一道源于教材的習題探究

楊承根

教材是學生學習的主要材料，好的高考題應該是源于教材.所以在平時的教學中，我們應重視教材，用好教材.在筆者的教學過程中，就對一道教材上的習題進行了深入的探究，現將研究過程展示如下，以饗讀者.

一、探究緣起

在人教A版高中數學必修四第147頁有如下一道習題：已知cosα+cosβ=1/2，sinα+sinβ=1/3，求cos（α－β）的值.

該問題并不復雜，主要考察同角三角函數的性質以及展開公式，為此只需將前兩式平方相加即可得答案cos（α－β）=－59/72.基于此，筆者根據該問題改編了如下的一道習題：

變式 已知cosα+cosβ=1/2，sinα+sinβ=1/3，求sin（α+β）的值.

筆者將此題給學生練習后，發現正確率非常低，其解答過程如下：將上述兩式進行平方差可得（cosα+cosβ）2－（sinα+sinβ）2=5/36，化簡得cos2α+cos2β+2cos（α+β）=5/36，根據和差化積等公式得2cos（α+β）［cos（α－β）+1］=5/36，代入cos（α－β）=－59/72的值可得cos（α+β）=5/13，從而得sin（α+β）的值為±12/13.

在上述解法中，計算過程均正確，錯誤的根源在于sin（α+β）正負值的判斷.在上述解答過程中可知α+β，α－β的余弦值均為唯一值.而如何判斷其正弦值的正負呢？一般解法在于求解出α，β的正、余弦值，再進行求解.此法的運算量太大，且忽略了三角函數的相關性質.為此，筆者從如下六個角度對該問題進行了分析.

二、解法分析

解法一：（利用和差化積求解）將上述兩式相乘得（cosα+cosβ）（sinα+sinβ）=1/6，化簡得sin（α+β）+1/2（sin2α+sin2β）=1/6，利用和差化積等公式得sin（α+β）［1+cos（α－β）］=1/6，代入上面的結論知sin（α+β）=12/13，僅有唯一解.

解法二：（利用正弦的平方差公式）將題干兩式整理得2（cosα+cosβ）=3（sinα+sinβ），移項得2cosα－3sinβ=3sinα－2cosβ.兩邊平方后整理得12sin（α－β）=13（sin2α－sin2β）.根據正弦的平方差公式sin2α－sin2β=sin（α－β）sin（α+β），又sin（α－β）≠0，從而sin（α+β）=12/13.

解法三：（綜合運用恒等變換相關公式求解）由cosα+cosβ=1/2，得2cosα+β/2cosα－β/2=1/2；同理由sinα+sinβ=1/3得2sinα+β/2cosα－β/2=1/3.兩式相除得tanα+β/2=2/3.從而sin（α+β）=2tanα+β/2/1+tan2α+β/2=12/13.

解法四：（綜合運用恒等變換相關公式求解）由cosα+cosβ=1/2，得cos（α+β－β）+cos（α+β－α）=1/2，化簡得sin（α+β）（sinα+sinβ）+cos（α+β）（cosα+cosβ）=1/2，即1/3sin（α+β）+1/2cos（α+β）=1/2；同理，由sinα+sinβ=1/3，可得1/2sin（α+β）－1/3cos（α+β）=1/3.化簡后可得sin（α+β）=12/13.

評注：上述四種解法的本質均值在對兩個條件進行等價變形，充分地利用恒等變換的相關公式，要求學生熟悉相關的公式并能夠靈活運用.

解法五：（構造等差數列求解）由cosα+cosβ=1/2，可得cosα，1/4，cosβ三者成等差數列，設其公差為d1，從而得cosα=1/4－d1，cosβ=1/4+d1；同理由sinα+sinβ=1/3，可得sinα，1/6，sinβ三者成等差數列，設其公差為d2，從而得sinα=1/6－d2，sinβ=1/6+d2.由于sin2α+cos2α=1，所以（1/6－d2）2+（1/4－d1）2=1，即d21+d22－1/2d1－1/3d2=131/144；同理可得d21+d22+1/2d1+1/3d2=131/144，結合兩式得d1=－2/3d2，代入上式計算得d21=131/468，d22=131/208，其中sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=（1/6－d2）（1/4+d1）+（1/6+d2）（1/4－d1），整理得sin（α+β）=1/12+3d21=12/13.

評注：該解法將三角函數問題轉化為等差數列，最終通過解方程求得結果，形式雖然新穎，但其本質仍是利用同角函數的性質.其亮點主要在于溝通了兩個知識板塊之間的聯系，但轉化后的運算量較大，不易于推廣至一般情況.

解法六：（構造向量求解）

構造向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）.由題意得+=（1/2，1/3）.

根據三角函數的定義可知向量，的終點均屬于單位圓x2+y2=1.設

=（1/2，1/3），由==1，可設<，>=<，>=θ，向量，，在單位圓中對應的角度為α，β，φ.則有α=φ－θ，β=φ+θ，由此即可得α+β=2φ.所以sinφ=213/13，cosφ=313/13，tanφ=2/3，代入得sin（α+β）=12/13.

評注：與上述解法相比，該解法通過幾何的角度進行解釋，直觀明了，運算量小，且易于推廣.

三、背景探究及變式推廣

前四種解法的關注點在于條件的變形，以及和差化積等公式的運用上.其本質上是相同的，但并不能說明所求式是否有兩解.解法五屬于構造證明，若繼續求解可求出所有角的三角函數值，但也不易于推廣.解法六通過構造向量及單位圓，從幾何層面進行解釋，可以很好的解釋其存在唯一解的原因.我們還可以基于解法六探究該問題的一般形式.

根據向量，為單位向量，則可得向量的終點的軌跡為x2+y2≤4（以原點為圓心，半徑為2的圓面）.

設cosα+cosβ=s，sinα+sinβ=t，則sin（α+β）的值為2st/s2+t2，同理還可得cos（α+β）=s2－t2/s2+t2，其中s2+t2≤4.

基于上述分析，還可編制如下變式.

變式 設cosα+cosβ+sinα+sinβ=m（2

證明：設cosα+cosβ=s，sinα+sinβ=t，由題意得s+t=m（表示一條直線）.由于該直線需與圓面s2+t2≤4相交，從而可得m≤22.

2st/s2+t2=2/s/t+t/s，設k=s/t，從而有sin（α+β）=2/k+1/k.現在僅需研究k的范圍即可，顯然當k=1時，sin（α+β）取到最大值1；當（s，t）為上述直線與圓面的交點時，sin（α+β）取到最小值m2－4/8，從而可得sin（α+β）的范圍是［m2－4/8，1］.