細(xì)觀察其外形結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上深入剖析其本質(zhì)屬性，理解同構(gòu)的底層邏輯，有利于學(xué)生把握同構(gòu)轉(zhuǎn)化的內(nèi)在本質(zhì)；最后通過高考真題賞析，讓學(xué)生領(lǐng)略同構(gòu)的別樣風(fēng)采．這樣的處理方式，讓學(xué)生從知識(shí)的底層邏輯剖析，有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、想象能力、構(gòu)造能力和創(chuàng)新能力，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)．

參考文獻(xiàn)

［1］馮光文.重視課本研究 探尋考題來源［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2022（江西師大），（9）：24-26.

［2］符曉燕.關(guān)于高中數(shù)學(xué)同構(gòu)問題的思考［J］.數(shù)學(xué)之友，2021，（4）：80，83.

（本文為江蘇省南通市教育科學(xué) “十四五”規(guī)劃2021年度立項(xiàng)課題《基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)研學(xué)課堂建構(gòu)研究》（批準(zhǔn)文號(hào)：GH2021142）階段成果． ）