一類含限制條件的三角形問題解法探究與拓展

黃永生　楊丹

解三角形問題中經常會遇到含附加條件的三角形問題，例如銳角三角形、鈍角三角形等.由于此限制，此類試題的難度陡增.本文以銳角三角形為例，從極限思想、函數思想、邊角互化等角度總結此類問題的一般解題思路，希望對讀者有所幫助.

1 試題呈現

在銳角三角形ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2asinB=3b.

（1）求角A的大小；

（2）若a=6，求△ABC面積的取值范圍；

（3）若bc=28/3，求a的取值范圍.

2 試題分析

依題意，易得A=π/3.第（2）問中，常用的方法是引入變量，構造面積函數求值域.其一：可引入“角”為自變量，通過正弦定理建立面積函數，并在“銳角三角形”限制條件下，縮小角的范圍，通過三角恒等變換求得面積的取值范圍；其二：可引入“邊”為自變量，通過余弦定理，結合基本不等式求得三角形面積的上界.同時，還需在銳角三角形限制條件下找到關于邊的不等關系，進一步求得面積的下界.當然，選題填空中還可以利用極限思想快速解決此類問題.

5 新題編制

在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積S=3（b2+c2－a2）/4 ，且b2+c2=a2+2a，求△ABC面積的取值范圍.

解答過程與例題相似，答案為［3，33/2）.

（本文是2021年泉州市基礎教育教學改革專項課題《基于數學運算能力的高中質優生培養的有效教學策略研究》（編號：QJYKT2021-068）；福建省教育科學“十四五”規劃2021年度課題《自媒體環境下基于數學建模素養培養的微課研究》（課題編號：FJJKZX21-490）的研究成果之一.）