一個不等式猜想的推廣

胡芳舉

文［1］針對一道IMO試題，提出了如下猜想：已知a，b，c∈R+，且n∈N*，證明或否定：n/a2/a2+（3n－1）bc+n/b2/b2+（3n－1）ca+n/c2/c2+（3n－1）ab≥1.

文［2］中證明了這個猜想成立，文［3］證明了這個猜想的四元情形，三位作者的方法都是反證法，證明比較繁瑣，故文［3］末尾作者提出：“希望有興趣的讀者能給出該情形（即四元情形）的直接證明”.本文將用直接法給出這個猜想的一般情形的一個簡潔證明.

由文［2］知，猜想不等式等價于下面的不等式：

若x，y，z>0，xyz=1，則1/n/1+（3n－1）x+1/n/1+（3n－1）y+1/n/1+（3n－1）z≥1.

其一般情形（k個變元）為：

推廣 若a1，a2，...，ak>0，a1a2...ak=1，k，n≥2（k，n∈N*），則∑k/i=11/n/1+（kn－1）ai≥1.

證明：先用分析法證明如下局部不等式：1/n/1+（kn－1）ai≥a1a/a1a+a2a+…+aka（*），其中α=kn-1/n·kn（注：α可由待定系數法得到）

參考文獻

［1］安振平.一道國際數學競賽試題的研討［J］.數學教學，2010（5）.

［2］王巖.對一個猜想不等式的證明［J］.中學數學，2013（10）.

［3］俞忠有，施剛良.對一個猜想不等式的探究［J］.中學數學研究（江西師大），2021（6）.